Calculadora da Forma Normal de Jordan

Use esta calculadora da forma normal de Jordan para informar valores, ajustar opções e analisar resultados em um espaço de trabalho compacto e responsivo.

Os resultados são calculados automaticamente conforme você informa os dados.

Calculadora da Forma Normal de Jordan

Matrix A

Raciocínio sobre autovalores e vetores generalizados
Diagonalizabilidade Informe uma matriz.

▼ Veja explicações e dicas abaixo ▼

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O que é a forma normal de Jordan?

A forma normal de Jordan, também chamada de forma canônica de Jordan, é uma maneira estruturada de representar uma matriz quadrada depois de uma mudança de base. Ela é especialmente útil quando uma matriz está próxima de ser diagonalizável, mas não tem autovetores independentes suficientes para se tornar uma matriz diagonal.

Uma matriz diagonal é a forma mais simples possível: cada direção coordenada é escalada de maneira independente. A forma normal de Jordan é a melhor alternativa seguinte. Ela mantém os autovalores na diagonal, mas pode incluir entradas \(1\) logo acima da diagonal. Essas entradas \(1\) mostram onde os autovetores comuns precisam ser estendidos em cadeias de autovetores generalizados.

Um bloco de Jordan para um autovalor \(\lambda\) tem a forma

$$ J_k(\lambda)= \begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda \end{bmatrix}. $$

O índice \(k\) é o tamanho do bloco. Um bloco de tamanho \(1\) é simplesmente a matriz \(1\times1\) \([\lambda]\), portanto uma matriz diagonal é uma matriz de Jordan cujos blocos têm todos tamanho \(1\).

Quando uma matriz \(A\) pode ser escrita como

$$ A=PJP^{-1}, $$

\(J\) é a forma normal de Jordan e \(P\) é a matriz de mudança de base. De maneira equivalente,

$$ J=P^{-1}AP. $$

As duas equações dizem a mesma coisa: \(A\) e \(J\) representam a mesma transformação linear em bases diferentes.

Por que a forma normal de Jordan é importante

A forma normal de Jordan explica exatamente como a diagonalização pode falhar. Se uma matriz tem autovetores independentes suficientes, sua forma de Jordan é diagonal. Se não tem, os blocos de Jordan maiores mostram quais autovetores faltam e como os autovetores generalizados preenchem essa lacuna.

Isso é importante na álgebra linear porque muitos problemas com matrizes ficam mais fáceis depois de uma mudança de base. A diagonalização simplifica potências, recorrências, equações diferenciais e o estudo do comportamento de longo prazo de uma transformação linear. A forma normal de Jordan estende essa ideia a matrizes com autovalores repetidos que não são diagonalizáveis.

Para estudantes, a forma normal de Jordan também é uma ferramenta útil de diagnóstico. Ela separa três ideias relacionadas que costumam ser confundidas:

  • os autovalores de uma matriz,
  • a multiplicidade de cada autovalor,
  • o número de autovetores independentes disponíveis para cada autovalor.

Termos importantes

  • Autovalor: Um escalar \(\lambda\) tal que \(Av=\lambda v\) para algum vetor não nulo \(v\).
  • Autovetor: Um vetor não nulo \(v\) cuja direção é preservada pela transformação matricial \(A\).
  • Espaço próprio: O núcleo \(\ker(A-\lambda I)\), que contém todos os autovetores associados a \(\lambda\) juntamente com o vetor nulo.
  • Multiplicidade algébrica: O número de vezes que \(\lambda\) aparece como raiz do polinômio característico.
  • Multiplicidade geométrica: A dimensão do espaço próprio \(\ker(A-\lambda I)\).
  • Nulidade: A dimensão do núcleo de uma matriz.
  • Autovetor generalizado: Um vetor não nulo \(w\) tal que \((A-\lambda I)^k w=0\) para algum inteiro positivo \(k\), mesmo que \(w\) não seja um autovetor comum.
  • Cadeia de Jordan: Uma sequência ligada de vetores que satisfaz relações como \((A-\lambda I)w=v\), em que \(v\) é um autovetor.
  • Similaridade: Duas matrizes são semelhantes se representam a mesma transformação linear em bases diferentes, geralmente escrita como \(B=P^{-1}AP\).

Como funciona a forma normal de Jordan

O processo começa pelos autovalores. Para uma matriz quadrada \(A\), o polinômio característico é

$$ p(\lambda)=\det(A-\lambda I). $$

As raízes desse polinômio são os autovalores. Para uma matriz \(2\times2\)

$$ A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}, $$

seu traço e seu determinante são

$$ \operatorname{tr}(A)=a+d, \qquad \det(A)=ad-bc. $$

O polinômio característico é

$$ p(\lambda)=\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A), $$

portanto, os autovalores são

$$ \lambda=\frac{\operatorname{tr}(A)\pm\sqrt{\operatorname{tr}(A)^2-4\det(A)}}{2}. $$

Em uma matriz triangular superior ou inferior, os autovalores são as entradas da diagonal. Por isso, as matrizes triangulares são especialmente convenientes para cálculos de formas de Jordan de pequeno porte.

Depois de determinar os autovalores, a principal questão é quantos blocos de Jordan estão associados a cada autovalor e qual é o tamanho desses blocos. Para um autovalor \(\lambda\), defina

$$ N_\lambda=A-\lambda I. $$

A multiplicidade geométrica é

$$ m_g(\lambda)=\dim\ker(A-\lambda I). $$

Esse número também é o número de blocos de Jordan associados a \(\lambda\). A multiplicidade algébrica \(m_a(\lambda)\) é o tamanho total de todos esses blocos.

A matriz é diagonalizável exatamente quando cada autovalor tem autovetores suficientes:

$$ m_g(\lambda)=m_a(\lambda) $$

para todo autovalor \(\lambda\). De maneira equivalente, o número total de autovetores independentes é igual ao tamanho da matriz \(n\):

$$ \sum_i m_g(\lambda_i)=n. $$

Quando a multiplicidade geométrica é menor que a multiplicidade algébrica, pelo menos um bloco de Jordan deve ter tamanho maior que \(1\).

Como as nulidades revelam os tamanhos dos blocos

As nulidades das potências de \(A-\lambda I\) revelam o padrão detalhado dos blocos. Seja

$$ d_k=\dim\ker\left((A-\lambda I)^k\right), \qquad d_0=0. $$

Então

$$ d_k-d_{k-1} $$

é o número de blocos de Jordan para \(\lambda\) cujo tamanho é pelo menos \(k\).

Por exemplo, se as nulidades de um autovalor são

$$ d_1=1,\qquad d_2=2,\qquad d_3=3, $$

então as diferenças são

$$ d_1-d_0=1, \qquad d_2-d_1=1, \qquad d_3-d_2=1. $$

Há um bloco de tamanho pelo menos \(1\), um bloco de tamanho pelo menos \(2\) e um bloco de tamanho pelo menos \(3\). Portanto, a estrutura de Jordan desse autovalor é um bloco de tamanho \(3\).

Exemplos práticos da forma normal de Jordan

Exemplo 1: Uma matriz \(2\times2\) que não é diagonalizável

Considere

$$ A=\begin{bmatrix}5&1\\0&5\end{bmatrix}. $$

Essa matriz já é um bloco de Jordan. Seu único autovalor é \(\lambda=5\), com multiplicidade algébrica \(2\):

$$ p(\lambda)=(\lambda-5)^2. $$

Agora calcule

$$ A-5I= \begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}. $$

O núcleo é gerado por

$$ \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, $$

portanto, a multiplicidade geométrica é \(1\). Como \(m_a(5)=2\), mas \(m_g(5)=1\), a matriz não é diagonalizável.

Há um único bloco de Jordan, e seu tamanho total deve ser \(2\):

$$ J=\begin{bmatrix}5&1\\0&5\end{bmatrix}. $$

A cadeia de autovetores generalizados pode ser vista em

$$ (A-5I)\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}. $$

O vetor à direita é um autovetor, e o vetor à esquerda é um autovetor generalizado.

Exemplo 2: Uma matriz \(2\times2\) que é diagonalizável

Considere

$$ A=\begin{bmatrix}2&0\\0&5\end{bmatrix}. $$

Os autovalores são \(2\) e \(5\). Eles são distintos, portanto cada um tem multiplicidade algébrica \(1\) e multiplicidade geométrica \(1\). A matriz tem dois autovetores independentes, então é diagonalizável.

Sua forma de Jordan é diagonal:

$$ J=\begin{bmatrix}2&0\\0&5\end{bmatrix}. $$

O padrão dos blocos é um bloco de tamanho \(1\) para \(2\) e um bloco de tamanho \(1\) para \(5\).

Exemplo 3: Uma matriz triangular \(3\times3\) com uma cadeia de Jordan

Considere

$$ A=\begin{bmatrix} 4&1&0\\ 0&4&1\\ 0&0&4 \end{bmatrix}. $$

Como a matriz é triangular, seu único autovalor é a entrada diagonal \(4\), repetida três vezes. Portanto, \(m_a(4)=3\).

Seja

$$ N=A-4I= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{bmatrix}. $$

As nulidades são

$$ \dim\ker(N)=1, \qquad \dim\ker(N^2)=2, \qquad \dim\ker(N^3)=3. $$

As diferenças são todas \(1\), portanto há um bloco de tamanho pelo menos \(1\), um bloco de tamanho pelo menos \(2\) e um bloco de tamanho pelo menos \(3\). Portanto, a forma de Jordan tem um único bloco de tamanho \(3\):

$$ J=\begin{bmatrix} 4&1&0\\ 0&4&1\\ 0&0&4 \end{bmatrix}. $$

Este exemplo mostra por que um autovalor repetido, por si só, não é informação suficiente. As nulidades determinam se o autovalor repetido se divide em vários blocos pequenos ou em um bloco maior.

Como interpretar o resultado

O resultado Diagonalizável significa que a matriz tem autovetores independentes suficientes para o seu tamanho. Na forma de Jordan, isso significa que todo bloco tem tamanho \(1\), portanto \(J\) é diagonal.

O resultado Não diagonalizável significa que pelo menos um autovalor tem multiplicidade geométrica menor que a multiplicidade algébrica. Na forma de Jordan, isso cria pelo menos um bloco de tamanho maior que \(1\).

O resumo dos blocos de Jordan usa um padrão como

$$ \lambda: 2+1. $$

Isso significa que o autovalor \(\lambda\) tem dois blocos de Jordan: um bloco de tamanho \(2\) e um bloco de tamanho \(1\). O tamanho total, \(2+1=3\), é a multiplicidade algébrica desse autovalor.

A tabela de autovalores separa a multiplicidade algébrica da multiplicidade geométrica. Esta é a comparação principal:

  • Se \(m_a=m_g\), esse autovalor contribui apenas com blocos de tamanho \(1\).
  • Se \(m_g<m_a\), esse autovalor contribui com pelo menos um bloco maior.

Quando \(P\) e \(J\) são exibidas, elas descrevem a decomposição por similaridade

$$ A=PJP^{-1}. $$

As colunas de \(P\) são formadas por autovetores e, quando necessário, autovetores generalizados. O diagrama de blocos de Jordan mostra visualmente a mesma estrutura: os autovalores aparecem na diagonal, e as entradas \(1\) acima da diagonal mostram os autovetores generalizados ligados dentro de um bloco.

O resultado Autovalores complexos para uma matriz real \(2\times2\) significa que o modo de números reais encontrou um caso fora da forma de Jordan compatível. Isso não significa que a matriz não tenha autovalores no conjunto dos números complexos.

Erros e equívocos comuns

Supor que um autovalor repetido significa “não diagonalizável”. Um autovalor repetido ainda pode ser diagonalizável. Por exemplo, \(A=5I_2\) tem o autovalor \(5\) com multiplicidade algébrica \(2\) e multiplicidade geométrica \(2\), portanto é diagonalizável.

Confundir multiplicidade algébrica com multiplicidade geométrica. A multiplicidade algébrica vem do polinômio característico. A multiplicidade geométrica vem da dimensão de um espaço próprio. A estrutura dos blocos de Jordan depende das duas.

Olhar apenas para os autovalores. Os autovalores informam o que aparece na diagonal de \(J\), mas não determinam sozinhos os tamanhos dos blocos de Jordan. As nulidades de \(A-\lambda I\) e de suas potências fornecem a informação que falta.

Inserir uma matriz \(3\times3\) geral quando apenas matrizes \(3\times3\) triangulares são compatíveis. Uma matriz triangular tem os autovalores na diagonal, o que torna viável o fluxo para matrizes pequenas. Uma matriz \(3\times3\) geral não triangular pode exigir cálculos adicionais do polinômio característico e dos autovetores, que estão fora deste modo da calculadora.

Esperar parâmetros ou expressões radicais digitadas. As entradas decimais e em notação científica são convertidas em números racionais exatos, e os autovalores quadráticos reais são retornados com radicais exatos. Entradas como parâmetros, sqrt(2), e frações digitadas como 1/3 não são aceitas; insira um número decimal ou em notação científica.

Digitar expressões em vez de entradas numéricas. As entradas da matriz devem ser números reais. Entradas como radicais simbólicos, parâmetros ou frações em texto podem não ser aceitas como entradas numéricas.

Ignorar autovalores complexos. Algumas matrizes reais têm autovalores não reais. Essas matrizes podem ser estudadas no conjunto dos números complexos, mas o fluxo compatível com \(2\times2\) reais é interrompido em vez de produzir uma decomposição de Jordan complexa.

Quando usar a forma normal de Jordan

Use a forma normal de Jordan quando quiser entender a estrutura de uma matriz quadrada para além de seus autovalores.

Ela é especialmente útil quando:

  • uma matriz tem autovalores repetidos,
  • você precisa decidir se uma matriz é diagonalizável,
  • um espaço próprio tem dimensão menor que a esperada,
  • você quer identificar cadeias de autovetores generalizados,
  • você está estudando potências de matrizes, exponenciais de matrizes, sistemas de equações diferenciais ou relações de recorrência,
  • você precisa de um resumo compacto de como uma transformação linear se comporta depois de uma mudança de base.

Para verificações rápidas em sala de aula ou em exercícios, matrizes \(2\times2\) pequenas e matrizes \(3\times3\) triangulares são bons casos, pois os autovalores e as nulidades podem ser interpretados diretamente.

Limitações e pontos importantes

A forma normal de Jordan é um conceito algébrico exato. Esta calculadora interpreta cada entrada decimal ou em notação científica aceita como um número racional exato; por isso, os testes de zero, o agrupamento de autovalores, a redução por linhas, as nulidades e as decisões sobre os blocos de Jordan não usam uma tolerância de ponto flutuante.

Esta calculadora foi projetada para matrizes numéricas reais de tamanho \(2\times2\) ou \(3\times3\). Para matrizes \(3\times3\), o caso compatível são as matrizes triangulares: as entradas acima ou abaixo da diagonal podem ser não nulas, mas não dos dois lados ao mesmo tempo.

As principais limitações são:

  • Não há suporte para matrizes \(1\times1\), matrizes \(n\times n\) gerais ou matrizes maiores que \(3\times3\).
  • Não há suporte para matrizes \(3\times3\) gerais não triangulares.
  • Não há suporte para entradas de matriz com valores complexos.
  • A calculadora não calcula uma forma canônica real para matrizes reais com autovalores complexos.
  • Não são aceitas expressões simbólicas, como parâmetros ou radicais.
  • Cada entrada é limitada a 64 caracteres de origem, expoentes científicos de -100 a 100 e numerador e denominador reduzidos expandidos de no máximo 128 dígitos.
  • Talvez não seja possível construir uma decomposição completa \(P\) e \(J\) para todos os casos não diagonalizáveis compatíveis, mesmo quando a estrutura dos blocos de Jordan é informada.

O modo exato exibe frações reduzidas e radicais quadráticos exatos. O modo decimal altera apenas a apresentação e pode arredondar os valores para facilitar a leitura. Uma matriz \(3\times3\) só é triangular quando as entradas fora da diagonal necessárias são exatamente zero. Sempre que \(P\) e \(J\) são exibidas, a calculadora primeiro verifica exatamente se \(P\) é invertível e \(AP=PJ\); ela também informa um resíduo decimal normalizado como diagnóstico.

Para provas, exames, publicações ou qualquer trabalho em que a álgebra exata seja importante, use a calculadora como guia e verifique o resultado manualmente ou com um sistema de álgebra simbólica exata.

Como usar esta calculadora

  1. Escolha o tamanho da matriz: \(2\times2\) ou \(3\times3\).
  2. Insira cada entrada numérica real de \(A\) na grade da matriz.
  3. Para uma matriz \(3\times3\), certifique-se de que a matriz seja triangular.
  4. Como alternativa, cole uma matriz quadrada \(2\times2\) ou \(3\times3\), usando espaços, vírgulas, tabulações, ponto e vírgula ou novas linhas como separadores.
  5. Selecione o modo de formato de saída para alternar entre frações/radicais exatos e aproximações decimais.
  6. Analise o resultado principal para verificar se a matriz é diagonalizável, não diagonalizável, incompatível ou possui autovalores complexos.
  7. Consulte a tabela de autovalores para comparar a multiplicidade algébrica, a multiplicidade geométrica e os tamanhos dos blocos.
  8. Analise as matrizes \(J\) e \(P\) quando elas forem fornecidas.
  9. Use o diagrama de blocos de Jordan para visualizar o padrão dos blocos e baixe-o como PNG, se necessário.

Perguntas frequentes

Uma matriz com um autovalor repetido é sempre não diagonalizável?

Não. Um autovalor repetido significa apenas que a multiplicidade algébrica é maior que \(1\). A matriz ainda é diagonalizável se o espaço próprio tiver a mesma dimensão que essa multiplicidade algébrica.

O que significa um bloco de Jordan de tamanho \(2\)?

Um bloco de Jordan de tamanho \(2\) significa que há um autovetor comum e um autovetor generalizado ligado a ele. A superdiagonal \(1\) do bloco registra essa ligação.

Por que as nulidades das potências de \(A-\lambda I\) são importantes?

A nulidade de \(A-\lambda I\) fornece o número de blocos de Jordan para \(\lambda\). A maneira como a nulidade cresce para potências como \((A-\lambda I)^2\) e \((A-\lambda I)^3\) revela o comprimento desses blocos.

O que \(\lambda: 2+1\) significa em um resumo de blocos?

Isso significa que o autovalor \(\lambda\) tem um bloco de Jordan de tamanho \(2\) e um bloco de Jordan de tamanho \(1\). A multiplicidade algébrica total desse autovalor é \(3\).

Por que uma matriz \(3\times3\) pode ser rejeitada?

O modo \(3\times3\) compatível é destinado a matrizes triangulares. Se uma matriz tiver entradas não nulas acima e abaixo da diagonal, ela será uma matriz \(3\times3\) geral e estará fora deste modo da calculadora.

O que exatamente o modo exato garante?

As entradas decimais e em notação científica aceitas são números racionais exatos internamente. O modo exato mostra frações reduzidas e radicais quadráticos exatos para autovalores \(2\times2\) reais compatíveis. Ele não aceita parâmetros simbólicos nem expressões radicais como entrada.

O que acontece se uma matriz \(2\times2\) tiver autovalores complexos?

A calculadora informa que os autovalores complexos estão fora do modo compatível de forma de Jordan real. No conjunto dos números complexos, a matriz ainda pode ter autovalores complexos e uma forma de Jordan complexa, mas isso não é o mesmo que a saída compatível para números reais.

Fontes e referências

Livros e livros didáticos abertos

  1. Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right. 4ª ed., Springer, 2024. Capítulos 8A–8C sobre núcleos de potências, autovetores generalizados, decomposição em espaços próprios generalizados e forma de Jordan. https://linear.axler.net/LADR4e.pdf
  2. Dan Margalit e Joseph Rabinoff. Interactive Linear Algebra. Georgia Institute of Technology. Seções 5.2 e 5.4 sobre o polinômio característico, matrizes triangulares, diagonalização, multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica. https://textbooks.math.gatech.edu/ila/

Fontes on-line e universitárias

  1. Russell Herman. “2.10: Apêndice — Diagonalização e sistemas lineares.” A Second Course in Ordinary Differential Equations: Dynamical Systems and Boundary Value Problems, Mathematics LibreTexts, acessado em 28 de junho de 2026. https://math.libretexts.org/Bookshelves/DifferentialEquations/ASecondCourseinOrdinaryDifferentialEquations%3ADynamicalSystemsandBoundaryValueProblems%28Herman%29/02%3ASystemsofDifferentialEquations/2.10%3AAppendix-DiagonalizationandLinear_Systems
  2. Georgia Institute of Technology. “Jordan Canonical Forms.” 6 de dezembro de 2006. Usado para a relação entre as nulidades das potências de \(A-\lambda I\) e os tamanhos dos blocos de Jordan. https://ecroot.math.gatech.edu/jordan.pdf