Calculadora de Matriz Hessiana

Calcule derivadas parciais de segunda ordem, determinantes da matriz Hessiana, sinais dos autovalores e a classificação local de pontos críticos.

Os resultados são calculados automaticamente conforme você informa os dados.

Fórmula e interpretação
ResultadoInforme uma função para montar a matriz Hessiana.

▼ Veja explicações e dicas abaixo ▼

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O que é uma matriz Hessiana?

Uma matriz Hessiana é uma matriz quadrada que organiza as segundas derivadas parciais de uma função de várias variáveis. No cálculo de uma variável, a segunda derivada ajuda a descrever se um gráfico se curva para cima ou para baixo. A Hessiana estende essa ideia a funções com duas ou três variáveis, nas quais a função pode se curvar de maneiras diferentes em direções diferentes.

Para uma função real \(f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\), a matriz Hessiana é

$$ H_f(\mathbf{x}) = \left[\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\,\partial x_j}\right]_{i,j=1}^n $$

Para uma função de duas variáveis, ela fica assim:

$$ H_f(x,y)= \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{bmatrix} $$

Cada entrada mede como uma primeira derivada parcial varia quando uma variável muda. As entradas da diagonal, como \(f_{xx}\) e \(f_{yy}\), medem a curvatura ao longo de uma direção coordenada. As entradas fora da diagonal, como \(f_{xy}\), medem a curvatura mista, que envolve mais de uma variável.

A Hessiana é mais útil perto de um ponto crítico, onde o gradiente é zero ou próximo de zero. Nesse ponto, as informações da primeira derivada deixaram de indicar claramente uma direção de crescimento ou decrescimento, então as informações da segunda derivada ajudam a descrever a forma local.

Por que a matriz Hessiana é importante

A Hessiana relaciona cálculo, álgebra linear e otimização. Ela ajuda a responder a perguntas como:

  • Um ponto crítico provavelmente é um mínimo local, um máximo local ou um ponto de sela?
  • A função se curva para cima em todas as direções próximas?
  • Ela se curva para baixo em todas as direções próximas?
  • Ela cresce em algumas direções e decresce em outras?
  • O teste da segunda derivada não consegue decidir porque a curvatura é muito plana ou muito próxima de zero?

Isso é importante no cálculo de várias variáveis porque um ponto pode parecer plano do ponto de vista da primeira derivada e ainda assim ter comportamentos muito diferentes nas direções próximas. Também é importante na otimização, em que a Hessiana descreve a curvatura local ao redor de soluções candidatas.

Termos importantes

  • Derivada parcial: derivada calculada em relação a uma variável enquanto as outras permanecem fixas.
  • Gradiente: vetor das primeiras derivadas parciais. Para uma função de três variáveis, \(\nabla f=(f_x,f_y,f_z)\).
  • Ponto crítico: ponto em que o gradiente é zero ou suficientemente próximo de zero para um teste numérico.
  • Segunda derivada parcial: derivada de uma derivada parcial, como \(f_{xx}\), \(f_{xy}\) ou \(f_{yz}\).
  • Autovalor: número que descreve como uma matriz estende ou inverte determinadas direções. Para uma Hessiana simétrica, os sinais dos autovalores revelam as direções de curvatura.
  • Hessiana definida positiva: Hessiana cujos autovalores são todos positivos. Em um ponto crítico, isso indica curvatura para cima em todas as direções.
  • Hessiana definida negativa: Hessiana cujos autovalores são todos negativos. Em um ponto crítico, isso indica curvatura para baixo em todas as direções.
  • Hessiana indefinida: Hessiana com autovalores positivos e negativos. Em um ponto crítico, isso indica um comportamento semelhante ao de uma sela.
  • Tolerância: pequeno limite positivo usado para decidir se os valores estão suficientemente próximos de zero para uma classificação numérica.

Como funciona a classificação baseada na Hessiana

A Hessiana é construída derivando a função uma vez para formar o gradiente e, em seguida, derivando novamente cada componente do gradiente.

Para as variáveis \(x_1, x_2, \ldots, x_n\), a entrada na linha \(i\) e na coluna \(j\) é

$$ H_{ij}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\,\partial x_j} $$

Em um ponto \(\mathbf{a}\), a aproximação de Taylor de segunda ordem tem a forma

$$ f(\mathbf{a}+\mathbf{h}) \approx f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a})\cdot \mathbf{h} + \frac{1}{2}\mathbf{h}^T H_f(\mathbf{a})\mathbf{h} $$

Quando \(\mathbf{a}\) é um ponto crítico, \(\nabla f(\mathbf{a})=\mathbf{0}\), então o termo linear desaparece. O comportamento nas proximidades passa a ser controlado principalmente pelo termo quadrático

$$ \frac{1}{2}\mathbf{h}^T H_f(\mathbf{a})\mathbf{h} $$

É por isso que a Hessiana pode classificar a curvatura local:

  • Se todos os autovalores da Hessiana são positivos, o termo quadrático é positivo em toda direção não nula, então o ponto provavelmente é um mínimo local.
  • Se todos os autovalores da Hessiana são negativos, o termo quadrático é negativo em toda direção não nula, então o ponto provavelmente é um máximo local.
  • Se a Hessiana tem autovalores positivos e negativos, a função cresce em algumas direções e decresce em outras, então o ponto é um ponto de sela.
  • Se um ou mais autovalores são zero ou muito próximos de zero, o teste da segunda derivada pode não ter informações suficientes, então o resultado é inconclusivo.

Para funções de duas variáveis, a mesma ideia costuma ser escrita usando o determinante da Hessiana:

$$ D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 $$

Em um ponto crítico:

  • Se \(D>0\) e \(f_{xx}>0\), o ponto é um mínimo local.
  • Se \(D>0\) e \(f_{xx}<0\), o ponto é um máximo local.
  • Se \(D<0\), o ponto é um ponto de sela.
  • Se \(D=0\), o teste é inconclusivo.

A versão baseada em autovalores é mais geral e funciona naturalmente tanto para matrizes Hessianas 2D quanto 3D.

Exemplos práticos de matrizes Hessianas

Exemplo 1: um mínimo local

Considere

$$ f(x,y)=x^2+2y^2+xy $$

As primeiras derivadas parciais são

$$ f_x=2x+y $$
$$ f_y=x+4y $$

Em \((0,0)\), ambas as derivadas parciais são zero, então \((0,0)\) é um ponto crítico.

A Hessiana é

$$ H_f(x,y)= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} $$

Seus autovalores são

$$ \lambda_1=3+\sqrt{2}, \qquad \lambda_2=3-\sqrt{2} $$

Ambos são positivos, então a função tem curvatura para cima em todas as direções próximas de \((0,0)\). O ponto é classificado como um mínimo local.

Exemplo 2: um ponto de sela

Considere

$$ f(x,y)=x^2-y^2 $$

O gradiente é

$$ \nabla f(x,y)=(2x,-2y) $$

Em \((0,0)\), o gradiente é zero. A Hessiana é

$$ H_f(x,y)= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} $$

Os autovalores são \(2\) e \(-2\). Um é positivo e o outro é negativo, então o gráfico se curva para cima em uma direção e para baixo em outra. A origem é um ponto de sela.

Exemplo 3: um teste da segunda derivada inconclusivo

Considere

$$ f(x,y)=x^4+y^4 $$

A origem é um ponto crítico porque

$$ \nabla f(0,0)=(0,0) $$

A Hessiana é

$$ H_f(x,y)= \begin{bmatrix} 12x^2 & 0 \\ 0 & 12y^2 \end{bmatrix} $$

Em \((0,0)\), ela fica assim:

$$ H_f(0,0)= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$

Ambos os autovalores são zero, então o teste da Hessiana é inconclusivo. Neste exemplo específico, a origem ainda é um mínimo local, mas as informações da segunda derivada, sozinhas, são planas demais para prová-lo. Este é um lembrete importante: “inconclusivo” não significa “sem mínimo” nem “sem máximo”. Significa que o teste da Hessiana não consegue decidir.

Exemplo 4: um ponto de sela em 3D

Para

$$ f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2+xy $$

em \((0,0,0)\), o gradiente é zero. A Hessiana é

$$ H_f(x,y,z)= \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} $$

Os autovalores são \(3\), \(1\) e \(-2\). Como os sinais são mistos, o ponto é classificado como um ponto de sela.

Como interpretar o resultado

Um resultado da Hessiana deve ser analisado junto com o gradiente. A Hessiana descreve a curvatura, mas a classificação como mínimo ou máximo local só faz sentido quando o ponto é crítico ou suficientemente próximo de um ponto crítico dentro da tolerância escolhida.

Os principais rótulos de resultado significam:

  • Mínimo local estrito: o gradiente avaliado é zero e a Hessiana é definida positiva além do seu limite numérico que considera a escala.
  • Máximo local estrito: o gradiente avaliado é zero e a Hessiana é definida negativa além do seu limite numérico que considera a escala.
  • Ponto de sela: o gradiente avaliado é zero e a Hessiana tem autovalores positivos e negativos além do seu limite numérico que considera a escala.
  • Próximo de um candidato a mínimo local: o gradiente está dentro da tolerância informada, mas não é exatamente zero, e a Hessiana é definida positiva.
  • Próximo de um candidato a máximo local: o gradiente está dentro da tolerância informada, mas não é exatamente zero, e a Hessiana é definida negativa.
  • Próximo de um candidato do tipo sela: o gradiente está dentro da tolerância informada, mas não é exatamente zero, e a Hessiana é indefinida.
  • Inconclusivo: pelo menos um autovalor está próximo de zero, então o teste da segunda derivada não fornece informações suficientes.
  • Não é um ponto crítico: a norma do gradiente é maior que a tolerância informada, então o ponto não é classificado usando o teste da Hessiana.
  • Hessiana calculada: os valores relacionados à Hessiana foram calculados, mas a classificação do ponto foi desativada.

Os resultados complementares acrescentam mais detalhes:

  • Matriz Hessiana: mostra as segundas derivadas parciais e seus valores avaliados no ponto selecionado.
  • Gradiente: mostra se o ponto escolhido está próximo de ser crítico.
  • Autovalores: mostram os sinais da curvatura e são a principal base da classificação.
  • det\((H)\): em 2D, seu sinal ajuda a distinguir uma curvatura com sinais iguais de uma curvatura com sinais mistos.
  • traço\((H)\): soma as entradas diagonais da Hessiana e fornece outro resumo da matriz.
  • Prévia do contorno: ajuda a visualizar o comportamento nas proximidades no plano \(x\)-\(y\). No modo 3D, ela é uma seção \(x\)-\(y\) no valor selecionado de \(z\), não uma visualização 3D completa.

Erros e equívocos comuns

Erro 1: classificar um ponto que não é crítico.
É possível calcular a Hessiana em muitos pontos, mas o teste da segunda derivada para extremos locais é destinado a pontos críticos. Se o gradiente não estiver próximo de zero, o ponto pode simplesmente estar em uma região inclinada.

Erro 2: tratar “inconclusivo” como uma classificação final.
Um resultado inconclusivo significa que o teste da Hessiana não consegue decidir. Termos de ordem superior, raciocínio direto, gráficos ou outro método ainda podem classificar o ponto.

Erro 3: escolher uma tolerância inadequada.
A tolerância informada se aplica apenas à norma do gradiente. Um valor grande demais pode tratar um ponto apenas próximo como aproximadamente estacionário. Os autovalores da Hessiana usam um limite separado de ponto flutuante que considera a escala.

Erro 4: esquecer as restrições de domínio.
Expressões como \(\ln(x)\), \(\sqrt{x}\) e a divisão por uma variável têm domínios restritos. Um ponto fora do domínio ou em uma fronteira não diferenciável não pode ser classificado da maneira usual.

Erro 5: presumir que log significa base 10.
Nesta calculadora, log é tratado como o logaritmo natural, assim como ln.

Erro 6: digitar uma multiplicação implícita.
Use a multiplicação explícita, como 2*x ou x*(y+1). Entradas como 2x ou x(y+1) não são aceitas.

Erro 7: esperar que a prévia 3D mostre uma superfície 3D completa.
A prévia visual é uma seção \(x\)-\(y\). No modo 3D, ela mantém \(z\) fixo no valor selecionado.

Quando usar uma matriz Hessiana

Use a análise da Hessiana quando quiser estudar o comportamento de segunda ordem de uma função de várias variáveis. Usos comuns incluem:

  • Classificar pontos críticos no cálculo de várias variáveis.
  • Verificar se uma solução candidata em um problema de otimização parece ser um mínimo ou máximo local.
  • Entender pontos de sela, em que as primeiras derivadas se anulam, mas a função não é localmente máxima nem mínima.
  • Estudar aproximações quadráticas locais de uma função.
  • Comparar direções de curvatura usando autovalores.
  • Explorar como uma função de duas ou três variáveis se comporta perto de um ponto selecionado.

Limitações e aspectos importantes

O teste da Hessiana depende de algumas premissas. A função deve ser real e diferenciável o suficiente perto do ponto para que as segundas derivadas parciais façam sentido. Quando as segundas derivadas parciais relevantes são contínuas, a Hessiana é simétrica, que é a situação em que a interpretação da curvatura baseada em autovalores é padrão.

A classificação é local, não global. Um mínimo local é apenas menor que os valores próximos; ele pode não ser o menor valor em todo o domínio. Um máximo local é apenas maior que os valores próximos; ele pode não ser o maior valor geral.

A tolerância de gradiente informada decide se um gradiente não nulo está suficientemente próximo de zero para sinalizar o ponto como candidato a ponto crítico próximo. Os sinais dos autovalores usam um limite separado, derivado da escala da Hessiana e do resíduo do resolvedor de autovalores.

Valores comuns são exibidos com até 7 casas decimais, enquanto valores não nulos muito grandes ou muito pequenos usam notação exponencial. Zeros exatos são exibidos como \(0\).

Algumas funções estão fora do conjunto de entradas aceitas. A calculadora aceita as variáveis \(x\) e \(y\) no modo 2D, e \(x\), \(y\) e \(z\) no modo 3D. Ela aceita constantes como \(\pi\) e \(e\), operadores aritméticos, parênteses, potências e funções como sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt e abs. Ela não aceita mais de três variáveis, resultados complexos, definições por partes, expressões condicionais ou funções como arcsin, sinh, max, min, floor ou fatorial.

Tenha atenção especial com expressões não diferenciáveis. A calculadora rejeita pontos angulosos não resolvidos de abs quando o argumento do valor absoluto é zero, mas normaliza com segurança potências pares suaves, como abs(x)^2. Ela também rejeita divisão por zero, 0^0, logaritmos de valores não positivos, raízes quadradas de valores negativos, polos exatos da tangente e outras operações inválidas com valores reais antes de simplificar a expressão. Se uma Hessiana finita tiver um determinante fora do intervalo de ponto flutuante do JavaScript, a matriz e a classificação continuam disponíveis, e o cartão do determinante informa seu sinal e sua magnitude logarítmica.

Um resultado de calculadora deve apoiar o raciocínio matemático, não substituí-lo. Em trabalhos acadêmicos, demonstrações, modelos de engenharia, trabalhos científicos ou decisões de otimização com consequências reais, verifique novamente as premissas e analise o resultado com um método adequado ou com um profissional qualificado.

Como usar esta calculadora

  1. Escolha o modo 2D ou 3D.
  2. Informe a função objetivo usando as variáveis aceitas: \(x\) e \(y\) em 2D, ou \(x\), \(y\) e \(z\) em 3D.
  3. Use multiplicação explícita, como 2*x, x*y ou x*(y+1).
  4. Informe as coordenadas do ponto. No modo 3D, inclua a coordenada \(z\).
  5. Informe uma tolerância de gradiente positiva para a verificação de estacionariedade. A calculadora determina automaticamente o limite da curvatura.
  6. Mantenha a classificação ativada se quiser classificar o ponto ou desative-a se quiser apenas os resultados relacionados à Hessiana.
  7. Analise o rótulo do resultado, o determinante, o traço, o gradiente, os autovalores, a tabela da Hessiana e as observações de interpretação.
  8. Use a opção de baixar o gráfico somente depois que uma prévia de contorno válida aparecer.

Perguntas frequentes

O que a matriz Hessiana me diz?

A Hessiana mostra como uma função de várias variáveis se curva perto de um ponto. Em um ponto crítico ou próximo dele, os sinais dos autovalores podem indicar se a função se comporta como um mínimo local, um máximo local, um ponto de sela ou um caso plano inconclusivo.

A Hessiana é igual ao gradiente?

Não. O gradiente é um vetor de primeiras derivadas parciais, enquanto a Hessiana é uma matriz de segundas derivadas parciais. O gradiente ajuda a identificar pontos críticos; a Hessiana ajuda a classificar a curvatura nesses pontos.

Por que a calculadora diz “Não é um ponto crítico”?

Isso significa que a norma do gradiente no ponto selecionado é maior que a tolerância de gradiente informada. Ainda é possível calcular a Hessiana nesse ponto, mas a classificação pela segunda derivada não deve ser aplicada como se o ponto fosse crítico.

O que significa um autovalor próximo de zero?

Um autovalor próximo de zero significa que a função é muito plana em pelo menos uma direção de curvatura em relação à escala numérica da Hessiana. Nessa situação, o teste da segunda derivada pode ser inconclusivo porque termos de ordem superior podem controlar o comportamento local real.

Um ponto pode ser um mínimo local mesmo que o teste da Hessiana seja inconclusivo?

Sim. Por exemplo, \(f(x,y)=x^4+y^4\) tem um mínimo local na origem, mas sua Hessiana na origem é a matriz zero. O teste da segunda derivada não consegue detectar esse mínimo porque o comportamento decisivo vem de termos de quarto grau, não de termos de segundo grau.

Esta calculadora aceita funções 3D?

Sim. Ela aceita funções que usam \(x\), \(y\) e \(z\) no modo 3D. Nesse caso, a Hessiana é uma matriz \(3\times3\), e a classificação combina a tolerância do gradiente com os sinais dos três autovalores da Hessiana, considerando a escala.

A calculadora usa logaritmos de base 10?

Não. A entrada log é interpretada como o logaritmo natural, assim como ln. Para logaritmos de base 10, reescreva a expressão usando a relação de mudança de base, se necessário.

Fontes e referências

Livros

  1. Gilbert Strang and Edwin “Jed” Herman. Calculus Volume 3. OpenStax, 2016. Section 4.7, “Maxima/Minima Problems.” https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/4-7-maxima-minima-problems
  2. Joel Feldman, Andrew Rechnitzer, and Elyse Yeager. CLP-3 Multivariable Calculus. University of British Columbia, online text. Section 2.9.2, “The Second Derivative Test.” https://personal.math.ubc.ca/~CLP/CLP3/clp3mc/sec_max.html
  3. Jorge Nocedal and Stephen J. Wright. Numerical Optimization. 2nd ed., Springer, 2006. Background on second-order information and optimization methods.

Fontes on-line e educacionais

  1. University of Toronto, MAT237Y1 Course Notes. “2.7: Critical Points.” Accessed June 28, 2026. https://www.math.utoronto.ca/courses/mat237y1/20199/notes/Chapter2/S2.7.html
  2. MIT OpenCourseWare. “Positive Definite Matrices and Minima,” 18.06SC Linear Algebra, Fall 2011. Accessed June 28, 2026. https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/pages/positive-definite-matrices-and-applications/positive-definite-matrices-and-minima/