Matriz A
Tamanho da matriz:
3
Calculadora de Decomposição LU
Fatore uma matriz em matrizes triangulares inferior e superior com pivotamento e resolução de sistemas.
Os resultados são calculados automaticamente à medida que você informa os dados.
Decomposição
Operações de linha e verificação
▼ Veja as explicações e dicas abaixo ▼
Calculadoras relacionadas
O que é decomposição LU?
A decomposição LU é uma forma de reescrever uma matriz quadrada como o produto de duas matrizes triangulares mais simples. As letras representam inferior e superior:
- \(L\) é uma matriz triangular inferior, ou seja, seus elementos acima da diagonal principal são zero.
- \(U\) é uma matriz triangular superior, ou seja, seus elementos abaixo da diagonal principal são zero.
Para muitas matrizes, a ideia básica é:
$$
A = LU
$$
Em trabalhos numéricos práticos, as trocas de linhas são frequentemente incluídas. Essas trocas são registradas em uma matriz de permutação \(P\), portanto a fatoração é escrita como:
$$
PA = LU
$$
Isso significa que, depois que as linhas de \(A\) são reorganizadas de acordo com \(P\), a matriz reorganizada pode ser reconstruída multiplicando \(L\) e \(U\).
A decomposição LU está intimamente ligada à eliminação de Gauss. A eliminação de Gauss transforma uma matriz em uma forma triangular superior. A decomposição LU registra esse processo de forma reutilizável: os multiplicadores usados durante a eliminação tornam-se elementos de \(L\), enquanto a matriz triangular superior final se torna \(U\).
Por que a decomposição LU é importante
A decomposição LU é importante porque sistemas triangulares são muito mais fáceis de resolver do que um sistema geral de equações lineares. Em vez de resolver \(Ax=b\) diretamente todas as vezes, uma matriz pode ser fatorada uma vez e depois reutilizada.
Isso é especialmente útil quando a mesma matriz de coeficientes \(A\) é associada a diferentes vetores do lado direito \(b\). Por exemplo, engenheiros, cientistas e estudantes podem resolver vários sistemas relacionados nos quais as relações entre as variáveis permanecem iguais, mas os valores informados mudam.
A decomposição LU também ajuda a:
- resolver sistemas de equações lineares,
- entender a estrutura da eliminação de Gauss,
- calcular determinantes com eficiência,
- verificar se foram necessárias trocas de linhas,
- estudar métodos numéricos e algoritmos matriciais.
Em exemplos pequenos de sala de aula, a decomposição LU é principalmente uma ferramenta de aprendizado. Em problemas numéricos maiores, ela é um dos blocos fundamentais de muitos solucionadores de álgebra linear.
Termos importantes
- Matriz quadrada: uma matriz com o mesmo número de linhas e colunas. A fatoração LU para resolver \(Ax=b\) geralmente é discutida para matrizes de coeficientes quadradas.
- Matriz triangular inferior: uma matriz cujos elementos acima da diagonal principal são zero.
- Matriz triangular superior: uma matriz cujos elementos abaixo da diagonal principal são zero.
- Matriz triangular inferior unitária: uma matriz triangular inferior cujos elementos diagonais são todos \(1\).
- Matriz de permutação: uma matriz que representa trocas de linhas. Multiplicar por \(P\) reorganiza as linhas de outra matriz.
- Pivô: o elemento usado para eliminar os valores abaixo dele durante a eliminação de Gauss.
- Pivoteamento parcial: uma estratégia de troca de linhas que escolhe um pivô forte na coluna atual, geralmente selecionando o maior valor absoluto disponível nessa coluna.
- Substituição progressiva: o processo de resolver um sistema triangular inferior como \(Ly = Pb\).
- Substituição regressiva: o processo de resolver um sistema triangular superior como \(Ux = y\).
- Erro relativo de reconstrução: uma verificação numérica ajustada à escala de quão próximo \(LU\) fica de \(PA\) depois que a fatoração é calculada.
Como funciona a decomposição LU
A decomposição LU segue a mesma lógica básica da eliminação. Em cada etapa, um pivô é escolhido, os elementos abaixo dele são eliminados e o multiplicador usado em cada eliminação é armazenado.
Para um pivô na coluna \(k\), o multiplicador para uma linha inferior \(i\) é:
$$
m_{ik} = \frac{u_{ik}}{u_{kk}}
$$
A operação de linha então subtrai esse múltiplo da linha do pivô:
$$
R_i \leftarrow R_i - m_{ik}R_k
$$
Esses multiplicadores tornam-se os elementos de \(L\) abaixo da diagonal. A matriz que resta após as eliminações se torna \(U\).
Quando são usadas trocas de linhas, a fatoração é escrita como:
$$
PA = LU
$$
Em que:
- \(A\) é a matriz quadrada original.
- \(P\) registra as trocas de linhas.
- \(L\) armazena os multiplicadores de eliminação e tem \(1\) em sua diagonal.
- \(U\) é a matriz triangular superior produzida pela eliminação.
Se não forem necessárias trocas de linhas, \(P\) é a matriz identidade e a relação se reduz a:
$$
A = LU
$$
Resolvendo \(Ax=b\) após a decomposição LU
Quando o objetivo é resolver um sistema de equações, comece com:
$$
Ax = b
$$
Com pivoteamento, multiplique ambos os lados por \(P\):
$$
PAx = Pb
$$
Como \(PA = LU\), isso se torna:
$$
LUx = Pb
$$
Agora resolva dois sistemas triangulares mais simples:
$$
Ly = Pb
$$
Depois:
$$
Ux = y
$$
O primeiro sistema é resolvido por substituição progressiva. O segundo é resolvido por substituição regressiva.
Calculando o determinante a partir da decomposição LU
Para uma matriz triangular, o determinante é o produto dos elementos diagonais. Como uma matriz triangular inferior unitária tem todos os elementos diagonais iguais a \(1\), seu determinante é \(1\).
Se foram usadas \(s\) trocas de linhas, o determinante de \(A\) pode ser calculado a partir de \(U\) como:
$$
\det(A) = (-1)^s \prod_{i=1}^{n} u_{ii}
$$
Cada troca de linhas altera o sinal do determinante. Por isso, o sinal depende de o número de trocas ser par ou ímpar.
Exemplos práticos de decomposição LU
Exemplo 1: Uma fatoração \(2 \times 2\) simples
Suponha:
$$
A =
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
4 & 3
\end{bmatrix}
$$
Elimine o elemento abaixo do primeiro pivô. O multiplicador é:
$$
m_{21} = \frac{4}{2} = 2
$$
Assim, uma fatoração válida é:
$$
L =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
2 & 1
\end{bmatrix},
\qquad
U =
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
$$
Verifique o produto:
$$
LU =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
4 & 3
\end{bmatrix}
=A
$$
O determinante é o produto dos elementos diagonais de \(U\), pois nenhuma troca de linhas foi usada:
$$
\det(A) = 2 \times 1 = 2
$$
Exemplo 2: Resolvendo um sistema com substituição progressiva e regressiva
Use a mesma matriz:
$$
A =
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
4 & 3
\end{bmatrix}
$$
Seja:
$$
b =
\begin{bmatrix}
5 \\
11
\end{bmatrix}
$$
Como \(A=LU\), resolva:
$$
Ly=b
$$
Ou seja:
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
y_1 \\
y_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5 \\
11
\end{bmatrix}
$$
A primeira equação fornece \(y_1=5\). A segunda fornece:
$$
2(5)+y_2 = 11
$$
Portanto:
$$
y_2 = 1
$$
Agora resolva:
$$
Ux=y
$$
$$
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5 \\
1
\end{bmatrix}
$$
A segunda equação fornece \(x_2=1\). A primeira equação fornece:
$$
2x_1 + 1 = 5
$$
Portanto:
$$
x_1 = 2
$$
A solução é:
$$
x =
\begin{bmatrix}
2 \\
1
\end{bmatrix}
$$
Exemplo 3: Um pivô zero que exige troca de linhas
Um elemento zero na diagonal nem sempre significa que a matriz é singular. Às vezes, basta trocar as linhas.
Suponha:
$$
A =
\begin{bmatrix}
0 & 2 \\
1 & 3
\end{bmatrix}
$$
O primeiro elemento diagonal é \(0\), portanto a eliminação sem pivoteamento encontraria imediatamente uma divisão por zero. O pivoteamento parcial troca as duas linhas:
$$
P =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
$$
Depois:
$$
PA =
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
0 & 2
\end{bmatrix}
$$
Neste caso:
$$
L =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix},
\qquad
U =
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
0 & 2
\end{bmatrix}
$$
Houve uma troca de linhas, portanto:
$$
\det(A) = (-1)^1(1 \times 2) = -2
$$
A troca de linhas tornou a fatoração possível, embora o primeiro pivô original fosse zero.
Como interpretar o resultado
O resultado deve ser lido como um conjunto de fatos matriciais relacionados, não apenas como números separados.
\(P\), \(L\) e \(U\)
A fatoração \(PA=LU\) significa que a versão de \(A\) com as linhas permutadas é reconstruída multiplicando \(L\) e \(U\).
Se \(P\) for a matriz identidade, nenhuma troca de linhas foi usada. Nesse caso, a relação é simplesmente \(A=LU\).
A matriz \(L\) mostra os multiplicadores de eliminação. A matriz \(U\) mostra o resultado triangular superior após a eliminação.
Determinante
O determinante é obtido a partir dos elementos diagonais de \(U\), com uma correção de sinal para as trocas de linhas. A calculadora acumula separadamente o sinal e a magnitude na base 10, portanto determinantes fora do intervalo usual de ponto flutuante ainda podem ser exibidos em notação científica. Um determinante exatamente igual a zero significa que a matriz é singular.
Um determinante muito pequeno pode exigir cautela, mas não deve ser tratado isoladamente como uma medida completa da confiabilidade numérica. A escala e o condicionamento da matriz também importam.
Erro relativo de reconstrução
O erro relativo de reconstrução compara a maior diferença elemento a elemento entre \(PA\) e \(LU\) com o tamanho das matrizes:
$$
\frac{\max_{i,j}\left|(PA)_{ij}-(LU)_{ij}\right|}
{\max\left(\max_{i,j}|(PA)_{ij}|,\max_{i,j}|(LU)_{ij}|\right)}
$$
Um valor menor significa que os fatores exibidos reconstroem a matriz permutada com mais proximidade na aritmética de ponto flutuante. Dividir pela escala da matriz torna essa verificação significativa tanto para entradas muito pequenas quanto para entradas muito grandes.
Vetor solução \(x\)
Quando um vetor válido do lado direito \(b\) é fornecido, o vetor solução \(x\) representa os valores que satisfazem:
$$
Ax=b
$$
A solução é encontrada resolvendo \(Ly=Pb\) e depois \(Ux=y\). Se nenhum vetor \(b\) for fornecido, a fatoração e o determinante ainda podem ser úteis, mas não haverá solução de sistema linear para exibir.
Para um sistema resolvido, o resíduo escalonado compara \(\|Ax-b\|_\infty\) com \(\|A\|_\infty\|x\|_\infty+\|b\|_\infty\). A estimativa de condicionamento e o valor de crescimento do pivô fornecem avisos adicionais quando um resíduo pequeno, por si só, pode ser enganoso.
Se a matriz for singular, a calculadora não afirma que existe uma solução única. Com um \(b\) fornecido, as estimativas de posto escalonadas classificam o sistema como inconsistente ou como tendo infinitas soluções.
Erros e equívocos comuns
Colar uma matriz retangular
A decomposição LU para este tipo de calculadora exige uma matriz quadrada. Uma matriz com quantidades diferentes de linhas e colunas não se encaixa no formato de entrada esperado.
Informar a quantidade errada de valores \(b\)
O vetor do lado direito deve corresponder ao tamanho da matriz. Uma matriz \(3 \times 3\) precisa de exatamente três valores em \(b\); uma matriz \(6 \times 6\) precisa de exatamente seis.
Deixar células em branco por acidente
Células de matriz em branco são tratadas como \(0\). Isso pode ser útil quando o zero é intencional, mas pode mudar completamente o problema se a célula vazia estiver assim por acidente.
Desativar o pivoteamento quando um pivô é zero ou muito pequeno
Sem pivoteamento parcial, uma matriz pode falhar mesmo quando uma troca de linhas permitiria prosseguir com o cálculo. O pivoteamento parcial geralmente é a opção mais segura para trabalhos numéricos.
Esperar frações exatas ou respostas simbólicas
A decomposição LU numérica usa aritmética decimal. Ela pode exibir valores como \(0.3333333\) em vez de uma fração exata como \(\frac{1}{3}\).
Interpretar o erro de reconstrução como o determinante
O determinante e o erro relativo de reconstrução medem coisas diferentes. O determinante é uma propriedade da matriz. O erro relativo de reconstrução é uma verificação numérica ajustada à escala de quão próximos os fatores calculados reproduzem \(PA\).
Supor que todas as operações de linha são exibidas
Para matrizes maiores, pode haver muitas etapas de eliminação. A exibição de etapas pode mostrar apenas a primeira parte do processo e resumir as operações adicionais.
Quando usar a decomposição LU
Use a decomposição LU quando quiser:
- resolver um sistema quadrado de equações lineares \(Ax=b\),
- reutilizar a mesma matriz \(A\) com diferentes vetores do lado direito,
- entender como a eliminação de Gauss pode ser armazenada como fatores matriciais,
- calcular um determinante a partir de fatores triangulares,
- estudar pivoteamento, trocas de linhas e estabilidade numérica,
- verificar se uma fatoração matricial reconstrói a matriz original com precisão.
Para cálculos manuais, a decomposição LU é mais confortável com matrizes pequenas. Para computação numérica, ela é uma ferramenta de uso geral empregada em muitos algoritmos para sistemas lineares densos.
Limitações e pontos importantes
A decomposição LU é poderosa, mas o resultado depende das suposições por trás do cálculo.
Esta calculadora trabalha com matrizes quadradas de valores reais de \(2 \times 2\) a \(6 \times 6\). Ela não aceita matrizes retangulares, elementos complexos, variáveis simbólicas, aritmética racional exata nem matrizes fora desse intervalo de tamanhos.
Todos os elementos devem ser números decimais reais e finitos. A notação científica padrão, como -1.5e-3, é aceita. Valores como notação hexadecimal, NaN, infinito, frações escritas com uma barra, texto não numérico ou expressões simbólicas são rejeitados.
O cálculo usa aritmética de ponto flutuante, portanto os números decimais exibidos são aproximações numéricas. Valores pequenos e diferentes de zero são mantidos e mostrados em notação científica, em vez de serem substituídos por zero.
Um pivô exatamente igual a zero é tratado como uma singularidade ou, quando o pivoteamento está desativado e uma troca de linhas poderia ajudar, como uma falha do método sem pivoteamento. Pivôs pequenos e diferentes de zero são mantidos e geram avisos de condicionamento sensíveis à escala, em vez de serem rejeitados por um limite absoluto.
O pivoteamento parcial pode melhorar a robustez, especialmente quando um pivô é zero ou muito pequeno, mas não é o mesmo que pivoteamento completo ou pivoteamento de colunas. Algumas matrizes difíceis ou mal condicionadas ainda podem produzir resultados que exigem interpretação cuidadosa.
O erro relativo de reconstrução, o resíduo escalonado da solução, a estimativa de condicionamento e o crescimento do pivô são diagnósticos numéricos, não provas de exatidão. Problemas extremamente mal condicionados ainda podem perder algarismos significativos.
Como usar esta calculadora
- Escolha o tamanho da matriz quadrada, de \(2 \times 2\) a \(6 \times 6\).
- Informe os valores da matriz \(A\) ou cole os dados da matriz quadrada na área de importação.
- Escolha a opção de pivoteamento. O pivoteamento parcial geralmente é preferível quando podem ser necessárias trocas de linhas.
- Opcionalmente, informe um vetor \(b\) com exatamente um valor para cada linha de \(A\).
- Revise \(P\), \(L\), \(U\), o determinante, o erro relativo de reconstrução, a estimativa de condicionamento, o crescimento do pivô, as etapas das operações de linha, além da solução e do resíduo escalonado, se \(b\) tiver sido fornecido.
Perguntas frequentes
A decomposição LU é igual à eliminação de Gauss?
Não exatamente. A eliminação de Gauss é o processo de eliminar elementos abaixo dos pivôs para formar uma matriz triangular superior. A decomposição LU armazena esse processo de eliminação como fatores matriciais, com os multiplicadores de eliminação em \(L\) e o resultado triangular superior em \(U\).
Por que a fórmula usa \(PA=LU\) em vez de apenas \(A=LU\)?
A matriz \(P\) aparece quando são usadas trocas de linhas. As trocas de linhas ajudam a evitar pivôs zero ou muito pequenos. Se não forem necessárias trocas de linhas, \(P\) é a matriz identidade e \(PA=LU\) se reduz a \(A=LU\).
Por que uma matriz pode falhar sem pivoteamento, mas funcionar com pivoteamento parcial?
Sem pivoteamento, a eliminação deve usar o elemento diagonal atual como pivô. Se esse pivô for zero ou pequeno demais, o cálculo pode falhar ou se tornar pouco confiável. O pivoteamento parcial procura um pivô melhor mais abaixo na mesma coluna e troca as linhas quando necessário.
Como o determinante é obtido a partir da decomposição LU?
O determinante de uma matriz triangular é o produto de seus elementos diagonais. Como \(L\) tem elementos diagonais iguais a \(1\), o determinante vem principalmente da diagonal de \(U\). As trocas de linhas alteram o sinal, portanto o determinante final é ajustado por \((-1)^s\), em que \(s\) é o número de trocas.
Um erro de reconstrução pequeno garante que a solução é precisa?
Não. Um erro relativo de reconstrução pequeno significa que \(LU\) reproduz \(PA\) com proximidade, mas uma matriz mal condicionada pode amplificar pequenos erros de entrada ou de arredondamento. Revise também o resíduo \(Ax-b\) escalonado, a estimativa de condicionamento e o aviso de crescimento do pivô.
A decomposição LU pode ser reutilizada para diferentes vetores \(b\)?
Sim. Depois que \(A\) é fatorada, cada novo vetor \(b\) pode ser tratado resolvendo \(Ly=Pb\) e depois \(Ux=y\). Essa é uma das razões pelas quais a decomposição LU é útil em métodos numéricos.
Fontes e referências
Livros
- Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra. 5ª edição, Wellesley-Cambridge Press, 2016. Seções relevantes: 2.2 “The Idea of Elimination”, 2.3 “Elimination Using Matrices”, 2.6 “Elimination = Factorization: A = LU”, 2.7 “Transposes and Permutations”, 5.1 “The Properties of Determinants” e 11.1 “Gaussian Elimination in Practice”. Informações do livro e sumário: https://math.mit.edu/~gs/linearalgebra/ila5/indexila5.html
- Lloyd N. Trefethen e David Bau III. Numerical Linear Algebra: Twenty-Fifth Anniversary Edition. SIAM, 2022. Aulas/capítulos relevantes: “Stability of Back Substitution”, “Systems of Equations”, “Gaussian Elimination”, “Pivoting” e “Stability of Gaussian Elimination”. Página da editora: https://epubs.siam.org/doi/10.1137/1.9781611977165
Fontes on-line e educacionais
- MIT OpenCourseWare. “Lecture 2: Elimination with matrices.” 18.06 Linear Algebra, primavera de 2010. Acesso em 4 de julho de 2026. https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/resources/lecture-2-elimination-with-matrices/
- MIT OpenCourseWare. “Lecture 4: Factorization into A = LU.” 18.06 Linear Algebra, primavera de 2010. Acesso em 4 de julho de 2026. https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/resources/lecture-4-factorization-into-a-lu/
- University of Illinois Urbana-Champaign, CS 357. “LU Decomposition for Solving Linear Equations.” Acesso em 4 de julho de 2026. https://courses.grainger.illinois.edu/cs357/sp2022/notes/ref-9-linsys.html
- LAPACK. “DGETRF2: LU factorization using partial pivoting with row interchanges.” Documentação do LAPACK 3.12.1. Acesso em 4 de julho de 2026. https://www.netlib.org/lapack/explore-html/d8/d2f/group__getrf2_gaebbbe6a533dfea4454123e0553bd3575.html