O que é a decomposição de Cholesky?
A decomposição de Cholesky é uma forma de fatorar um tipo especial de matriz quadrada em uma matriz triangular inferior e sua transposta. Para uma matriz real, simétrica e definida positiva \(A\), a fatoração é escrita como:
$$
A = LL^T
$$
Aqui, \(L\) é uma matriz triangular inferior, o que significa que todos os elementos acima de sua diagonal principal são \(0\), e \(L^T\) é a transposta de \(L\). Na forma padrão de Cholesky, os elementos da diagonal de \(L\) são positivos.
A ideia principal é simples: em vez de trabalhar com a matriz original de uma só vez, a decomposição de Cholesky a reescreve como o produto de duas matrizes triangulares. Matrizes triangulares são mais fáceis de manipular porque muitos elementos já são conhecidos como \(0\). Isso torna a fatoração útil em álgebra linear, métodos numéricos, estatística, otimização, engenharia e outras áreas nas quais matrizes simétricas definidas positivas aparecem com frequência.
A expressão “simétrica definida positiva” é importante. Uma matriz precisa ser simétrica, mas a simetria sozinha não basta. Ela também precisa ser definida positiva, o que significa que sua forma quadrática é positiva para todo vetor não nulo:
$$
x^T A x > 0 \quad \text{for every nonzero vector } x
$$
Quando essa condição é satisfeita por uma matriz real simétrica, a fatoração de Cholesky existe e é única quando se exige que os elementos da diagonal de \(L\) sejam positivos.
Por que a decomposição de Cholesky é importante
A decomposição de Cholesky é importante porque aproveita a estrutura da matriz. Uma matriz quadrada genérica pode exigir uma fatoração de uso geral, mas uma matriz simétrica definida positiva tem propriedades adicionais que permitem uma fatoração triangular mais simples.
Isso é especialmente útil para resolver sistemas como:
$$
Ax = b
$$
Se \(A = LL^T\), o sistema pode ser resolvido em duas etapas triangulares:
$$
Ly = b
$$
depois
$$
L^T x = y
$$
Em geral, isso é mais eficiente e conveniente do ponto de vista numérico do que tratar \(A\) como uma matriz genérica sem estrutura relacionada.
A decomposição de Cholesky também aparece em estatística e probabilidade. Por exemplo, matrizes de covariância são simétricas e, quando são válidas e não degeneradas, definidas positivas. Um fator de Cholesky pode ser usado para transformar variáveis não correlacionadas em variáveis com uma estrutura de covariância desejada.
Estudantes usam a decomposição de Cholesky para compreender fatoração de matrizes, positividade definida e sistemas triangulares. Profissionais a utilizam como uma ferramenta prática em computação científica, otimização, simulação, métodos de mínimos quadrados e álgebra linear numérica.
Termos importantes
-
Matriz: Arranjo retangular de números organizados em linhas e colunas.
-
Matriz quadrada: Matriz com o mesmo número de linhas e colunas.
-
Matriz simétrica: Matriz real cujos elementos espelhados coincidem, de modo que \(A_{i,j} = A_{j,i}\).
-
Matriz definida positiva: Matriz simétrica tal que \(x^T A x > 0\) para todo vetor não nulo \(x\).
-
Matriz triangular inferior: Matriz quadrada cujos elementos acima da diagonal principal são todos \(0\).
-
Transposta: Matriz formada pela troca de linhas e colunas. A transposta de \(L\) é escrita como \(L^T\).
-
Pivô: Valor da diagonal usado durante uma etapa da fatoração. Na decomposição de Cholesky, o pivô precisa permanecer suficientemente positivo para permitir uma raiz quadrada real e uma divisão segura.
-
Erro de reconstrução: Verificação numérica que compara a matriz original \(A\) com o produto \(LL^T\).
-
Aritmética de ponto flutuante: Aritmética computacional aproximada usada em cálculos decimais. Ela é rápida e prática, mas não é igual à aritmética simbólica ou racional exata.
Como funciona a decomposição de Cholesky
A decomposição de Cholesky constrói a matriz \(L\) um elemento de cada vez. Cada novo elemento depende apenas dos elementos de \(L\) que já foram calculados.
Para uma matriz \(n \times n\) real, simétrica e definida positiva \(A\), a fatoração é:
$$
A = LL^T
$$
em que:
-
\(A\) é a matriz quadrada original.
-
\(L\) é o fator de Cholesky triangular inferior.
-
\(L^T\) é a transposta de \(L\).
-
\(n\) é o número de linhas e colunas.
Usando indexação começando em 1, os elementos da diagonal são calculados por:
$$
L_{j,j} = \sqrt{A_{j,j} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{j,k}^2}
$$
Os elementos abaixo da diagonal são calculados por:
$$
L_{i,j} = \frac{A_{i,j} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{i,k}L_{j,k}}{L_{j,j}} \quad \text{for } i > j
$$
A fórmula da diagonal subtrai a contribuição dos elementos anteriores na mesma linha e depois calcula uma raiz quadrada. A fórmula dos elementos fora da diagonal subtrai os produtos cruzados anteriores e depois divide pelo elemento correspondente da diagonal.
É a condição de positividade definida que mantém positivas, na aritmética exata, as expressões sob as raízes quadradas da diagonal. Se uma expressão da diagonal se tornar zero ou negativa, a matriz não é definida positiva para esta forma da decomposição de Cholesky.
Exemplos práticos de decomposição de Cholesky
Exemplo 1: exemplo simples
Considere a matriz:
$$
A = \begin{bmatrix}
4 & 2 \\
2 & 3
\end{bmatrix}
$$
Queremos:
$$
A = LL^T
$$
com
$$
L = \begin{bmatrix}
L_{1,1} & 0 \\
L_{2,1} & L_{2,2}
\end{bmatrix}
$$
Primeiro, calcule o elemento da diagonal superior esquerda:
$$
L_{1,1} = \sqrt{4} = 2
$$
Em seguida, calcule o elemento abaixo dele:
$$
L_{2,1} = \frac{2}{2} = 1
$$
Agora, calcule o segundo elemento da diagonal:
$$
L_{2,2} = \sqrt{3 - 1^2} = \sqrt{2}
$$
Portanto, o fator de Cholesky é:
$$
L = \begin{bmatrix}
2 & 0 \\
1 & \sqrt{2}
\end{bmatrix}
$$
Multiplicar \(L\) por \(L^T\) produz a matriz original:
$$
\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
1 & \sqrt{2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & \sqrt{2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
4 & 2 \\
2 & 3
\end{bmatrix}
$$
Exemplo 2: exemplo do mundo real
Suponha que uma matriz de covariância seja:
$$
A = \begin{bmatrix}
9 & 3 \\
3 & 4
\end{bmatrix}
$$
Um fator de Cholesky pode ser útil porque representa a estrutura de covariância por meio de uma matriz triangular. Calcule o primeiro elemento da diagonal:
$$
L_{1,1} = \sqrt{9} = 3
$$
Calcule o elemento inferior esquerdo:
$$
L_{2,1} = \frac{3}{3} = 1
$$
Calcule o segundo elemento da diagonal:
$$
L_{2,2} = \sqrt{4 - 1^2} = \sqrt{3}
$$
Assim:
$$
L = \begin{bmatrix}
3 & 0 \\
1 & \sqrt{3}
\end{bmatrix}
$$
Isso significa que a matriz de covariância pode ser reconstruída como:
$$
A = LL^T
$$
Em simulações, esse tipo de fator pode ajudar a transformar quantidades padronizadas independentes em quantidades correlacionadas, seguindo o padrão de covariância representado por \(A\).
Exemplo 3: caso-limite comum
Um erro comum é presumir que toda matriz simétrica tem uma decomposição de Cholesky. Considere:
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
$$
Essa matriz é simétrica porque os elementos fora da diagonal coincidem. Porém, quando a decomposição de Cholesky começa, os primeiros elementos são:
$$
L_{1,1} = \sqrt{1} = 1
$$
$$
L_{2,1} = \frac{2}{1} = 2
$$
O próximo elemento da diagonal seria:
$$
L_{2,2} = \sqrt{1 - 2^2} = \sqrt{-3}
$$
Isso não é um número real. A matriz é simétrica, mas não é definida positiva; portanto, a fatoração de Cholesky real na forma inferior \(A = LL^T\) não existe.
Como interpretar o resultado
O resultado principal é a matriz triangular inferior \(L\). Se a fatoração for bem-sucedida, multiplicar \(L\) por sua transposta \(L^T\) deve reproduzir a matriz original \(A\), exceto por pequenas diferenças de arredondamento numérico.
Um resultado bem-sucedido significa que a matriz passou pelas verificações de simetria e positividade definida da calculadora e que a fatoração foi concluída. Isso não significa que toda matriz semelhante funcionará; a matriz informada precisa satisfazer as condições exigidas.
A identidade exibida
$$
A = LL^T
$$
significa que a matriz original foi reescrita como o produto do fator de Cholesky por sua transposta. A matriz \(L\) é o fator principal a ser analisado. A matriz \(L^T\) é simplesmente a transposta de \(L\).
O erro de simetria mostra o quanto os elementos espelhados se afastam da coincidência. Um erro de simetria igual a \(0\) significa que os elementos espelhados coincidem exatamente na comparação numérica exibida. Um valor pequeno e diferente de zero significa que a matriz é quase simétrica, enquanto um valor grande indica que ela não deve ser tratada como simétrica.
O erro de reconstrução compara \(A\) com o produto calculado \(LL^T\). Um erro de reconstrução muito pequeno significa que a fatoração exibida é numericamente consistente com a entrada. Um erro de reconstrução maior significa que o produto calculado está mais distante da matriz original, o que pode indicar efeitos de arredondamento, uma entrada inadequada ou dificuldade numérica.
A derivação passo a passo é útil para aprender. Cada etapa mostra como um elemento de \(L\) é calculado a partir de elementos que já haviam sido encontrados.
Erros e equívocos comuns
-
Supor que a simetria seja suficiente: A matriz precisa ser simétrica e definida positiva, não apenas simétrica.
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Inserir uma matriz retangular: A decomposição de Cholesky se aplica a matrizes quadradas; portanto, o número de linhas e colunas deve ser igual.
-
Confundir \(L\) com \(L^T\): \(L\) é triangular inferior. \(L^T\) é triangular superior porque é a transposta de \(L\).
-
Esperar resultados simbólicos exatos: Entradas numéricas decimais produzem resultados numéricos. Expressões simbólicas e aritmética racional exata são tarefas diferentes.
-
Tratar os decimais exibidos como exatos: O arredondamento afeta a forma como os valores são exibidos. Ele não transforma um cálculo numérico aproximado em aritmética exata.
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Deixar novas células em branco após alterar o tamanho: Todas as células da matriz devem conter um número finito para que o cálculo seja bem-sucedido.
-
Colar linhas com tamanhos diferentes: Cada linha colada deve conter o mesmo número de elementos, e a matriz colada final deve ser quadrada.
-
Usar uma matriz semidefinida positiva: Algumas matrizes semidefinidas positivas podem ter fatorações relacionadas em uma teoria mais ampla, mas esta calculadora foi projetada para matrizes definidas positivas com pivôs suficientemente positivos.
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Tentar fatorar uma matriz indefinida: Se a expressão sob a raiz quadrada da diagonal se tornar negativa, a matriz não é definida positiva para este método.
Quando usar a decomposição de Cholesky
Use a decomposição de Cholesky quando estiver trabalhando com uma matriz real, simétrica e definida positiva e quiser uma fatoração triangular.
Os usos comuns incluem:
-
Resolver sistemas lineares \(Ax=b\) nos quais \(A\) é simétrica definida positiva.
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Conferir etapas de Cholesky calculadas à mão em um curso de álgebra linear ou métodos numéricos.
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Trabalhar com matrizes de covariância em estatística, probabilidade e simulação.
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Compreender matrizes definidas positivas por meio de uma fatoração concreta.
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Preparar-se para métodos de otimização que envolvem matrizes hessianas definidas positivas ou matrizes de aproximação.
-
Comparar a decomposição de Cholesky com a decomposição LU, a decomposição LDL\(^T\), a fatoração QR ou métodos de autovalores.
A decomposição de Cholesky não é a ferramenta certa para toda matriz. Se a matriz for retangular, não simétrica, indefinida, complexa ou simbólica, outro método pode ser mais apropriado.
Limitações e pontos importantes
A decomposição de Cholesky tem requisitos rigorosos para a entrada. Na forma real triangular inferior usada aqui, a matriz precisa ser quadrada, simétrica e definida positiva.
Esta calculadora aceita matrizes quadradas de \(2 \times 2\) a \(6 \times 6\). Ela não aceita matrizes menores que \(2 \times 2\), maiores que \(6 \times 6\), matrizes retangulares, elementos simbólicos, elementos complexos nem aritmética racional exata.
Os elementos da matriz são tratados como números finitos sem unidade. Um decimal como \(0.5\) é aceito, mas uma expressão simbólica ou uma string de fração como 1/2 não é tratada como uma entrada racional exata.
A calculadora usa tolerâncias de ponto flutuante relativas à escala. Ela mede o maior elemento absoluto da matriz e então usa \(256\,\varepsilon\,\max_{i,j}|A_{ij}|\), em que \(\varepsilon\) é o Number.EPSILON do JavaScript, como tolerância para a simetria e para o radicando da diagonal. Elementos espelhados que diferem mais do que esse valor são rejeitados como não simétricos; um radicando da diagonal precisa ser maior do que ele; e um pivô cujo valor absoluto seja no máximo sua raiz quadrada é tratado como próximo demais de zero.
Matrizes semidefinidas positivas não são aceitas por esta calculadora quando produzem um pivô de Cholesky igual a zero ou próximo de zero. Na teoria exata, casos semidefinidos positivos exigem cuidado adicional e podem não ter o mesmo fator inferior único com diagonal positiva usado para matrizes definidas positivas.
A precisão exibida não é igual à precisão exata. Os elementos da matriz e os valores das etapas são exibidos usando a configuração decimal selecionada, de \(2\) a \(10\) casas decimais. Se a configuração de precisão estiver ausente ou for inválida, a exibição usará \(6\) casas decimais. Valores métricos, como o erro de simetria e o erro de reconstrução, são exibidos separadamente com formatação métrica fixa.
Valores exatamente iguais a zero são exibidos como \(0\). Valores diferentes de zero cujo valor absoluto seja menor que \(10^{-p}\), em que \(p\) é a precisão de exibição selecionada, são mostrados em notação científica (usando até \(8\) casas decimais no expoente); assim, valores numéricos pequenos não são ocultados silenciosamente pela formatação.
Para trabalhos acadêmicos, profissionais, de engenharia, científicos ou estatísticos, use o resultado como um auxílio numérico e verifique de forma independente as entradas e conclusões importantes. Quando uma fatoração de matriz afetar decisões críticas para a segurança, financeiras, de engenharia, de pesquisa ou oficiais, confira o cálculo com software, documentação ou um profissional qualificado.
Como usar esta calculadora
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Escolha o tamanho da matriz quadrada, de \(2 \times 2\) a \(6 \times 6\).
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Informe um valor numérico finito em todas as células da matriz ou cole uma matriz quadrada usando linhas de valores separados por espaços, vírgulas, ponto e vírgula ou tabulações.
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Use os controles de exemplo quando quiser carregar um exemplo conhecido de matriz definida positiva ou um exemplo simétrico que falha.
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Defina a precisão decimal exibida de \(2\) a \(10\) casas.
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Execute o cálculo e confira a mensagem de status.
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Leia a identidade da fatoração, a matriz \(L\), a matriz \(L^T\), a matriz de reconstrução e as métricas de erro.
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Selecione uma linha da derivação ou uma célula triangular inferior destacada para consultar a fórmula e a substituição daquela etapa.
Perguntas frequentes
Por que a matriz precisa ser simétrica definida positiva?
A fatoração de Cholesky na forma inferior \(A = LL^T\) depende do cálculo de raízes quadradas reais de quantidades positivas. A simetria dá à matriz a estrutura espelhada adequada, enquanto a positividade definida mantém positivos, na aritmética exata, os pivôs da diagonal de Cholesky.
Toda matriz simétrica tem uma decomposição de Cholesky?
Não. A simetria é necessária, mas não basta. Uma matriz simétrica com um pivô de Cholesky negativo ou igual a zero não é definida positiva para esta fatoração padrão de Cholesky com diagonal positiva.
Qual é a diferença entre \(L\) e \(L^T\)?
\(L\) é o fator de Cholesky triangular inferior, portanto os elementos acima de sua diagonal são \(0\). \(L^T\) é a transposta de \(L\), que transforma linhas em colunas e aparece no lado direito do produto \(LL^T\).
O que significa o erro de reconstrução?
O erro de reconstrução mede o quanto a matriz original \(A\) se distancia do produto calculado \(LL^T\). Um valor pequeno significa que a fatoração é numericamente consistente com a matriz informada, considerando os efeitos normais de arredondamento.
Por que minha matriz falhou embora pareça quase correta?
Uma matriz pode falhar se não for simétrica dentro da tolerância da calculadora, se for semidefinida positiva em vez de definida positiva ou se um pivô de Cholesky estiver próximo demais de zero. Os dados colados também podem falhar por causa de células em branco, tokens numéricos inválidos, linhas com tamanhos diferentes ou formato não quadrado.
Fontes e referências
Livros
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Gene H. Golub e Charles F. Van Loan. Matrix Computations. 4ª ed., Johns Hopkins University Press, 2013. Seções relevantes sobre sistemas definidos positivos, fatoração de Cholesky e cálculos numéricos com matrizes.
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Lloyd N. Trefethen e David Bau III. Numerical Linear Algebra. SIAM, 1997. Capítulos relevantes sobre sistemas de equações, condicionamento, estabilidade e fatorações numéricas de matrizes.
Fontes on-line e oficiais
-
Netlib LAPACK. “DPOTRF”. Documentação do LAPACK. Acessado em 27 de junho de 2026.
-
Sanjay Lall. “Cholesky Factorization”. Notas de aula de EE263, Stanford University. Acessado em 27 de junho de 2026.
-
Marco Taboga. “Cholesky Decomposition”. StatLect. Acessado em 27 de junho de 2026.
-
W. Keith Nicholson. “8.3: Positive Definite Matrices”. Mathematics LibreTexts. Acessado em 27 de junho de 2026.
-
Eric W. Weisstein. “Positive Definite Matrix”. Wolfram MathWorld. Acessado em 27 de junho de 2026.
