Matriz aumentada [A|b]
Tamanho do sistema (variáveis):
3
Calculadora da Regra de Cramer
Use esta calculadora da Regra de Cramer para informar valores, ajustar as opções e consultar os resultados em um espaço de trabalho compacto e responsivo.
Os resultados são calculados automaticamente enquanto você informa os dados.
Solução
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O que é a Regra de Cramer?
A Regra de Cramer é um método baseado em determinantes para resolver um sistema quadrado de equações lineares. Um sistema quadrado tem o mesmo número de equações e variáveis, portanto pode ser escrito na forma matricial:
$$
A\mathbf{x} = \mathbf{b}
$$
Aqui, \(A\) é a matriz de coeficientes, \(\mathbf{x}\) é a coluna das variáveis desconhecidas e \(\mathbf{b}\) é a coluna das constantes no lado direito das equações.
A ideia principal é simples: em vez de usar substituição ou eliminação para encontrar cada variável, a Regra de Cramer compara determinantes. Primeiro, ela encontra o determinante da matriz de coeficientes. Depois, para cada variável, substitui a coluna de coeficientes dessa variável pela coluna de constantes e encontra um novo determinante.
Quando o determinante original não é zero, cada variável é encontrada dividindo um determinante de substituição pelo determinante original.
A Regra de Cramer é especialmente útil para entender como os determinantes se relacionam com sistemas de equações. Ela mostra que um determinante diferente de zero significa que a matriz de coeficientes é invertível, portanto o sistema tem uma única solução. Um determinante igual a zero significa que a Regra de Cramer não pode produzir um resultado único, e o sistema precisa ser verificado por outro método.
Por que a Regra de Cramer é importante
A Regra de Cramer é importante porque conecta três ideias essenciais da álgebra e da álgebra linear:
- Resolver sistemas de equações lineares
- Determinantes de matrizes quadradas
- Saber se um sistema tem uma solução, nenhuma solução ou infinitas soluções
Para sistemas pequenos, a Regra de Cramer fornece uma fórmula clara para cada variável. Isso a torna útil em atividades de aula, exemplos e conferência de respostas. Ela também ajuda a explicar por que o determinante da matriz de coeficientes é tão importante: se esse determinante for zero, as equações não determinam um único ponto de interseção.
Para sistemas maiores, a Regra de Cramer normalmente não é o método manual ou computacional mais rápido, porque exige vários cálculos de determinantes. A eliminação de Gauss, a redução por linhas, as inversas de matrizes ou os métodos numéricos de álgebra linear costumam ser mais eficientes. Ainda assim, a Regra de Cramer continua valiosa porque fornece uma fórmula direta e uma forte ligação conceitual entre determinantes e soluções.
Termos importantes
- Sistema linear: conjunto de equações lineares que envolve as mesmas variáveis.
- Sistema quadrado: sistema com \(N\) equações e \(N\) variáveis.
- Matriz de coeficientes \(A\): matriz formada apenas pelos coeficientes das variáveis.
- Vetor de constantes \(\mathbf{b}\): coluna das constantes do lado direito.
- Matriz aumentada \([A \mid \mathbf{b}]\): matriz de coeficientes com a coluna de constantes anexada.
- Determinante \(\det(A)\): número associado a uma matriz quadrada. Na Regra de Cramer, ele indica se a matriz de coeficientes pode produzir uma solução única.
- Determinante de substituição \(D_i\): determinante obtido ao substituir a coluna \(i\) de \(A\) por \(\mathbf{b}\).
- Posto: número de linhas ou colunas linearmente independentes em uma matriz. O posto ajuda a classificar sistemas singulares.
- Matriz singular: matriz quadrada com determinante \(0\).
- Sistema compatível: sistema com pelo menos uma solução.
- Sistema incompatível: sistema sem solução.
- Sistema dependente: sistema cujas equações não determinam uma única solução, muitas vezes porque uma equação repete a informação de outra.
Como funciona a Regra de Cramer
Suponha que um sistema linear quadrado seja escrito como:
$$
A\mathbf{x} = \mathbf{b}
$$
Para uma matriz de coeficientes \(N \times N\) \(A\), defina:
$$
D = \det(A)
$$
Para cada variável \(x_i\), crie uma nova matriz \(A_i\) substituindo a coluna \(i\) de \(A\) pelo vetor de constantes \(\mathbf{b}\). Em seguida, defina:
$$
D_i = \det(A_i)
$$
Se \(D \ne 0\), a Regra de Cramer fornece:
$$
x_i = \frac{D_i}{D}
$$
Essa fórmula funciona porque substituir uma coluna isola quanto dessa coluna é necessário para formar o vetor de constantes. O determinante atua como um fator de escala. Dividir o determinante de substituição pelo determinante original fornece o valor da variável correspondente.
Para um sistema com duas variáveis,
$$
\begin{aligned}
a_1x + b_1y &= c_1 \\
a_2x + b_2y &= c_2
\end{aligned}
$$
O determinante dos coeficientes é:
$$
D =
\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{vmatrix}
= a_1b_2 - a_2b_1
$$
Os determinantes de substituição são:
$$
D_x =
\begin{vmatrix}
c_1 & b_1 \\
c_2 & b_2
\end{vmatrix}
\quad \text{and} \quad
D_y =
\begin{vmatrix}
a_1 & c_1 \\
a_2 & c_2
\end{vmatrix}
$$
Quando \(D \ne 0\), a solução é:
$$
x = \frac{D_x}{D}
\quad \text{and} \quad
y = \frac{D_y}{D}
$$
Quando \(D = 0\), as frações da Regra de Cramer envolvem uma divisão por zero, portanto a regra não pode fornecer uma única solução. Nesse caso, o posto é uma ferramenta de diagnóstico melhor:
- Se \(\operatorname{rank}(A) < \operatorname{rank}([A \mid \mathbf{b}])\), o sistema é incompatível e não tem solução.
- Se \(\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A \mid \mathbf{b}]) < N\), o sistema é dependente e tem infinitas soluções.
- Se \(\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A \mid \mathbf{b}]) = N\), o sistema tem uma única solução. Para um sistema quadrado, essa é a mesma situação que \(\det(A) \ne 0\).
Exemplos práticos da Regra de Cramer
Exemplo 1: um sistema com duas variáveis
Resolva:
$$
\begin{aligned}
2x + y &= 8 \\
5x - 3y &= 1
\end{aligned}
$$
A matriz de coeficientes e o vetor de constantes são:
$$
A =
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
5 & -3
\end{bmatrix},
\quad
\mathbf{b} =
\begin{bmatrix}
8 \\
1
\end{bmatrix}
$$
Primeiro, encontre o determinante dos coeficientes:
$$
D =
\begin{vmatrix}
2 & 1 \\
5 & -3
\end{vmatrix}
= 2(-3) - 5(1)
= -11
$$
Como \(D \ne 0\), o sistema tem uma única solução.
Para \(x\), substitua a primeira coluna pela coluna de constantes:
$$
D_x =
\begin{vmatrix}
8 & 1 \\
1 & -3
\end{vmatrix}
= 8(-3) - 1(1)
= -25
$$
Portanto:
$$
x = \frac{D_x}{D} = \frac{-25}{-11} = \frac{25}{11}
$$
Para \(y\), substitua a segunda coluna pela coluna de constantes:
$$
D_y =
\begin{vmatrix}
2 & 8 \\
5 & 1
\end{vmatrix}
= 2(1) - 5(8)
= -38
$$
Portanto:
$$
y = \frac{D_y}{D} = \frac{-38}{-11} = \frac{38}{11}
$$
A solução é:
$$
\left(x, y\right) = \left(\frac{25}{11}, \frac{38}{11}\right)
$$
Exemplo 2: um sistema com três variáveis
Considere este sistema:
$$
\begin{aligned}
2x_1 - x_2 + 3x_3 &= 9 \\
x_1 + x_2 + x_3 &= 6 \\
3x_1 - 2x_2 + x_3 &= 7
\end{aligned}
$$
A matriz de coeficientes e o vetor de constantes são:
$$
A =
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 3 \\
1 & 1 & 1 \\
3 & -2 & 1
\end{bmatrix},
\quad
\mathbf{b} =
\begin{bmatrix}
9 \\
6 \\
7
\end{bmatrix}
$$
O determinante dos coeficientes é:
$$
D = \det(A) = -11
$$
Os determinantes de substituição são:
$$
D_1 = -31,
\quad
D_2 = -17,
\quad
D_3 = -18
$$
Portanto:
$$
x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{-31}{-11} = \frac{31}{11}
$$
$$
x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{-17}{-11} = \frac{17}{11}
$$
$$
x_3 = \frac{D_3}{D} = \frac{-18}{-11} = \frac{18}{11}
$$
Assim, a solução é:
$$
\left(x_1, x_2, x_3\right) = \left(\frac{31}{11}, \frac{17}{11}, \frac{18}{11}\right)
$$
Em decimais, isso é aproximadamente:
$$
\left(x_1, x_2, x_3\right) \approx \left(2.81818182, 1.54545455, 1.63636364\right)
$$
Exemplo 3: um sistema dependente
Considere:
$$
\begin{aligned}
x + 2y &= 3 \\
2x + 4y &= 6
\end{aligned}
$$
A segunda equação é simplesmente o dobro da primeira. O determinante dos coeficientes é:
$$
D =
\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
2 & 4
\end{vmatrix}
= 1(4) - 2(2)
= 0
$$
A Regra de Cramer não pode fornecer uma única solução. Os postos são:
$$
\operatorname{rank}(A) = 1
\quad \text{and} \quad
\operatorname{rank}([A \mid \mathbf{b}]) = 1
$$
Os postos são iguais, mas menores que o número de variáveis. O sistema é dependente e tem infinitas soluções.
Exemplo 4: um sistema incompatível
Agora altere apenas a segunda constante:
$$
\begin{aligned}
x + 2y &= 3 \\
2x + 4y &= 7
\end{aligned}
$$
O lado esquerdo da segunda equação ainda é o dobro do lado esquerdo da primeira, mas o lado direito não é o dobro de \(3\). O determinante dos coeficientes continua sendo \(0\), mas os postos são diferentes:
$$
\operatorname{rank}(A) = 1
\quad \text{and} \quad
\operatorname{rank}([A \mid \mathbf{b}]) = 2
$$
Como a matriz aumentada tem posto maior que a matriz de coeficientes, o sistema é incompatível e não tem solução.
Como interpretar o resultado
Um resultado com solução única significa que os valores exibidos de \(x_1, x_2, \ldots, x_N\) resolvem o sistema informado dentro da precisão numérica da calculadora.
O determinante \(D = \det(A)\) é o valor principal. Quando ele é diferente de zero, a Regra de Cramer pode dividir cada determinante de substituição por \(D\) para encontrar as variáveis. Um determinante maior ou menor não é automaticamente “melhor” ou “pior”; para a unicidade, o que importa é saber se o determinante é zero ou diferente de zero.
Cada valor \(D_i\) mostra o que acontece quando a \(i\)ª coluna de coeficientes é substituída pelo vetor de constantes. A fórmula exibida:
$$
x_i = \frac{D_i}{D}
$$
mostra exatamente como essa variável foi calculada.
Quando a matriz de coeficientes tem posto deficiente, os valores dos postos explicam o status do sistema:
| Padrão do resultado | Significado |
|---|---|
| \(D \ne 0\) | Solução única pela Regra de Cramer |
| \(D = 0\) e \(\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A \mid \mathbf{b}])\) | Sistema dependente com infinitas soluções |
| \(D = 0\) e \(\operatorname{rank}(A) < \operatorname{rank}([A \mid \mathbf{b}])\) | Sistema incompatível sem solução |
Os decimais exibidos podem ser arredondados para facilitar a leitura. Um valor apresentado como decimal finito pode representar uma fração ou um decimal periódico na forma exata.
Erros e equívocos comuns
Um erro comum é esquecer a coluna de constantes ao colar uma matriz aumentada. Uma matriz aumentada válida para \(N\) variáveis deve ter \(N\) linhas e \(N + 1\) colunas: \(N\) colunas de coeficientes mais uma coluna de constantes.
Outro erro é confundir a matriz de coeficientes \(A\) com a matriz aumentada \([A \mid \mathbf{b}]\). A Regra de Cramer usa \(\det(A)\) como denominador. A matriz aumentada é útil para organizar o sistema e conferir os postos, mas não é o determinante usado no denominador.
Alguns usuários também esperam que a Regra de Cramer retorne uma solução mesmo quando \(\det(A) = 0\). Isso não é possível. Um determinante igual a zero significa que a matriz de coeficientes é singular, portanto o sistema não tem solução ou tem infinitas soluções. São necessárias verificações dos postos para distinguir esses casos.
O arredondamento é outra fonte de confusão. Em sistemas quase singulares, um determinante muito pequeno pode tornar a solução sensível a pequenas alterações nos dados de entrada. Arredondar a entrada, os valores intermediários ou usar aproximações decimais pode afetar perceptivelmente o resultado exibido.
Por fim, os dados colados devem conter apenas valores numéricos simples. Rótulos de linhas, nomes de variáveis, colchetes e strings de frações como 1/2 não são iguais a números decimais no formato de entrada desta calculadora.
Quando usar a Regra de Cramer
Use a Regra de Cramer quando o sistema for quadrado e você quiser um método de solução baseado em determinantes. Ela é especialmente adequada para:
- Aprender como os determinantes resolvem sistemas lineares
- Resolver manualmente sistemas pequenos de \(2 \times 2\) ou \(3 \times 3\)
- Conferir um sistema com o mesmo número de equações e variáveis
- Comparar métodos baseados em determinantes com métodos de eliminação ou de inversa de matriz
- Entender por que um determinante igual a zero impede uma solução única
Para sistemas grandes, sistemas com muitos coeficientes iguais a zero ou sistemas que exigem alta estabilidade numérica, os métodos de redução por linhas costumam ser mais práticos. A Regra de Cramer continua útil como fórmula e ferramenta de ensino, mesmo quando outro método é mais rápido para o cálculo.
Limitações e pontos importantes
A Regra de Cramer se aplica diretamente a sistemas quadrados. Ela não foi projetada para sistemas com números diferentes de equações e variáveis.
Esta calculadora aceita sistemas de \(2 \times 2\) a \(6 \times 6\). Ela funciona com entradas reais finitas e trata células de coeficientes ou constantes vazias como \(0\). Ela não aceita números complexos, coeficientes simbólicos nem strings de frações coladas, como 1/2. Para evitar o arredondamento silencioso de um literal inteiro grande, o importador de dados colados rejeita tokens inteiros fora do intervalo de inteiros seguros do JavaScript; use notação científica explícita quando quiser uma aproximação de ponto flutuante.
Os cálculos são numéricos, e não uma álgebra simbólica exata. Para evitar confundir um determinante que sofreu subfluxo ou estouro numérico com uma matriz singular, a calculadora classifica o sistema usando postos de pivôs escalonados por linha e mostra o limiar de pivô relativo usado nessa verificação numérica. Um pivô escalonado pequeno ainda pode tornar a solução sensível a alterações nos dados de entrada.
A maioria dos valores de determinantes e soluções é exibida com até 8 casas decimais, e valores muito grandes ou muito pequenos podem ser exibidos em notação exponencial. Essa formatação facilita a leitura, mas pode ocultar valores fracionários exatos ou pequenas diferenças numéricas.
Como a calculadora usa coeficientes e constantes sem unidade, ela não associa unidades físicas ao resultado. Se suas equações vierem de um problema do mundo real, as unidades das variáveis devem vir do modelo informado, e não da Regra de Cramer.
Em trabalhos avaliados, engenharia, modelagem científica, finanças, cálculos relacionados à segurança ou decisões oficiais, confira a formulação e verifique o resultado com um método adequado ou com um profissional qualificado.
Como usar esta calculadora
- Escolha o tamanho do sistema, de 2 a 6 variáveis.
- Informe os coeficientes de cada equação sob \(x_1, x_2, \ldots, x_N\).
- Informe o valor do lado direito de cada equação na coluna Constante \(b\).
- Se quiser, cole uma matriz aumentada com \(N\) linhas e \(N + 1\) colunas. As linhas devem ser separadas por quebras de linha, e os valores podem ser separados por vírgulas, espaços, ponto e vírgula ou tabulações.
- Confira a solução, o determinante \(D\), os determinantes de substituição \(D_i\), os postos das matrizes e os cartões de etapas.
Uma matriz colada deve conter apenas valores numéricos finitos. Cada linha deve ter o mesmo número de entradas, e a matriz importada deve corresponder ao formato aumentado exigido.
Perguntas frequentes
O que \(\det(A) = 0\) significa na Regra de Cramer?
Isso significa que a matriz de coeficientes é singular, portanto o denominador da Regra de Cramer é zero. O sistema não tem uma solução única baseada em determinantes. Ele pode não ter solução ou ter infinitas soluções, dependendo dos postos de \(A\) e \([A \mid \mathbf{b}]\).
Por que a Regra de Cramer substitui uma coluna de cada vez?
Cada matriz de substituição testa como o vetor de constantes se encaixa no papel da coluna de coeficientes de uma variável. A razão \(D_i / D\) fornece a quantidade dessa variável necessária na solução, desde que o determinante original \(D\) seja diferente de zero.
A Regra de Cramer resolve qualquer sistema linear?
Não. A Regra de Cramer é destinada a sistemas quadrados, com o mesmo número de equações e variáveis. Ela fornece uma solução única somente quando o determinante da matriz de coeficientes é diferente de zero.
Por que a calculadora mostra os postos?
Os postos ajudam a explicar o que acontece quando \(\det(A)\) é zero. Se o posto dos coeficientes e o posto da matriz aumentada forem diferentes, o sistema não tem solução. Se os postos forem iguais, mas menores que o número de variáveis, o sistema terá infinitas soluções.
Por que vejo decimais em vez de frações exatas?
A calculadora formata os resultados numéricos para facilitar a leitura. Um decimal exibido pode ser uma aproximação de uma fração exata, especialmente quando a solução envolve decimais periódicos, como \(31 / 11\).
Posso colar frações como 1/2?
Não. Use valores decimais, como 0.5. A entrada colada deve conter valores numéricos simples separados por vírgulas, espaços, ponto e vírgula, tabulações ou quebras de linha.
Fontes e referências
Livros e livros didáticos abertos
- Jay Abramson. College Algebra 2e. OpenStax, 2021. Seção 7.8, “Solving Systems with Cramer's Rule.” OpenStax. Acessado em 28 de junho de 2026.
- Carl Stitz e Jeff Zeager. Precalculus. Seção 8.5, “Determinants and Cramer's Rule.” Edição do Mathematics LibreTexts com o conteúdo-fonte de Stitz-Zeager. Mathematics LibreTexts. Acessado em 28 de junho de 2026.
- Dan Margalit e Joseph Rabinoff. Interactive Linear Algebra. Seção 4.1, “Determinants: Definition.” Edição do Mathematics LibreTexts com o conteúdo-fonte do Georgia Tech. Mathematics LibreTexts. Acessado em 28 de junho de 2026.
- Autar Kaw. Introduction to Matrix Algebra. Seção 1.5, “System of Equations.” Edição do Mathematics LibreTexts com o conteúdo-fonte de Math for College. Mathematics LibreTexts. Acessado em 28 de junho de 2026.