Use esta calculadora de matrizes para informar valores, ajustar opções e consultar resultados em um espaço de trabalho compacto e responsivo.
Os resultados são calculados automaticamente à medida que você informa os dados.
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▼ Veja as explicações e dicas abaixo ▼
Uma matriz é uma disposição retangular de números escritos em linhas e colunas. As matrizes são úteis porque permitem organizar vários valores relacionados de uma só vez e aplicar uma regra a todos eles de maneira estruturada.
Operações com matrizes são regras para combinar, transformar e analisar matrizes. Algumas operações funcionam entrada por entrada, como adição e subtração. Outras, como multiplicação de matrizes, redução por linhas, determinantes, inversas e resolução de \(Ax = B\), descrevem relações mais profundas entre linhas, colunas e sistemas lineares.
Uma calculadora de matrizes é mais útil quando você já sabe qual operação quer aplicar, mas deseja evitar erros aritméticos. O mais importante é entender qual operação é válida, o que o resultado representa e o que ele não pode informar por si só.
As matrizes aparecem sempre que muitas grandezas relacionadas precisam ser tratadas ao mesmo tempo. Estudantes as usam para resolver sistemas de equações, estudar transformações e aprender álgebra linear. Profissionais técnicos as usam em análise de dados, engenharia, computação gráfica, otimização, estatística e computação numérica.
Os métodos matriciais são importantes porque oferecem uma maneira compacta de responder a perguntas como:
Uma calculadora pode produzir rapidamente o resultado aritmético, mas a interpretação ainda vem da álgebra linear por trás da operação.
A adição e a subtração de matrizes funcionam entrada por entrada. Como as entradas precisam coincidir por posição, as duas matrizes devem ter as mesmas dimensões.
Se \(A\) e \(B\) forem matrizes \(m \times n\), então:
e
Por exemplo, a entrada na linha \(2\), coluna \(3\) de \(A + B\) é encontrada somando a entrada da linha \(2\), coluna \(3\) de \(A\) à entrada da linha \(2\), coluna \(3\) de \(B\).
A multiplicação por escalar multiplica cada entrada de uma matriz pelo mesmo número. Se \(s\) for um escalar e \(A\) for uma matriz, então:
Isso é útil quando cada valor de uma matriz precisa ser ampliado, reduzido ou ter seu sinal alterado.
A multiplicação de matrizes não é uma multiplicação entrada por entrada. Ela combina as linhas da primeira matriz com as colunas da segunda matriz.
Se \(A\) for uma matriz \(m \times n\) e \(B\) for uma matriz \(n \times p\), então \(AB\) é definida e tem tamanho \(m \times p\). As dimensões internas devem coincidir:
Cada entrada do produto é um produto escalar:
Essa regra explica por que \(AB\) pode ser definida mesmo quando \(BA\) não é, e por que \(AB\) e \(BA\) frequentemente são diferentes, mesmo quando os dois produtos existem.
A transposta de uma matriz troca linhas e colunas. Se \(A\) for uma matriz \(m \times n\), então \(A^T\) será uma matriz \(n \times m\).
Por exemplo, a primeira linha de \(A\) torna-se a primeira coluna de \(A^T\).
O determinante é definido apenas para matrizes quadradas. Para uma matriz \(2 \times 2\),
o determinante é:
Um determinante igual a \(0\) significa que a matriz é singular, portanto não tem inversa. Um determinante diferente de zero significa que a matriz é invertível.
O traço também é definido para matrizes quadradas. Ele é a soma das entradas da diagonal principal:
O determinante e o traço são resumos escalares. Eles são úteis, mas não descrevem todos os detalhes da matriz.
Uma matriz inversa desfaz o efeito da multiplicação por uma matriz quadrada. Se \(A^{-1}\) existir, então:
Para uma matriz \(2 \times 2\) com determinante diferente de zero,
a inversa é:
Para matrizes maiores, a redução por linhas é um método comum. A ideia é reduzir por linhas a matriz aumentada \([A \mid I]\). Se o lado esquerdo se tornar \(I\), o lado direito se tornará \(A^{-1}\).
A redução por linhas usa três operações elementares de linha:
Essas operações preservam o conjunto de soluções de um sistema linear. Quando uma matriz é reduzida completamente à forma escalonada reduzida por linhas, os pivôs revelam sua estrutura: quais variáveis são variáveis líderes, quais são livres e se o sistema é consistente.
Para um sistema escrito como:
a matriz aumentada é:
A redução por linhas dessa matriz aumentada pode mostrar:
O posto está diretamente relacionado a esse processo. O posto de uma matriz é o número de linhas-pivô em sua forma reduzida por linhas.
Uma potência de matriz significa multiplicar uma matriz quadrada por ela mesma. Para um inteiro não negativo \(n\):
Esta calculadora aceita expoentes inteiros de \(0\) a \(100\). Potências negativas exigem uma inversa, e potências fracionárias exigem condições mais avançadas, portanto estão fora do escopo de potências de matrizes desta calculadora. Um cálculo exato que exceda o limite documentado para o tamanho intermediário é interrompido com um erro, em vez de retornar infinito ou um valor arredondado.
Suponha:
As duas matrizes são \(2 \times 2\), portanto \(AB\) é definida. Multiplique as linhas de \(A\) pelas colunas de \(B\):
Assim:
O resultado é outra matriz \(2 \times 2\). Cada entrada resume uma combinação de linha e coluna.
Considere o sistema:
Isso pode ser escrito como \(Ax = B\):
A matriz aumentada é:
A redução por linhas produz:
Portanto, a solução é:
O vetor resultado é:
Seja:
O determinante é:
Como o determinante é \(0\), a matriz é singular e não tem inversa. A segunda linha é simplesmente \(2\) vezes a primeira linha, portanto as linhas não fornecem duas informações independentes.
Essa mesma matriz de coeficientes pode levar a resultados diferentes na resolução, dependendo do lado direito:
tem infinitas soluções, porque a segunda equação repete a primeira. Mas:
não tem solução, porque a segunda equação contradiz a primeira.
Nas operações comuns com matrizes, cada valor na tabela de resultados é uma entrada da matriz de saída. O significado depende da operação selecionada.
Para um determinante, o resultado é um único escalar, \(\det(A)\). Um determinante igual a zero significa que \(A\) é singular. Um determinante diferente de zero significa que \(A\) é invertível. Não avalie uma matriz apenas pelo fato de o determinante parecer “grande” ou “pequeno”, pois o determinante depende muito da escala das entradas e do tamanho da matriz.
Para uma inversa, o resultado é \(A^{-1}\). Você pode pensar nela como a matriz que desfaz a multiplicação por \(A\). Se a matriz for singular ou não for quadrada, não existe inversa.
Para a RREF, o resultado é a forma escalonada reduzida por linhas de \(A\). As posições dos pivôs mostram quais linhas ou colunas carregam informações independentes. Linhas nulas, variáveis livres e pivôs costumam ser mais importantes do que os valores decimais brutos.
Ao resolver \(Ax = B\), uma solução única significa que o vetor coluna exibido é \(x\). Um resultado sem solução significa que as equações são inconsistentes. Quando há infinitas soluções, a matriz reduzida e as etapas incluem uma solução particular, além de um vetor de base do espaço nulo para cada parâmetro livre.
O resumo do posto ajuda a explicar esses resultados. Um posto maior geralmente significa mais informações independentes. Um posto menor indica dependência entre linhas ou colunas.
Um \(0\) exibido é exatamente zero para os valores decimais informados. Frações diferentes de zero nunca são transformadas em zero por uma tolerância fixa; valores longos podem apenas ser encurtados na visualização da tela.
Um erro comum é tentar adicionar ou subtrair matrizes com dimensões diferentes. A adição e a subtração exigem posições correspondentes, portanto as dimensões devem ser idênticas.
Outro erro comum é usar a regra errada para a multiplicação. A multiplicação de matrizes exige que o número de colunas de \(A\) seja igual ao número de linhas de \(B\). Não basta que as duas matrizes tenham o mesmo tamanho.
A ordem da multiplicação de matrizes também importa. Em geral:
Mesmo quando os dois produtos existem, eles podem ter valores diferentes. Em alguns casos, um produto existe e o outro não.
Um determinante ou uma inversa só podem ser encontrados para uma matriz quadrada. Se uma matriz tiver números diferentes de linhas e colunas, essas operações não são definidas da maneira usual.
Uma matriz singular não tem inversa. Isso não é uma falha da calculadora; é uma propriedade da matriz.
Ao resolver \(Ax = B\), o lado direito deve ser um vetor coluna nesta calculadora. Informar uma matriz completa como \(B\) pode fazer sentido em um contexto mais amplo de álgebra linear, mas isso não é compatível aqui com a operação de resolução.
Outro erro é supor que uma entrada decimal obrigatoriamente produz uma saída decimal aproximada. Esta calculadora converte entradas decimais e em notação científica válidas em números racionais exatos. Resultados compactos são exibidos como inteiros ou frações exatos; resultados longos usam uma visualização na tela com 12 algarismos significativos, enquanto a ação Copiar exporta a fração exata completa.
Use operações com matrizes quando precisar:
Esta calculadora funciona com entradas matriciais numéricas reais. Ela não aceita números complexos, variáveis simbólicas, sintaxe de fração como \(1/2\) ou expressões algébricas como entradas.
Os tamanhos das matrizes são limitados de \(1 \times 1\) a \(6 \times 6\). Matrizes maiores podem exigir um software numérico especializado.
Algumas operações têm regras dimensionais estritas:
Entradas decimais e em notação científica são convertidas em números racionais exatos antes do cálculo. Inteiros e frações compactos são exibidos exatamente; valores muito longos usam uma visualização com 12 algarismos significativos, enquanto a ação de copiar exporta a fração exata completa. As entradas aceitam até 30 algarismos significativos e expoentes de \(-308\) a \(308\).
Para tarefas de casa, provas, trabalhos de engenharia, modelos financeiros, análises científicas ou decisões relacionadas à segurança, use o resultado como auxílio de cálculo. Confira a configuração, verifique as regras dimensionais e use um método profissional ou técnico adequado quando os requisitos de precisão forem rigorosos.
A multiplicação de matrizes exige que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. Se \(A\) for \(2 \times 3\), então \(B\) deverá ter \(3\) linhas para que \(AB\) seja definida. O resultado terá as linhas de \(A\) e as colunas de \(B\).
O determinante padrão é definido apenas para matrizes quadradas. A inversa usual também é definida apenas para matrizes quadradas, pois precisa desfazer a multiplicação no mesmo espaço de entrada e saída. Matrizes não quadradas podem ter conceitos relacionados, mas não o determinante ou a inversa comuns usados aqui.
Uma matriz singular é uma matriz quadrada que não tem inversa. Equivalentemente, seu determinante é \(0\). Em um sistema linear, a singularidade geralmente significa que as equações podem não ter solução ou ter infinitas soluções, dependendo do lado direito.
A RREF mostra uma forma simplificada de uma matriz após operações de linha. As posições dos pivôs identificam variáveis líderes ou linhas independentes. Em uma matriz aumentada, a RREF pode revelar se um sistema tem uma solução, nenhuma solução ou infinitas soluções.
A calculadora não usa um limite fixo próximo de zero: um decimal diferente de zero continua sendo um valor racional exato e diferente de zero. Um resultado exato longo pode usar na tela uma visualização decimal ou científica abreviada, mas copiar o resultado fornece sua fração exata completa.
Sim. Entradas reais decimais, negativas e em notação científica são compatíveis. Números complexos, expressões simbólicas, valores não finitos como Infinity ou NaN e sintaxe de fração como \(1/2\) não são aceitos como entrada; os resultados calculados ainda podem ser exibidos ou copiados como frações exatas.
Livros e livros didáticos abertos
Fontes online e de cursos