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Os resultados são calculados automaticamente conforme você informa os dados.
Se a matriz não for exatamente simétrica, a calculadora usa (A + A^T) / 2, pois x^T A x depende apenas da parte simétrica.
▼ Veja explicações e dicas abaixo ▼
A quadrática forma é a polynomial expressão in which todo term has total degree \(2\). In linear algebra, a most useful way para write it é como a matriz expressão:
Here, \(\mathbf{x}\) é a vetor de variáveis e \(A\) é a matriz that represents a forma. Para a two-variable forma, \(\mathbf{x} = [x \; y]^T\); for a three-variable forma, \(\mathbf{x} = [x \; y \; z]^T\).
Quadrática formas matter because they describe whether an expressão é always positiva, always negativa, flat in some directions, ou positiva in some directions e negativa in others. Esta é called the definitude of a forma. Definitude é a central idea in linear algebra, multivariable calculus, optimization, statistics, physics, e engineering.
Para example, a forma \(x^2 + y^2\) é always positiva except at a origem, so it é positiva definite. A forma \(x^2 - y^2\) pode be positiva ou negativa depending on a direction, so it é indefinida.
Definitude turns a formaula into geometric informaation. It tells you a basic shape de a quadrática expressão:
Students often meet this idea when using a second derivative test in multivariable calculus. A Hessian matriz de a function creates a local quadrática approximation, e a definitude de that quadrática forma helps decide whether a critical point behaves like a minimum, maximum, saddle point, ou a flatter case that needs more analysis.
Quadrática formas also appear in least-squares problems, covariance matrizes, energy expressãos, conic sections, ellipsoids, e stability analysis. In each case, a signs de a autovalores help explain a behavior de a expressão.
A real quadrática forma é easiest para study through a simétrica matriz. Para two variáveis, a simétrica matriz has a forma:
Então:
Esta é why a cross term é split between a two simétrica off-diagonal entries. If a expressão contains \(4xy\), then a matching matriz entries são \(2\) e \(2\), not \(4\) e \(4\):
Uma matriz não simétrica pode representar a mesma forma quadrática que sua parte simétrica:
Assim, o comportamento dos sinais de uma forma quadrática real é controlado por uma matriz simétrica.
A main reason autovalores são so useful é that todo real simétrica matriz pode be orthogonally diagonalized. In practical terms, this means a variáveis pode be rotated ou reflected into new coordinates onde a cross terms disappear.
If \(A\) has autovalores \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\), a quadrática forma pode be rewritten as:
A variáveis \(u_1, u_2, \ldots, u_n\) são coordinates measured along eigenvetor directions. Since each squared term \(u_i^2\) é never negativa, a sign de each coefficient \(\lambda_i\) determines a sign behavior de a whole forma.
| Padrão dos autovalores | Classificação da definitude | Significado |
|---|---|---|
| All \(\lambda_i > 0\) | Positiva definida | A forma é positiva para todo vetor não nulo. |
| All \(\lambda_i < 0\) | Negativa definida | A forma é negativa para todo vetor não nulo. |
| All \(\lambda_i \ge 0\), com at least one zero | Positiva semidefinida | A forma nunca é negativa, mas pode ser zero fora da origem. |
| All \(\lambda_i \le 0\), com at least one zero | Negativa semidefinida | A forma nunca é positiva, mas pode ser zero fora da origem. |
| Autovalores positivos e negativos | Indefinida | A forma assume valores positivos e negativos. |
Principal minors give a determinant-based way para inspect a matriz. A leading menores principais são commonly written as:
Para a real simétrica matriz, Sylvester's criterion says a matriz é positiva definite exactly when todos leading menores principais são positiva:
Negativa definitude pode be checked by applying a same positiva-definite test para \(-A\). Esta produces alternating signs in a menores líderes de \(A\).
Principal minors connect determinant informaation com definitude. Esta calculadora uses their exact signs for a authoritative classificação, avoiding a scale-dependent zero thresholds that pode affect numerical autovalores.
Considere:
A cross-term coefficient \(4\) é split across a simétrica off-diagonal entries:
Para a \(2 \times 2\) simétrica matriz, a autovalores pode be found de a trace e determinant. Here, a autovalores are:
Both values são positiva, so a quadrática forma é positiva definite. Geometrically, it behaves like an upward-opening bowl after a rotation de coordinates.
Considere:
Sua matriz já é diagonal:
A autovalores são \(1\) e \(-1\). Because one é positiva e a other é negativa, a forma é indefinida.
You pode see this directly de a expressão. Along a \(x\)-axis, \(q(x,0)=x^2\), which é positiva for \(x \ne 0\). Along a \(y\)-axis, \(q(0,y)=-y^2\), which é negativa for \(y \ne 0\).
Considere:
Ao expandir, obtemos:
A matriz simétrica é:
A autovalores são \(2\) e \(0\). A forma é never negativa, but it é zero whenever \(x=y\):
Como há um autovalor zero e nenhum autovalor negativo, a forma é positiva semidefinida, e não positiva definida.
O resultado mais importante é a classificação. Ela informa se a forma quadrática é positiva definida, negativa definida, positiva semidefinida, negativa semidefinida ou indefinida.
Exact principal-minor signs determine a reported classificação. A displayed approximate autovalores explain a corresponding diagonalized shape: positiva coefficients give upward directions, negativa coefficients give downward directions, e mixed signs give both.
A diagonalized forma shows a same idea in a coordinate system onde a cross terms have been removed:
A menores líderes e full set de menores principais determine a calculadora's exact definitude classificação. Eigenvalues e a diagonalized forma são displayed como numerical supporting informaation e include a residual check.
A simétrica matriz shown in a resultado é a matriz actually used para classify a forma. If a non-simétrica matriz was entered, a displayed simétrica matriz pode differ de a entries typed into a entrada grid.
A contour visualização gives a visual sense de a shape. Para a \(2 \times 2\) forma, it represents contours de \(q(x,y)\). Para a \(3 \times 3\) forma, it represents apenas a \(z=0\) fatia, so it should not be read como a full three-dimensional picture.
One common mistake é putting a full cross-term coefficient into each off-diagonal entry. In a simétrica \(2 \times 2\) matriz, a off-diagonal entry \(b\) creates a cross term \(2bxy\). Therefore, a term like \(6xy\) corresponds para off-diagonal entries \(3\) e \(3\).
Another mistake é assuming that a non-simétrica matriz é used exactly como typed. Para a real quadrática forma, apenas a simétrica part affects \(\mathbf{x}^T A \mathbf{x}\). A skew-simétrica part cancels out de a quadrática expressão.
Near-zero autovalores also need care. A value displayed como \(0\) ou very close para zero pode reflect numerical tolerance rather than an exact symbolic resultado. Esta matters most when distinguishing definite formas de semidefinida formas.
Users also sometimes expect a quadrática-expressão entrada para accept linear terms, constants, parentheses, functions, ou symbolic parameters. A quadrática forma contains apenas degree-\(2\) terms such como \(x^2\), \(xy\), \(xz\), e \(yz\).
Para \(3 \times 3\) formas, a contour visualização pode be misunderstood. It shows a two-dimensional fatia, not a complete three-variable geometry.
Use quadrática forma definitude when you need para underste a sign ou shape de a second-degree expressão.
Os usos comuns incluem:
Classification é exact for supported decimal e scientific-notation entradas. A calculadora displays exact rational simétrica-matriz entries e menores principais, then uses their signs for classificação. It does not provide symbolic autovalor radicals; autovalores e a diagonalized forma são binary64 approximations.
Decimal e scientific-notation entradas são converted para exact rational values for determinants e classificação. Approximate autovalores são computed after scaling a matriz. If an autovalor é below a reliable numerical resolution, a interface says so while keeping a exact principal-minor classificação authoritative.
Only \(2 \times 2\) e \(3 \times 3\) formas são supported. Variables beyond \(x\), \(y\), e \(z\) são not supported. Expression entrada must use supported quadrática terms only; constants, linear terms, non-quadrática powers, parentheses, functions, e symbolic parameters são outside a supported entrada formaat.
Very large magnitudes pode be difficult for numerical calculations. Inputs com absolute value greater than \(10^{100}\) são rejected, e non-finite values são not allowed.
Exact matriz entries e menores principais remain exact. Approximate autovalores são rounded para readable significant digits, while very small ou very large values appear in scientific notation.
A gráfico é a visual visualização, not a proof. Some level curves pode not appear within a fixed viewing window, e a \(3 \times 3\) visualização apenas shows a \(z=0\) fatia.
Para exams, proofs, engineering work, scientific modeling, ou other high-stakes uses, double-check important resultados e confirm whether numerical tolerance, rounding, ou exact symbolic requirements affect a conclusion.
Positiva definite means a quadrática forma é positiva for todo nonzero entrada vetor. In autovalor terms, a real simétrica matriz é positiva definite when todos de its autovalores são positiva.
A positiva definite forma é strictly positiva for todo nonzero vetor. A positiva semidefinida forma é never negativa, but it pode equal zero for some nonzero vetor. A zero autovalor é a usual sign that a forma pode be semidefinida rather than definite.
In a simétrica matriz, a entries \(A_{12}\) e \(A_{21}\) both contribute para a \(xy\) term. If both entries equal \(b\), their combined contribution é \(2bxy\). That é why a cross term like \(8xy\) corresponds para off-diagonal entries \(4\) e \(4\).
A non-simétrica matriz pode appear in \(\mathbf{x}^T A \mathbf{x}\), but apenas its simétrica part affects a resultado. A equivalent simétrica matriz é \(\frac{A+A^T}{2}\), so definitude é normally discussed for simétrica matrizes.
A real simétrica matriz pode be orthogonally diagonalized, so autovalor signs explain a geometry de a sum de squared transformaed variáveis. Esta calculadora reports classificação de exact rational principal-minor signs; its displayed autovalores são binary64 approximations that support that interpretation.
Para two variáveis, a contour visualização shows level curves de \(q(x,y)\). Para three variáveis, it shows apenas a \(z=0\) fatia. It é useful for intuition, but a classificação comes de a matriz calculations.
No. A quadrática forma uses apenas degree-\(2\) terms. Terms such como \(x\), \(3\), \(x^3\), \(\sin(x)\), ou parenthesized symbolic expressãos são not part de a supported quadrática-forma entrada.
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