Visualizador do Teorema dos Círculos de Gershgorin

Desenhe discos de Gershgorin por linha ou coluna e veja onde os autovalores de uma matriz devem estar.

Os resultados são calculados automaticamente conforme você insere os dados.

Matriz quadrada
Tamanho da matriz:
3

Resultado Informe uma matriz quadrada para desenhar os discos de Gershgorin.
Modo
Maior raio
Sobreposição de autovalores
Indicação de estabilidade
Fórmula e interpretação
Teorema
Agrupamentos isolados
Indicação prática

▼ Veja explicações e dicas abaixo ▼

Calculadoras relacionadas

O que é o teorema dos círculos de Gershgorin?

O teorema dos círculos de Gershgorin permite localizar os autovalores de uma matriz quadrada sem resolver primeiro todo o problema de autovalores. Em vez de calcular cada autovalor exatamente, ele constrói regiões simples no plano complexo onde os autovalores devem estar.

Para cada linha ou coluna de uma matriz, o teorema cria um disco. O centro do disco vem de uma entrada diagonal da matriz. O raio vem dos valores absolutos das entradas fora da diagonal na mesma linha ou coluna. A conclusão importante é que todo autovalor da matriz está dentro de pelo menos um desses discos.

Isso é útil porque os autovalores podem ser difíceis de calcular manualmente, especialmente para matrizes maiores que \(2 \times 2\). Os discos de Gershgorin fornecem um limite visual e numérico rápido antes de um cálculo mais detalhado.

Embora o teorema seja frequentemente chamado de teorema dos “círculos”, a região útil é o disco preenchido, não apenas a circunferência da borda. Se um autovalor está em um disco de Gershgorin, ele pode estar em qualquer ponto dentro desse disco.

Por que os discos de Gershgorin são importantes

Os discos de Gershgorin são úteis porque relacionam diretamente as entradas da matriz às possíveis posições dos autovalores. Muitas vezes, é possível obter informações importantes da matriz antes de calcular um polinômio característico ou executar um algoritmo numérico de autovalores.

Estudantes usam os discos de Gershgorin para entender como as entradas diagonais e fora da diagonal afetam os autovalores. Professores os usam para mostrar por que a dominância diagonal é importante. Engenheiros e matemáticos aplicados os usam como limites rápidos ao estudar estabilidade, métodos iterativos ou matrizes próximas de matrizes diagonais.

O teorema é especialmente útil quando você precisa responder a perguntas como:

  • É provável que todos os autovalores estejam longe de zero?
  • É possível garantir que todos os autovalores estejam no semiplano esquerdo?
  • Os autovalores estão confinados a pequenas regiões próximas das entradas diagonais?
  • Grupos separados de discos garantem grupos separados de autovalores?
  • A matriz parece diagonalmente dominante o suficiente para fornecer limites úteis?

Os discos de Gershgorin não substituem o cálculo exato de autovalores, mas são uma poderosa verificação inicial.

Termos importantes

  • Matriz quadrada: Uma matriz com o mesmo número de linhas e colunas. Autovalores são definidos para matrizes quadradas.
  • Entrada diagonal: Uma entrada da forma \(a_{ii}\), que vai do canto superior esquerdo ao canto inferior direito da matriz.
  • Entrada fora da diagonal: Qualquer entrada \(a_{ij}\) em que \(i \ne j\).
  • Autovalor: Um escalar \(\lambda\) tal que \(A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}\) para algum vetor não nulo \(\mathbf{x}\).
  • Plano complexo: O plano onde um número \(z = x + yi\) é representado com parte real \(x\) e parte imaginária \(y\).
  • Centro do disco: A entrada diagonal \(a_{ii}\) usada como centro de um disco de Gershgorin.
  • Raio do disco: A soma dos valores absolutos das entradas fora da diagonal na linha ou coluna selecionada.
  • Agrupamento: Um grupo conectado de discos de Gershgorin sobrepostos.
  • Multiplicidade algébrica: O número de vezes que um autovalor é contado como raiz do polinômio característico.
  • Dominância diagonal: Uma situação em que as entradas diagonais são grandes em comparação com as entradas fora da diagonal em suas linhas ou colunas.

Como funciona o teorema dos círculos de Gershgorin

Seja \(A\) uma matriz quadrada \(n \times n\) com entradas \(a_{ij}\). No modo por linhas, o raio de Gershgorin da \(i\)ª linha é a soma dos valores absolutos das entradas fora da diagonal na linha \(i\):

$$ R_i^{\text{row}} = \sum_{j \ne i} |a_{ij}| $$

O disco de Gershgorin correspondente é

$$ D_i^{\text{row}} = \left\{ z \in \mathbb{C} : |z - a_{ii}| \le R_i^{\text{row}} \right\}. $$

O teorema afirma que todo autovalor \(\lambda\) de \(A\) está em pelo menos um destes discos de linha:

$$ \lambda \in D_1^{\text{row}} \cup D_2^{\text{row}} \cup \cdots \cup D_n^{\text{row}}. $$

O modo por colunas usa os mesmos centros diagonais, mas calcula cada raio a partir das entradas fora da diagonal em uma coluna:

$$ R_i^{\text{col}} = \sum_{j \ne i} |a_{ji}|. $$

O disco de coluna é

$$ D_i^{\text{col}} = \left\{ z \in \mathbb{C} : |z - a_{ii}| \le R_i^{\text{col}} \right\}. $$

Os discos de linha e de coluna podem parecer diferentes, mas ambos são limites válidos para os autovalores. Na prática, muitas vezes é útil verificar os dois modos e ver qual fornece regiões mais estreitas ou informativas.

Para matrizes reais, as entradas diagonais são reais, então os centros dos discos ficam no eixo real. Ainda assim, os discos podem se estender para as metades superior e inferior do plano complexo, pois os autovalores de uma matriz real podem ser complexos.

Discos de linha, discos de coluna e intervalos no eixo real

Um disco de Gershgorin é uma região bidimensional no plano complexo. Seu intervalo no eixo real é apenas a extensão horizontal desse disco:

$$ [a_{ii} - R_i,\ a_{ii} + R_i]. $$

Esse intervalo é útil para ler o gráfico e comparar limites, mas não representa o disco inteiro. Um ponto com parte imaginária não nula ainda pode estar dentro do disco se sua distância ao centro não for maior que o raio.

Por exemplo, se um disco tem centro \(4\) e raio \(2\), seu intervalo no eixo real é

$$ [4 - 2,\ 4 + 2] = [2,\ 6]. $$

O disco completo também inclui pontos complexos acima e abaixo do eixo real, como \(4 + i\), porque

$$ |4+i-4| = |i| = 1 \le 2. $$

Agrupamentos isolados e seu significado

Os discos de Gershgorin se tornam especialmente informativos quando alguns discos estão separados dos demais.

Se um agrupamento conectado isolado contém \(k\) discos e não toca nem se sobrepõe aos discos restantes, então esse agrupamento contém exatamente \(k\) autovalores, contados com multiplicidade algébrica. Isso nem sempre informa quais são os autovalores exatos, mas informa quantos autovalores devem estar nessa região separada.

Um único disco completamente separado de todos os outros é o caso mais simples. Ele deve conter exatamente um autovalor. Esse autovalor pode não ser o centro do disco, mas deve estar em algum ponto dentro dele.

Quando os discos se sobrepõem formando um grande agrupamento conectado, o teorema ainda garante que todos os autovalores estão na união dos discos. A regra dos agrupamentos apenas fornece menos informação sobre a separação.

Exemplos práticos de discos de Gershgorin

Exemplo 1: discos de linha para uma matriz \(3 \times 3\)

Considere a matriz

$$ A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix}. $$

No modo por linhas, os centros são as entradas diagonais \(4\), \(5\) e \(3\).

Para a linha 1, o raio é

$$ R_1 = |1| + |-1| = 2. $$

Portanto, o primeiro disco tem centro \(4\), raio \(2\) e intervalo no eixo real

$$ [4 - 2,\ 4 + 2] = [2,\ 6]. $$

Para a linha 2,

$$ R_2 = |2| + |1| = 3, $$

então o intervalo é

$$ [5 - 3,\ 5 + 3] = [2,\ 8]. $$

Para a linha 3,

$$ R_3 = |0| + |-1| = 1, $$

então o intervalo é

$$ [3 - 1,\ 3 + 1] = [2,\ 4]. $$

Portanto, os três discos de linha são:

Disco Centro Raio Intervalo no eixo real
\(D_1\) \(4\) \(2\) \([2,\ 6]\)
\(D_2\) \(5\) \(3\) \([2,\ 8]\)
\(D_3\) \(3\) \(1\) \([2,\ 4]\)

Todo autovalor de \(A\) está na união desses três discos.

Exemplo 2: discos de coluna podem fornecer limites diferentes

Usando a mesma matriz,

$$ A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix}, $$

o modo por colunas usa, em vez disso, somas de colunas fora da diagonal.

Para a coluna 1,

$$ R_1 = |2| + |0| = 2. $$

Para a coluna 2,

$$ R_2 = |1| + |-1| = 2. $$

Para a coluna 3,

$$ R_3 = |-1| + |1| = 2. $$

Os discos de coluna são:

Disco Centro Raio Intervalo no eixo real
\(D_1\) \(4\) \(2\) \([2,\ 6]\)
\(D_2\) \(5\) \(2\) \([3,\ 7]\)
\(D_3\) \(3\) \(2\) \([1,\ 5]\)

Estes ainda são limites válidos de Gershgorin. Eles não são idênticos aos discos de linha porque as somas das colunas fora da diagonal são diferentes das somas das linhas fora da diagonal.

Exemplo 3: um caso de discos separados

Considere

$$ B = \begin{bmatrix} 5 & 0.2 \\ -0.1 & 2 \end{bmatrix}. $$

No modo por linhas, os discos são:

$$ D_1: \text{ center } 5,\quad R_1 = |0.2| = 0.2 $$

e

$$ D_2: \text{ center } 2,\quad R_2 = |-0.1| = 0.1. $$

Seus intervalos no eixo real são

$$ [4.8,\ 5.2] $$

e

$$ [1.9,\ 2.1]. $$

Esses intervalos estão distantes, e os discos completos também estão separados. Como cada disco é isolado, cada um contém exatamente um autovalor.

Exemplo 4: um caso extremo de raio zero

Se uma linha não tem contribuição fora da diagonal, seu raio de Gershgorin é zero. Para uma matriz diagonal,

$$ C = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}, $$

os dois raios de linha são zero:

$$ R_1 = 0,\qquad R_2 = 0. $$

Os discos de Gershgorin colapsam para pontos em \(-2\) e \(0.5\). Para uma matriz diagonal, esses pontos são exatamente os autovalores.

Como interpretar o resultado

O resultado é um limite, e normalmente não um cálculo exato de autovalores. Cada disco indica uma região onde os autovalores podem estar, e a união de todos os discos contém todos os autovalores.

Um raio menor significa que a linha ou coluna correspondente é mais dominada por sua entrada diagonal. Discos menores geralmente proporcionam uma localização mais precisa dos autovalores. Um raio maior significa uma influência maior das entradas fora da diagonal e uma região possível mais ampla para os autovalores.

O raio máximo é uma maneira rápida de ver a largura do disco menos restritivo. Ele não é uma medida completa da matriz, mas ajuda a identificar se uma linha ou coluna está criando um limite amplo.

A tabela de discos lista cada centro, raio e intervalo no eixo real. Use a tabela para a leitura numérica exata. Use o gráfico para a interpretação geométrica: sobreposição, separação, posição no semiplano esquerdo e se os marcadores aproximados de autovalores ficam dentro das regiões garantidas.

Se o resultado informar agrupamentos isolados, interprete-os como informação sobre a quantidade de autovalores. Um agrupamento isolado de \(k\) discos contém exatamente \(k\) autovalores contados com multiplicidade.

Se todos os discos estiverem estritamente à esquerda do eixo imaginário, então todos os autovalores também estarão no semiplano esquerdo aberto. Para um modelo de sistema linear de tempo contínuo, isso é um forte indício de estabilidade. Se um disco cruzar o eixo imaginário, isso não prova instabilidade; significa apenas que o limite de Gershgorin, sozinho, não é suficiente para provar que todos os autovalores têm partes reais negativas.

Se todos os discos estiverem dentro do disco unitário, então todos os autovalores também estarão dentro do disco unitário. A importância disso depende do problema estudado.

Os marcadores aproximados de autovalores, quando exibidos, devem ser tratados como recursos de comparação. Os discos de Gershgorin fornecem as regiões garantidas. Os marcadores ajudam a visualizar como os autovalores aproximados se relacionam com essas regiões, mas não são a principal garantia baseada no teorema.

Erros comuns e equívocos

Erro 1: tratar o centro como o autovalor.
A entrada diagonal \(a_{ii}\) é o centro de um disco, não necessariamente um autovalor. Um disco pode não conter nenhum autovalor por si só, a menos que esteja isolado da maneira apropriada.

Erro 2: confundir o raio com a entrada diagonal.
O raio vem dos valores absolutos fora da diagonal. A entrada diagonal fornece o centro.

Erro 3: usar somas de linhas ao ler o modo por colunas.
O modo por linhas usa somas ao longo das linhas. O modo por colunas usa somas ao longo das colunas. Os dois modos podem produzir discos diferentes.

Erro 4: esquecer os valores absolutos.
Entradas negativas fora da diagonal ainda acrescentam uma distância positiva ao raio. Por exemplo, \(|-3| = 3\).

Erro 5: arredondar cedo demais.
Se você arredondar entradas ou raios antes de comparar os discos, pode fazer acidentalmente dois discos parecerem separados ou sobrepostos quando os valores exatos indicam o contrário. A grade editável preserva as entradas finitas aceitas quando é reconstruída; o arredondamento é usado apenas nos valores derivados exibidos.

Erro 6: interpretar o intervalo no eixo real como o disco inteiro.
O intervalo \([a_{ii}-R_i,\ a_{ii}+R_i]\) é apenas a extensão horizontal. O disco também inclui pontos complexos acima e abaixo desse intervalo.

Erro 7: supor que a sobreposição significa que cada disco contém um autovalor.
Discos sobrepostos podem compartilhar regiões de autovalores. O teorema garante que a união contém todos os autovalores, não que cada disco não isolado contenha um.

Erro 8: interpretar excessivamente os marcadores aproximados de autovalores.
Para matrizes não simétricas maiores, a calculadora omite a sobreposição porque um marcador apenas real não representaria autovalores complexos de maneira confiável. Quando os marcadores forem exibidos, use-os como recursos visuais, não como o próprio teorema.

Quando usar os discos de Gershgorin

Use os discos de Gershgorin quando quiser um limite rápido e interpretável para os autovalores de uma matriz quadrada.

Eles são úteis para:

  • verificar possíveis posições dos autovalores antes de calculá-los diretamente;
  • estudar matrizes próximas de matrizes diagonais;
  • entender a dominância diagonal;
  • estimar se os autovalores podem estar afastados de zero;
  • encontrar regiões separadas de autovalores;
  • ensinar a relação entre as entradas da matriz e a posição dos autovalores;
  • obter um indício rápido de estabilidade para sistemas em que a posição dos autovalores é importante;
  • comparar limites de autovalores baseados em linhas e em colunas.

Eles são menos úteis quando você precisa de autovalores exatos, autovetores, números de condição ou informações espectrais de alta precisão.

Limitações e pontos importantes

O teorema de Gershgorin fornece regiões de inclusão. Normalmente, ele não fornece autovalores exatos.

Um disco grande pode ser um limite fraco. O autovalor verdadeiro pode estar muito mais próximo do centro do que o raio sugere, mas o teorema garante apenas a região maior.

Discos sobrepostos podem reduzir a quantidade de informação obtida. Se todos os discos se sobrepuserem formando uma região conectada, o teorema ainda abrangerá todos os autovalores, mas talvez não os separe bem.

As versões por linhas e por colunas são válidas, mas nenhuma é sempre a melhor. Uma matriz pode fornecer discos de linha mais estreitos, enquanto outra pode fornecer discos de coluna mais estreitos.

Para matrizes reais, autovalores complexos podem aparecer em pares conjugados. Um gráfico ajuda a mostrar possíveis posições no plano complexo, mas os intervalos no eixo real, sozinhos, não são suficientes para descrever regiões de autovalores complexos.

Esta calculadora aceita matrizes quadradas reais de \(2 \times 2\) a \(6 \times 6\). Ela não aceita matrizes retangulares, células vazias, entradas complexas como \(1+2i\), valores não numéricos, \(\text{NaN}\) nem valores infinitos.

O gráfico e a tabela formatam os números exibidos para facilitar a leitura. O zero numérico exato aparece como \(0\); valores pequenos não nulos e valores muito grandes podem aparecer em notação exponencial. Essa formatação não reescreve as entradas aceitas da matriz quando a grade editável é reconstruída. Evite tomar decisões matemáticas com base em valores de exibição arredondados quando a distinção exata for importante.

A sobreposição opcional de autovalores é um recurso de conveniência. Para matrizes \(2 \times 2\), ela usa um cálculo quadrático escalonado e é omitida se não for possível obter um resultado finito. Para matrizes exatamente simétricas, usa uma aproximação de Jacobi normalizada pela escala. Para matrizes não simétricas gerais maiores que \(2 \times 2\), a sobreposição é omitida porque um marcador apenas real não representaria autovalores complexos de maneira confiável.

Quando os limites dos autovalores afetarem decisões de engenharia, segurança, finanças ou ciência, verifique o resultado com um método adequado de autovalores e consulte um profissional qualificado quando apropriado.

Como usar esta calculadora

  1. Escolha discos de linha ou discos de coluna.
  2. Insira uma matriz quadrada real na grade ou use os controles de exemplo, importação ou redimensionamento.
  3. Mantenha o tamanho da matriz entre \(2 \times 2\) e \(6 \times 6\).
  4. Ative a sobreposição de autovalores aproximados somente se quiser marcadores visuais de comparação.
  5. Leia o resumo do resultado para ver o número de discos e agrupamentos isolados.
  6. Use a tabela de discos para comparar cada centro, raio e intervalo no eixo real.
  7. Examine o gráfico para ver onde os discos estão no plano complexo.
  8. Passe o cursor sobre o gráfico, quando disponível, para verificar coordenadas, centros próximos, marcadores de autovalores e pertencimento aos discos.
  9. Use o botão de download PNG se quiser salvar o gráfico renderizado.

Para dados de matriz colados, use uma linha por linha da matriz. As entradas podem ser separadas por espaços, vírgulas, ponto e vírgula ou tabulações. A matriz importada deve ser quadrada e conter apenas números reais finitos.

Perguntas frequentes

Os discos de Gershgorin fornecem autovalores exatos?

Normalmente, não. Os discos de Gershgorin fornecem regiões garantidas que contêm os autovalores. Eles se tornam exatos em alguns casos especiais, como matrizes diagonais em que toda entrada fora da diagonal é zero.

Devo usar discos de linha ou de coluna?

Ambos são válidos. Os discos de linha usam somas das linhas fora da diagonal, enquanto os discos de coluna usam somas das colunas fora da diagonal. Experimente os dois quando quiser o limite mais estreito ou informativo.

O que significa se um disco estiver isolado?

Um disco isolado está separado de todos os outros discos. Nesse caso, ele contém exatamente um autovalor, contado com multiplicidade algébrica. De modo mais geral, um agrupamento isolado de \(k\) discos contém exatamente \(k\) autovalores.

Um disco de Gershgorin pode ter raio zero?

Sim. O raio é zero quando todas as entradas fora da diagonal na linha ou coluna selecionada são zero. O disco então colapsa para um único ponto na entrada diagonal.

Um disco que cruza o eixo imaginário prova instabilidade?

Não. Isso significa apenas que o teorema de Gershgorin, sozinho, não pode provar que todos os autovalores estão no semiplano esquerdo. A matriz ainda pode ter autovalores estáveis, mas você precisa de um limite mais preciso ou de um cálculo direto de autovalores para saber.

Os marcadores aproximados de autovalores são iguais aos discos de Gershgorin?

Não. Os discos de Gershgorin são regiões de inclusão garantidas pelo teorema. Os marcadores aproximados de autovalores são pontos numéricos de comparação que ajudam a visualizar onde as estimativas calculadas dos autovalores ficam em relação aos discos.

Fontes e referências

Livros

  1. Richard S. Varga. Geršgorin and His Circles. Springer Series in Computational Mathematics, vol. 36, Springer Berlin, Heidelberg, 2004. Teoria básica, p. 1–33; capítulos sobre inclusão de autovalores do tipo Geršgorin. Springer Nature
  2. Roger A. Horn e Charles R. Johnson. Matrix Analysis. 2ª ed., Cambridge University Press, 2013. Fundamentos de análise matricial e localização de autovalores. Prévia no Google Livros
  3. Gene H. Golub e Charles F. Van Loan. Matrix Computations. 4ª ed., Johns Hopkins University Press, 2013. Capítulos 7–8 sobre problemas de autovalores simétricos e não simétricos, incluindo os métodos QR e de Jacobi. Johns Hopkins University Press

Fontes on-line e educacionais

  1. Nicholas J. Higham. “What Is Gershgorin’s Theorem?” Nick Higham, 22 de novembro de 2022. https://nhigham.com/2022/11/22/what-is-gershgorins-theorem/
  2. Eric W. Weisstein. “Gershgorin Circle Theorem.” MathWorld—A Wolfram Web Resource. Acesso em 28 de junho de 2026. https://mathworld.wolfram.com/GershgorinCircleTheorem.html
  3. Daniel Katzman, Jessica Moreno, Jason Noelanders e Mark Winston-Galant. “10.4: Using Eigenvalues and Eigenvectors to Find Stability and Solve ODEs.” Engineering LibreTexts, última atualização em 12 de outubro de 2024. https://eng.libretexts.org/Bookshelves/IndustrialandSystemsEngineering/ChemicalProcessDynamicsandControls%28Woolf%29/10%3ADynamicalSystemsAnalysis/10.04%3AUsingeigenvaluesandeigenvectorstofindstabilityandsolve_ODEs