Calculadora de Divergência

Calcule a divergência de campos vetoriais 2D ou 3D e interprete o campo como uma fonte, um sorvedouro ou um campo de divergência zero.

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Fórmula e interpretação
Resultado Informe os componentes do vetor.

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O que é divergência?

Divergência é uma forma de medir como um campo vetorial se comporta nas proximidades de um ponto. Um campo vetorial associa um vetor a cada ponto de um plano ou do espaço. Por exemplo, as setas de um campo de velocidades podem mostrar como um fluido se move em cada posição.

A divergência em um ponto faz uma pergunta local: o campo está se espalhando para fora desse ponto, se comprimindo para dentro dele ou equilibrando o fluxo de entrada e de saída? A resposta é um valor escalar, não um vetor. Isso significa que a divergência tem módulo e sinal, mas não aponta para uma direção.

Um valor positivo de divergência significa que o campo se comporta como uma fonte naquele ponto. Na interpretação de fluxo, há mais saída do que entrada em uma pequena região ao redor do ponto. Um valor negativo significa que o campo se comporta como um sumidouro: há mais entrada do que saída. Um valor próximo de zero indica pouca ou nenhuma expansão local líquida, embora o campo ainda possa estar se movendo ou girando.

A divergência é usada em todo o cálculo vetorial porque conecta o comportamento local a ideias mais amplas, como fluxo, fontes, sumidouros, escoamento incompressível e o teorema da divergência.

Por que a divergência é importante

A divergência ajuda a transformar uma imagem de setas em uma afirmação mensurável. Em vez de apenas dizer que as setas parecem se afastar ou se aproximar, a divergência fornece um resultado baseado em uma fórmula.

Isso é importante em várias situações comuns:

  • No cálculo vetorial, a divergência ajuda a descrever campos vetoriais antes do estudo de integrais de fluxo e do teorema da divergência.
  • Em modelos de escoamento de fluidos, a divergência ajuda a identificar expansão local, compressão ou comportamento incompressível.
  • Na física e na engenharia, a divergência aparece em equações de campo, leis de conservação e interpretações de densidade de fontes.
  • Em disciplinas de matemática, a divergência costuma ser estudada antes da comparação com conceitos relacionados, como gradiente, rotacional, fluxo e campos conservativos.

A ideia principal é o comportamento local. Um campo pode ter divergência positiva em um ponto, negativa em outro e igual a zero em algum lugar diferente.

Termos importantes

  • Campo vetorial: Uma regra que associa um vetor a cada ponto, como \(\mathbf{F}(x,y)\) no plano ou \(\mathbf{F}(x,y,z)\) no espaço.
  • Componente: Uma das partes coordenadas de um campo vetorial. Em \(\mathbf{F}=\langle P,Q,R\rangle\), as componentes são \(P\), \(Q\) e \(R\).
  • Derivada parcial: Uma derivada em relação a uma variável enquanto as outras variáveis permanecem fixas.
  • Del ou nabla: O operador \(\nabla\), usado na notação de cálculo vetorial para gradiente, divergência e rotacional.
  • Divergência: A função escalar \(\nabla \cdot \mathbf{F}\), formada pela soma das derivadas parciais correspondentes às coordenadas de um campo vetorial.
  • Fluxo: Uma medida de quanto de um campo vetorial atravessa uma curva ou superfície.
  • Fonte: Uma posição onde o campo se comporta como se estivesse se expandindo localmente para fora.
  • Sorvedouro: Uma posição onde o campo se comporta como se estivesse se contraindo localmente para dentro.
  • Campo incompressível: Na interpretação de um campo de velocidades, um campo com divergência zero, isto é, sem expansão líquida local de volume.
  • Coordenadas cartesianas: O sistema de coordenadas usual \(x\), \(y\) e \(z\). As fórmulas deste artigo usam coordenadas cartesianas.
  • Traço jacobiano: Em coordenadas cartesianas, a divergência de um campo vetorial também pode ser vista como o traço de sua matriz de derivadas.

Como funciona a divergência

Para um campo vetorial cartesiano bidimensional,

$$ \mathbf{F}(x,y)=\langle P(x,y),Q(x,y)\rangle $$

a divergência é

$$ \nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y} $$

Para um campo vetorial cartesiano tridimensional,

$$ \mathbf{F}(x,y,z)=\langle P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\rangle $$

a divergência é

$$ \nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} $$

Cada termo relaciona uma componente do campo com a variação na mesma direção coordenada:

  • \(\frac{\partial P}{\partial x}\) mede como a componente \(x\) varia quando \(x\) varia.
  • \(\frac{\partial Q}{\partial y}\) mede como a componente \(y\) varia quando \(y\) varia.
  • \(\frac{\partial R}{\partial z}\) mede como a componente \(z\) varia quando \(z\) varia.

A fórmula não soma todas as derivadas parciais possíveis. Variações entre direções, como \(\frac{\partial P}{\partial y}\) ou \(\frac{\partial Q}{\partial x}\), são importantes em outras ideias do cálculo vetorial, especialmente no rotacional, mas não fazem parte da fórmula cartesiana da divergência.

Depois de encontrar a divergência simbólica, você pode calculá-la em um ponto substituindo as coordenadas desse ponto. Por exemplo, se

$$ \nabla \cdot \mathbf{F}=3x+2z $$

então, em \((x,y,z)=(1,2,3)\),

$$ \nabla \cdot \mathbf{F}(1,2,3)=3(1)+2(3)=9 $$

A coordenada \(y\) ainda pode ser relevante em outros campos, mas, neste exemplo, a expressão final da divergência não contém \(y\).

Exemplos práticos de divergência

Exemplo 1: um campo simples semelhante a uma fonte

Considere o campo vetorial bidimensional

$$ \mathbf{F}(x,y)=\langle x,y\rangle $$

Aqui, \(P=x\) e \(Q=y\). A divergência é

$$ \nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(x)+\frac{\partial}{\partial y}(y) $$
$$ \nabla \cdot \mathbf{F}=1+1=2 $$

A divergência é positiva em todos os pontos. Na interpretação de fluxo, este campo se comporta como uma expansão local: as setas se movem para fora e o fluxo local é semelhante ao de uma fonte.

Exemplo 2: um campo simples semelhante a um sumidouro

Agora considere

$$ \mathbf{F}(x,y)=\langle -x,-y\rangle $$

A divergência é

$$ \nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(-x)+\frac{\partial}{\partial y}(-y) $$
$$ \nabla \cdot \mathbf{F}=-1-1=-2 $$

O resultado é negativo em todos os pontos. Esse é um comportamento semelhante ao de um sumidouro: o campo se contrai localmente para dentro.

Exemplo 3: rotação sem divergência

Um campo pode girar sem se expandir ou contrair. Considere

$$ \mathbf{F}(x,y)=\langle -y,x\rangle $$

A divergência é

$$ \nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(-y)+\frac{\partial}{\partial y}(x) $$

Como \(-y\) não varia com \(x\) e \(x\) não varia com \(y\),

$$ \nabla \cdot \mathbf{F}=0+0=0 $$

Este campo tem movimento circular ao redor da origem, mas sua divergência é zero. Isso é um lembrete útil: a divergência mede expansão ou contração local, não rotação.

Exemplo 4: um campo 3D calculado em um ponto

Para o campo tridimensional

$$ \mathbf{F}(x,y,z)=\langle x^2,xy,z^2\rangle $$

a divergência é

$$ \nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(x^2)+\frac{\partial}{\partial y}(xy)+\frac{\partial}{\partial z}(z^2) $$
$$ \nabla \cdot \mathbf{F}=2x+x+2z $$
$$ \nabla \cdot \mathbf{F}=3x+2z $$

Em \((1,2,3)\),

$$ \nabla \cdot \mathbf{F}(1,2,3)=3(1)+2(3)=9 $$

O valor positivo significa que o campo se comporta como uma fonte nesse ponto.

Como interpretar o resultado

O resultado principal da divergência é o valor numérico de \(\nabla \cdot \mathbf{F}\) no ponto selecionado. A divergência simbólica mostra a fórmula antes da substituição das coordenadas do ponto.

Um resultado positivo significa expansão semelhante à de uma fonte, e um resultado negativo significa contração semelhante à de um sumidouro. Somente um resultado exatamente igual a \(0\) é classificado como divergência zero; valores pequenos e diferentes de zero continuam visíveis em notação científica e mantêm seu sinal.

O módulo também importa, mas apenas dentro do contexto. Uma divergência de \(10\) é mais intensa que uma divergência de \(0.1\) no mesmo modelo e na mesma escala de coordenadas. No entanto, comparar módulos entre modelos diferentes pode ser enganoso se as variáveis, a escala e as unidades físicas não forem consistentes.

A decomposição em derivadas parciais costuma ser a parte mais útil para aprender. Ela mostra qual componente contribuiu para a soma final. Por exemplo, um \(\frac{\partial P}{\partial x}\) positivo pode ser compensado por um \(\frac{\partial Q}{\partial y}\) negativo, produzindo uma divergência total menor ou até igual a zero.

A visualização do campo vetorial pode ajudar a desenvolver a intuição, mas o padrão visual não é a prova. O cálculo vem das derivadas parciais simbólicas e da avaliação numérica no ponto escolhido.

Erros e equívocos comuns

Um erro comum é tratar a divergência como a direção do campo vetorial. A divergência não é uma seta. Ela é uma medida escalar de expansão ou contração local.

Outro erro é supor que setas apontando para fora sempre significam divergência positiva. Um campo pode apontar para fora e, ao mesmo tempo, diminuir de intensidade o suficiente para que a divergência local não seja positiva. Um gráfico ajuda, mas a fórmula fornece a resposta confiável.

Os estudantes também costumam confundir divergência com rotacional. A divergência mede um comportamento semelhante ao de uma fonte ou sumidouro. O rotacional mede a tendência de rotação. Um campo pode ter divergência zero e ainda girar, como em \(\mathbf{F}=\langle -y,x\rangle\).

Ao inserir expressões, use a multiplicação explícita. Escreva 2x, xy ou (x+1)*(y+1), e não 2x, xy ou (x+1)(y+1).

Use somente as variáveis permitidas para a dimensão selecionada. No modo 2D, use \(x\) e \(y\). No modo 3D, use \(x\), \(y\) e \(z\). Não insira uma expressão dependente de \(z\) enquanto estiver usando o modo 2D.

Tenha cuidado com logaritmos e trigonometria. A calculadora trata log como o logaritmo natural, assim como ln. As entradas trigonométricas usam radianos, não graus.

Por fim, verifique o domínio da expressão no ponto escolhido. Expressões como \(\ln(x)\), \(\sqrt{x}\) e derivadas que envolvem \(\operatorname{abs}(x)\) podem falhar ou ficar indefinidas em determinados pontos de valores reais.

Quando usar a divergência

Use a divergência quando precisar saber se um campo vetorial cartesiano está se expandindo, se contraindo ou equilibrando localmente o fluxo de entrada e de saída.

Ela é especialmente útil quando você quer:

  • classificar um ponto como semelhante a uma fonte, semelhante a um sumidouro ou com divergência zero;
  • verificar um exercício de cálculo vetorial que envolva \(\nabla \cdot \mathbf{F}\);
  • comparar exemplos de fontes, sumidouros e rotações;
  • preparar-se para integrais de fluxo ou para o teorema da divergência;
  • analisar um campo 2D \(\langle P,Q\rangle\) ou um campo 3D \(\langle P,Q,R\rangle\) em coordenadas cartesianas;
  • ver como cada componente contribui para o valor final da divergência.

A divergência não é a ferramenta adequada quando a questão principal é rotação, circulação ou giro tangencial. Nesse caso, o conceito relacionado que normalmente deve ser estudado é o rotacional.

Limitações e pontos importantes

A fórmula usada aqui é para coordenadas cartesianas. Os sistemas de coordenadas polares, cilíndricas e esféricas usam fórmulas de divergência diferentes. Não insira um campo não cartesiano esperando que a fórmula cartesiana se ajuste automaticamente.

A calculadora trabalha com expressões de valores reais. Ela não oferece suporte a resultados complexos, campos vetoriais definidos por partes, funções com vários argumentos ou variáveis diferentes de \(x\), \(y\) e \(z\).

As funções compatíveis incluem sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt e abs. Constantes como pi, \(\pi\) e e são compatíveis. As coordenadas podem ser inseridas como decimais ou em notação científica, como 1e-3.

A calculadora exige valores finitos no ponto selecionado. Ela avalia as expressões originais das componentes antes de simplificar as fórmulas das derivadas; por isso, uma expressão como 0/x é rejeitada em x=0, em vez de ser tratada como zero. Se uma componente ou derivada resultar em NaN, infinito ou um valor real indefinido, o resultado será rejeitado, não interpretado.

A derivada de uma expressão com valor absoluto não é definida quando a expressão interna é zero. Algumas expressões de potência com expoentes variáveis também podem se tornar inválidas na aritmética de valores reais, pois sua derivada pode envolver uma forma logarítmica.

Valores finitos muito grandes ou muito pequenos são exibidos em notação exponencial quando necessário. Valores diferentes de zero não são arredondados para zero no resultado nem em sua interpretação como fonte ou sumidouro.

A simplificação simbólica serve para apoiar o cálculo, não para substituir um sistema completo de álgebra computacional. Para a álgebra decimal finita, a calculadora preserva valores racionais exatos ao somar as derivadas parciais alinhadas às coordenadas, para que um resíduo pequeno não se perca ao lado de um coeficiente grande; as funções compatíveis são avaliadas numericamente. Em trabalhos acadêmicos, demonstrações, análises de engenharia ou estudos científicos, revise a derivada simbólica e verifique os resultados importantes de forma independente.

No modo 3D, a visualização é a projeção vetorial \(P\)-\(Q\) no plano \(xy\) para o valor \(z\) selecionado. Ela não é uma representação tridimensional completa e não desenha a componente \(R\); clicar na visualização atualiza apenas \(x\) e \(y\).

Como usar esta calculadora

  1. Selecione se o campo vetorial é 2D ou 3D.
  2. Insira as expressões das componentes \(P\) e \(Q\). No modo 3D, insira também a componente \(R\).
  3. Insira o ponto de avaliação: \(x\) e \(y\) em 2D, ou \(x\), \(y\) e \(z\) em 3D.
  4. Revise o resultado principal da divergência, a divergência simbólica, a interpretação e a tabela de derivadas parciais.
  5. Use a visualização do campo vetorial para examinar os valores do campo nas proximidades e a divergência local.
  6. Clique na visualização para atualizar as coordenadas \(x\) e \(y\) a partir de um ponto do gráfico, se isso for útil.
  7. Experimente os campos de exemplo para comparar comportamentos semelhantes aos de fonte, sumidouro e divergência zero.
  8. Baixe a visualização como PNG depois que um gráfico válido do campo vetorial for desenhado, caso precise salvar a imagem.

Perguntas frequentes

A divergência é um escalar ou um vetor?

A divergência é um escalar. Ela fornece um valor com sinal em cada ponto, não uma direção. O campo vetorial original tem setas, mas sua divergência é um campo escalar.

O que significa divergência positiva?

Divergência positiva significa que o campo se comporta localmente como uma fonte no ponto selecionado. Na interpretação de fluxo, há mais saída do que entrada em uma pequena região ao redor do ponto.

O que significa divergência zero?

Divergência zero significa que não há expansão ou contração local líquida do campo naquele ponto. Isso não significa que o campo vetorial seja zero. Um campo pode se mover ou girar e ainda ter divergência zero.

Um campo em rotação pode ter divergência zero?

Sim. O campo \(\mathbf{F}=\langle -y,x\rangle\) gira ao redor da origem, mas sua divergência é \(0\). A rotação é medida pelo rotacional, não pela divergência.

Isso funciona para coordenadas polares, cilíndricas ou esféricas?

Não. As fórmulas mostradas aqui são fórmulas cartesianas de divergência. Outros sistemas de coordenadas têm fórmulas diferentes porque suas direções coordenadas e seus fatores de escala variam de um ponto para outro.

Por que a calculadora exige multiplicação explícita?

O analisador de expressões espera que a multiplicação seja escrita explicitamente. Use 2x, xy ou (x+1)*(y+1) em vez de 2x, xy ou (x+1)(y+1).

Por que log funciona como ln?

Nesta calculadora, log é interpretado como o logaritmo natural. Use ln ou log para logaritmos naturais e não suponha que log signifique base \(10\).

Fontes e referências

Livros e livros didáticos abertos

  1. Gilbert Strang e Edwin “Jed” Herman. Calculus Volume 3. OpenStax, 2016. Seções 6.5, “Divergence and Curl”, e 6.8, “The Divergence Theorem”. Seção 6.5 e Seção 6.8.
  2. Joel Feldman, Andrew Rechnitzer e Elyse Yeager. CLP-4 Vector Calculus. University of British Columbia, 2017–2024. Seções 4.1, “Gradient, Divergence and Curl”, e 4.2, “The Divergence Theorem”. Página do livro e Texto em PDF.

Fontes educacionais on-line

  1. Massachusetts Institute of Technology OpenCourseWare. “Part B: Flux and the Divergence Theorem.” 18.02SC Multivariable Calculus, acessado em 28 de junho de 2026. MIT OpenCourseWare.
  2. Paul Dawkins. “Curl and Divergence.” Paul’s Online Notes, Calculus III, Lamar University, última modificação em 16 de novembro de 2022. Paul’s Online Notes.
  3. Duane Q. Nykamp. “The Idea of the Divergence of a Vector Field.” Math Insight, acessado em 28 de junho de 2026. Math Insight.