Calculadora de Rotacional

Use esta Calculadora de Rotacional para informar valores, ajustar opções e analisar os resultados em um espaço de trabalho compacto e responsivo.

Os resultados são calculados automaticamente conforme você informa os dados.

Calcule o rotacional escalar em 2D ou o rotacional vetorial em 3D com etapas do determinante e um mapa de rotação.

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Resultado do rotacional Informe um campo vetorial.

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O que é o rotacional?

O rotacional é uma forma de medir a rotação local em um campo vetorial. Um campo vetorial associa um vetor a cada ponto do espaço. Por exemplo, um mapa de ventos pode associar uma seta de velocidade e direção do vento a cada local, e um campo de velocidades de um fluido pode associar um vetor de escoamento a cada ponto do fluido.

O rotacional faz uma pergunta mais específica: perto de um ponto, o campo tende a fazer uma pequena roda de pás girar? Se sim, para que lado apontaria o eixo da rotação e qual seria a intensidade dessa tendência de giro local?

Em duas dimensões, o rotacional costuma ser apresentado como um único número. Esse número representa a rotação para fora ou para dentro do plano da página. Em três dimensões, o rotacional é um vetor, porque a rotação pode estar orientada em torno do eixo x, y ou z.

O rotacional é local. Ele descreve o que acontece perto do ponto selecionado, não o movimento total de todo o campo nem a trajetória percorrida por uma partícula ao longo do tempo.

Por que o rotacional é importante

O rotacional é importante porque muitos campos vetoriais ficam mais fáceis de entender quando separamos o movimento em rotação local, expansão e direção. Um campo pode apontar em círculos e ter rotacional intenso, mas também pode parecer curvo visualmente e ter rotacional igual a zero em um ponto. O cálculo do rotacional ajuda a distinguir esses casos.

Estudantes usam o rotacional no cálculo vetorial para relacionar derivadas parciais e geometria. Na física e na engenharia, o rotacional aparece no escoamento de fluidos, no eletromagnetismo, na circulação, na vorticidade e no teorema de Stokes. Em aplicações práticas, ele pode ajudar a descrever se um campo apresenta giro local, se um campo de velocidades está girando perto de um ponto ou se um campo de forças pode ser conservativo sob as condições adequadas do domínio.

Termos importantes

  • Campo vetorial: Uma regra que associa um vetor a cada ponto. Em 2D, ele costuma ser escrito como \(\mathbf{F}(x,y)=\langle P(x,y),Q(x,y)\rangle\). Em 3D, costuma ser escrito como \(\mathbf{F}(x,y,z)=\langle P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\rangle\).
  • Componente: Uma das partes coordenadas de um campo vetorial. Em \(\langle P,Q,R\rangle\), \(P\) é a componente na direção x, \(Q\) é a componente na direção y e \(R\) é a componente na direção z.
  • Derivada parcial: A taxa de variação de uma componente em relação a uma variável, mantendo as outras variáveis constantes.
  • Rotacional escalar 2D: Um único valor, \(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\), que representa o rotacional na direção z de um campo 2D.
  • Vetor rotacional 3D: Um vetor cujas componentes descrevem a rotação em torno dos eixos x, y e z.
  • Diferença finita central: Um método numérico que estima uma derivada avaliando uma função ligeiramente antes e ligeiramente depois do ponto. Esta calculadora compara estimativas com mais de um tamanho de passo antes de aceitar um resultado.
  • Circulação: Uma medida de quanto um campo vetorial escoa ao redor de uma curva. O rotacional está intimamente relacionado à circulação em uma região pequena.
  • Campo conservativo: Um campo vetorial que pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial, sob condições adequadas. Rotacional igual a zero é um teste importante para essa ideia, mas as condições do domínio também importam.

Como funciona o rotacional

O rotacional é construído a partir das derivadas parciais das componentes do campo vetorial. Essas derivadas comparam como uma componente muda quando você se desloca na direção de outra coordenada. Essa variação cruzada é o que detecta o giro local.

Para um campo vetorial 2D,

$$ \mathbf{F}(x,y)=\langle P(x,y),Q(x,y)\rangle $$

o rotacional escalar é

$$ \operatorname{curl}_{2D}(\mathbf{F})=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} $$

O primeiro termo, \(\frac{\partial Q}{\partial x}\), mede como a componente y muda quando você se desloca na direção x. O segundo termo, \(\frac{\partial P}{\partial y}\), mede como a componente x muda quando você se desloca na direção y. A diferença entre eles fornece a tendência local de rotação no plano.

Para um campo vetorial 3D,

$$ \mathbf{F}(x,y,z)=\langle P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\rangle $$

o rotacional é o vetor

$$ \nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle $$

A fórmula 2D é a componente z desta fórmula 3D quando o campo é tratado como \(\langle P,Q,0\rangle\).

Esta calculadora estima numericamente as derivadas parciais necessárias. Para uma função componente \(f\) e uma variável \(v\), a ideia da diferença central é

$$ \frac{\partial f}{\partial v} \approx \frac{f(\text{point with }v+h)-f(\text{point with }v-h)}{2h} $$

Aqui, \(h\) é um tamanho de passo pequeno. Um passo menor pode melhorar a estimativa da derivada até certo ponto, mas o arredondamento numérico e valores de função indefinidos ainda podem afetar o resultado. Por isso, a calculadora informa uma aproximação, e não uma derivada simbólica exata.

Exemplos práticos de rotacional

Exemplo 1: uma rotação simples no sentido anti-horário

Considere o campo vetorial 2D

$$ \mathbf{F}(x,y)=\langle -y,x\rangle $$

Aqui, \(P=-y\) e \(Q=x\). O rotacional escalar é

$$ \operatorname{curl}_{2D}(\mathbf{F}) = \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} $$

Como

$$ \frac{\partial Q}{\partial x}=1 $$

e

$$ \frac{\partial P}{\partial y}=-1 $$

o rotacional é

$$ 1-(-1)=2 $$

Um valor positivo significa que o campo tem rotação local no sentido anti-horário, usando a orientação x-y padrão.

Exemplo 2: um campo de cisalhamento no sentido horário

Considere

$$ \mathbf{F}(x,y)=\langle y^2,0\rangle $$

No ponto \((0,2)\), o rotacional escalar é

$$ \operatorname{curl}_{2D}(\mathbf{F}) = \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} $$

Como \(Q=0\):

$$ \frac{\partial Q}{\partial x}=0 $$

Como \(P=y^2\):

$$ \frac{\partial P}{\partial y}=2y $$

Em \(y=2\):

$$ \operatorname{curl}_{2D}(\mathbf{F})=0-4=-4 $$

O sinal negativo indica rotação local no sentido horário. Observe que o campo não precisa formar círculos evidentes para ter rotacional diferente de zero. Velocidades diferentes das setas acima e abaixo de um ponto ainda podem criar um giro local.

Exemplo 3: um vetor rotacional 3D

Considere o campo vetorial 3D

$$ \mathbf{F}(x,y,z)=\langle 0,0,xy\rangle $$

Aqui, \(P=0\), \(Q=0\) e \(R=xy\). O rotacional é

$$ \nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle $$

As derivadas parciais são

$$ \frac{\partial R}{\partial y}=x, \quad \frac{\partial Q}{\partial z}=0, \quad \frac{\partial P}{\partial z}=0, \quad \frac{\partial R}{\partial x}=y, \quad \frac{\partial Q}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial P}{\partial y}=0 $$

Portanto,

$$ \nabla \times \mathbf{F}=\langle x,-y,0\rangle $$

Em \((2,3,0)\), o rotacional é

$$ \langle 2,-3,0\rangle $$

Isso significa que a rotação local tem uma componente x igual a \(2\), uma componente y igual a \(-3\) e nenhuma componente z nesse ponto.

Exemplo 4: rotacional igual a zero não significa campo nulo

Considere o campo radial

$$ \mathbf{F}(x,y)=\langle x,y\rangle $$

O rotacional escalar é

$$ \frac{\partial y}{\partial x}-\frac{\partial x}{\partial y}=0-0=0 $$

O campo não é nulo; por exemplo, em \((3,4)\), o valor do campo é \(\langle 3,4\rangle\). O rotacional é zero porque esse campo se espalha para fora sem girar localmente.

Como interpretar o resultado

No modo 2D, o resultado principal é uma aproximação escalar de

$$ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} $$

Um rotacional 2D positivo indica rotação local no sentido anti-horário. Um rotacional 2D negativo indica rotação local no sentido horário. Um valor próximo de zero significa que a calculadora não detectou uma rotação local significativa no ponto selecionado, embora o campo ainda possa ter vetores diferentes de zero ou curvatura visível.

No modo 3D, o resultado é um vetor da forma

$$ \langle x\text{-component},y\text{-component},z\text{-component}\rangle $$

Cada componente descreve a rotação em torno daquele eixo coordenado. A componente z é a mesma expressão usada na fórmula do rotacional escalar 2D:

$$ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} $$

A saída do valor do campo não é o rotacional. Ela é o campo vetorial original avaliado no ponto de amostragem selecionado. Por exemplo, um valor de campo igual a \(\langle 3,4\rangle\) descreve o vetor associado àquele ponto, enquanto o resultado do rotacional descreve a tendência de rotação local perto dele.

O ponto de amostragem mostra as coordenadas efetivamente usadas no cálculo. Coordenadas deixadas em branco são tratadas como \(0\). No modo 2D, somente \(x\) e \(y\) são usadas; no modo 3D, \(z\) também é usado. No modo 3D, uma componente \(R\) vazia ou que contenha apenas espaços é tratada como \(0\).

Se você estiver usando a calculadora para um campo físico, as unidades do rotacional dependem das unidades do campo e das coordenadas. Por exemplo, se uma componente da velocidade for medida em metros por segundo e a posição for medida em metros, uma componente do rotacional terá unidade de inverso de segundo. A calculadora não faz conversão de unidades nem verifica dimensões.

Erros e equívocos comuns

Erro 1: tratar o rotacional como se fosse o campo vetorial. O valor do campo informa o vetor no ponto. O rotacional informa sobre a rotação local perto do ponto.

Erro 2: esperar derivadas simbólicas exatas. A calculadora usa estimativas numéricas de derivadas parciais. Os resultados podem ser muito úteis, mas são aproximações.

Erro 3: supor que rotacional zero significa campo nulo. Um campo pode ter rotacional zero e ainda assim ter vetores grandes. Rotacional zero significa que não foi detectado giro local no ponto, não que não haja movimento ou força.

Erro 4: interpretar a visualização 3D como um gráfico 3D completo. No modo 3D, o gráfico é uma fatia x-y no valor de z selecionado. O vetor rotacional 3D completo é mostrado numericamente.

Erro 5: esquecer que as entradas trigonométricas usam radianos. Por exemplo, \(\sin(\pi/2)=1\), enquanto \(\sin(90)\) não é interpretado como \(90^\circ\).

Erro 6: usar nomes ou funções não compatíveis. No modo 2D, as variáveis compatíveis são \(x\) e \(y\); no modo 3D, são \(x\), \(y\) e \(z\). As constantes \(\pi\) e \(e\) são compatíveis. Entre as funções comuns compatíveis estão sin, cos, tan, sqrt, abs, exp, ln, log, pow, min e max. Parâmetros como t, a, b, r ou theta não são compatíveis, a menos que sejam escritos diretamente como números ou expressões que usem variáveis compatíveis.

Erro 7: confundir ln com log. Use ln para o logaritmo natural. Use log para o logaritmo na base 10.

Erro 8: usar expressões com singularidades no ponto de amostragem. Expressões como \(\frac{1}{x}\) em \(x=0\) ou \(\sqrt{x}\) perto de valores negativos de x podem ser indefinidas ou instáveis durante as avaliações por diferenças finitas.

Quando usar o rotacional

Use o rotacional quando quiser entender a rotação local em um campo vetorial. Ele é especialmente útil para:

  • conferir exercícios de cálculo vetorial envolvendo rotacional escalar 2D ou vetores rotacionais 3D;
  • investigar se um campo tem giro local no sentido horário ou anti-horário;
  • comparar campos que parecem semelhantes, mas giram de maneiras diferentes;
  • estudar campos de velocidade de fluidos, circulação e conceitos de vorticidade;
  • preparar-se para o teorema de Green, o teorema de Stokes e testes de campos conservativos;
  • desenvolver intuição a partir de gráficos de campos vetoriais antes de fazer um cálculo simbólico completo.

O rotacional não é a ferramenta adequada quando você precisa apenas do módulo de um vetor, da direção de uma única seta, da divergência de um campo ou de uma derivada simbólica exata.

Limitações e pontos importantes

A calculadora estima o rotacional numericamente, portanto os resultados podem diferir ligeiramente das respostas simbólicas exatas. Valores muito pequenos podem ser exibidos como \(0\), e os demais valores finitos são mostrados com cerca de até 8 algarismos significativos. Não interprete o último algarismo exibido como exato.

O método de diferenças finitas supõe que o campo se comporte de maneira suave perto do ponto selecionado. A calculadora compara vários tamanhos de passo e informa um erro quando não consegue encontrar uma derivada numérica estável. Por isso, os resultados podem ficar indisponíveis perto de descontinuidades, quinas, mudanças bruscas, singularidades, campos que variam muito rapidamente ou pontos em que uma função esteja fora do domínio.

O cálculo aceita somente expressões com valores reais. Campos com valores complexos, parâmetros simbólicos personalizados, funções não compatíveis e diferenciação simbólica exata estão fora do escopo.

O gráfico é um recurso visual, não um substituto do resultado numérico. A janela x-y é fixa de \(-5\) a \(5\) nas duas direções, e a intensidade das cores é limitada para facilitar a leitura. Ainda é possível calcular um ponto fora dos limites visíveis do gráfico, mas ele pode não aparecer como marcador no canvas.

A configuração de escala altera apenas o comprimento exibido das setas. Ela não altera o campo vetorial, o ponto de amostragem nem o rotacional calculado.

Em trabalhos de física, engenharia ou que envolvam segurança, verifique os resultados importantes com diferenciação simbólica, um software independente ou um professor ou profissional qualificado. Uma calculadora numérica é uma ferramenta de aprendizagem e exploração, não substitui uma análise completa.

Como usar esta calculadora

  1. Escolha o modo 2D ou 3D.
  2. Informe as componentes do campo vetorial. \(P\) e \(Q\) são obrigatórias. Use \(R\) no modo 3D; se \(R\) estiver vazio ou contiver apenas espaços, ele será tratado como \(0\).
  3. Informe as coordenadas do ponto de amostragem \(x\) e \(y\). No modo 3D, informe \(z\) para a fatia x-y.
  4. Ajuste a escala somente se as setas do gráfico precisarem aparecer maiores ou menores. O valor da escala deve ser maior que \(0\).
  5. Se quiser, escolha um dos exemplos integrados, como um campo de rotação, de sela ou de vórtice.
  6. Leia o resultado do rotacional, o ponto de amostragem, o valor do campo e as etapas do cálculo.
  7. Use o gráfico do campo vetorial para entender a direção e o sinal da rotação local, mas use o resultado numérico para obter o valor efetivo do rotacional.
  8. Baixe o gráfico como PNG se precisar salvar a visualização.

Perguntas frequentes

O rotacional é um escalar ou um vetor?

Em 3D, o rotacional é um vetor. No cálculo vetorial 2D, é comum usar um rotacional escalar porque a rotação é perpendicular ao plano x-y. Esse escalar é a componente z do rotacional 3D para o campo \(\langle P,Q,0\rangle\).

O que significa rotacional positivo em 2D?

Usando a orientação x-y padrão, um rotacional escalar positivo significa rotação local no sentido anti-horário. Um rotacional escalar negativo significa rotação local no sentido horário. Um valor próximo de zero significa que pouco ou nenhum giro local foi detectado no ponto de amostragem.

Por que o resultado usa um sinal de aproximação?

A calculadora estima derivadas parciais com diferenças finitas centrais, em vez de fazer diferenciação simbólica. Ela compara avaliações próximas com vários tamanhos de passo e aceita somente uma estimativa estável. A aproximação costuma ser útil para campos suaves, mas pode ser afetada por arredondamento, resolução, tamanho do passo e problemas de domínio.

Um campo pode ter rotacional zero mesmo que as setas não sejam nulas?

Sim. O rotacional mede a rotação local, não se o campo em si é nulo. Um campo radial como \(\langle x,y\rangle\) tem setas diferentes de zero longe da origem, mas rotacional escalar 2D igual a zero.

Por que meu resultado trigonométrico é diferente do esperado?

As entradas trigonométricas são interpretadas em radianos. Para valores em graus, converta os graus para radianos antes de informar a expressão. Por exemplo, \(90^\circ\) deve ser informado como \(\frac{\pi}{2}\).

Por que o gráfico 3D parece um gráfico 2D?

A visualização mostra uma fatia x-y no valor de z selecionado. No modo 3D, o vetor rotacional completo continua sendo calculado e mostrado numericamente, mas o canvas não renderiza um campo vetorial 3D completo.

Fontes e referências