Calcule o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de uma matriz quadrada.
Os resultados são calculados automaticamente conforme você informa os dados.
▼ Veja explicações e dicas abaixo ▼
Para uma matriz quadrada \(A\), um vetor não nulo \(\mathbf v\) é um autovetor quando a multiplicação por \(A\) altera apenas sua escala ou fase complexa:
O escalar \(\lambda\) é o autovalor correspondente. Os autovalores são as raízes da equação característica \(\det(\lambda I-A)=0\). Um autovalor repetido pode ter menos autovetores independentes do que sua multiplicidade algébrica; essa distinção determina se a matriz é diagonalizável.
A calculadora aceita matrizes quadradas reais de \(2\times2\) a \(6\times6\). Ela balanceia a matriz, reduz a matriz à forma de Hessenberg e aplica iterações QR com deslocamento. Autovetores reais e complexos são recuperados de \((A-\lambda I)\mathbf v=0\), normalizados e verificados usando o resíduo
Os resultados não são exibidos se a iteração não convergir ou se os pares de autovalor e autovetor falharem na verificação do resíduo. Os coeficientes numéricos podem ser arredondados, mas valores pequenos legítimos são mantidos e exibidos em notação científica.
O polinômio característico é \(\lambda^2-4\lambda+3\). Os autovalores são \(1\) e \(3\), com autovetores proporcionais a \((-1,1)^T\) e \((1,1)^T\). Dois autovetores reais independentes tornam a matriz diagonalizável tanto sobre ℝ quanto sobre ℂ.
Os autovalores são \(i\) e \(-i\). A matriz não tem uma base de autovetores reais, portanto não é diagonalizável sobre ℝ, mas seus dois autovetores complexos fazem com que ela seja diagonalizável sobre ℂ.
O autovalor \(1\) tem multiplicidade algébrica dois, mas apenas um autovetor independente. Portanto, a matriz não é diagonalizável nem sobre ℝ nem sobre ℂ.
Problemas de autovalores podem ser sensíveis ao arredondamento, especialmente em matrizes quase defeituosas ou altamente não normais. As entradas usam aritmética padrão de precisão dupla e são limitadas a 15 algarismos significativos. Um resíduo pequeno confirma que um par exibido é compatível com a matriz informada, mas não garante que um autovalor mal condicionado permaneceria inalterado após uma pequena perturbação nos dados.
Autovalores repetidos são agrupados somente quando são indistinguíveis no limiar de erro sensível à escala do solucionador. Coeficientes ou determinantes fora do intervalo usual de ponto flutuante são exibidos em notação científica escalonada. Verifique de forma independente trabalhos acadêmicos, científicos ou de engenharia importantes.
Uma matriz real pode ter autovalores não reais em pares conjugados. Em geral, seus autovetores também são complexos.
Qualquer múltiplo não nulo de um autovetor representa a mesma direção própria. A normalização fornece um comprimento consistente e facilita a comparação dos resultados.
Não. A matriz é diagonalizável quando o número total de autovetores independentes ainda é igual ao tamanho da matriz.