Calculadora de Transformada de Laplace
Use esta Calculadora de Transformada de Laplace para inserir valores, ajustar opções e conferir resultados em um espaço de trabalho compacto e responsivo.
Os resultados são calculados automaticamente enquanto você insere os dados.
Entrada por partes
Use um intervalo por linha, por exemplo:
0 to 2: t
Derivação
Transformada de Laplace
▼ Veja explicações e dicas abaixo ▼
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O que é uma transformada de Laplace?
Uma transformada de Laplace é uma forma de converter uma função do tempo, geralmente escrita como \(f(t)\), em uma função de uma nova variável, geralmente escrita como \(F(s)\). Em muitos cursos e aplicações, \(t\) representa o tempo, enquanto \(s\) representa a variável do domínio transformado.
A transformada é definida por uma integral imprópria:
$$
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt
$$
Esta fórmula diz: multiplique a função do domínio do tempo pela exponencial decrescente \(e^{-st}\), depois integre de \(0\) ao infinito. Quando a integral converge, o resultado é uma nova expressão em termos de \(s\).
O principal valor da transformada de Laplace é que ela frequentemente converte problemas difíceis no domínio do tempo em problemas algébricos mais simples. Isso é especialmente útil em equações diferenciais, sistemas de controle, análise de circuitos, processamento de sinais e matemática de engenharia.
Por exemplo, derivadas em uma equação diferencial podem se tornar expressões polinomiais em \(s\). Uma função de entrada que é ativada em determinado instante pode ser representada por uma função degrau unitário. Uma entrada definida por partes muitas vezes pode ser tratada integrando nos intervalos em que a função tem fórmulas diferentes.
Por que as transformadas de Laplace são importantes
As transformadas de Laplace são úteis porque conectam duas visões diferentes do mesmo problema:
- A visão no domínio do tempo, em que uma função descreve como algo muda com \(t\).
- A visão no domínio de s, em que a função transformada pode ser mais fácil de manipular algebricamente.
Os estudantes geralmente conhecem as transformadas de Laplace ao resolver equações diferenciais com condições iniciais. Engenheiros as usam para analisar sistemas, circuitos, funções de transferência e entradas que começam, param, sofrem saltos ou mudam ao longo do tempo.
Elas também são práticas porque muitas funções comuns têm regras de transformação padronizadas. Em vez de calcular a integral definidora todas as vezes, você pode usar uma tabela de transformadas e a propriedade da linearidade para construir a resposta termo a termo.
Termos importantes
- Função no domínio do tempo: A função original, escrita como \(f(t)\).
- Função no domínio transformado: A função transformada, escrita como \(F(s)\).
- Par de transformadas: Um par correspondente, como \(f(t) \leftrightarrow F(s)\).
- Linearidade: A propriedade que permite transformar somas e múltiplos constantes termo a termo.
- Função degrau unitário: Uma função que vale \(0\) antes de um instante escolhido e \(1\) a partir desse instante.
- Função de Heaviside: Outro nome comum para a função degrau unitário.
- Função definida por partes: Uma função definida por fórmulas diferentes em intervalos diferentes.
- Região de convergência: O conjunto de valores de \(s\) para os quais a integral de Laplace converge.
- Tabela de transformadas: Uma lista de funções padronizadas e suas transformadas de Laplace.
Como funcionam as transformadas de Laplace
A definição da transformada de Laplace é baseada em uma integral, mas muitos cálculos práticos usam regras que vêm dessa definição.
A regra mais importante é a linearidade:
$$
\mathcal{L}\{A f(t)+B g(t)\}
=
A\mathcal{L}\{f(t)\}+B\mathcal{L}\{g(t)\}
$$
em que \(A\) e \(B\) são constantes.
Linearidade significa que uma função como \(3t^2+4t+7\) pode ser transformada um termo de cada vez. A transformada da soma inteira é a soma das transformadas dos termos separados.
As regras comuns de transformação incluem:
| Função no domínio do tempo | Transformada de Laplace |
|---|---|
| \(c\) | \(\frac{c}{s}\) |
| \(t\) | \(\frac{1}{s^2}\) |
| \(t^n\), em que \(n\) é um inteiro não negativo | \(\frac{n!}{s^{n+1}}\) |
| \(e^{at}\) | \(\frac{1}{s-a}\) |
| \(\sin(at)\) | \(\frac{a}{s^2+a^2}\) |
| \(\cos(at)\) | \(\frac{s}{s^2+a^2}\) |
| \(u(t-a)\) | \(\frac{e^{-as}}{s}\) |
Essas regras têm condições de convergência, mesmo quando a condição não está escrita ao lado de cada fórmula. Por exemplo, a transformada de \(e^{at}\) requer \(s>a\). Em um trabalho rigoroso, verifique sempre a região de convergência ou as hipóteses exigidas pelo seu curso ou livro-texto.
Funções degrau unitário e definidas por partes
A função degrau unitário \(u(t-a)\) é ativada em \(t=a\):
$$
u(t-a)=
\begin{cases}
0, & t
Sua transformada de Laplace é:
$$
\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\frac{e^{-as}}{s}
$$
Funções definidas por partes também podem ser transformadas a partir da definição integral, dividindo a integral nos intervalos relevantes.
Por exemplo, se uma função é igual a \(1\) de \(t=a\) a \(t=b\) e é \(0\) no restante, então a contribuição desse intervalo é:
$$
\int_a^b e^{-st}\,dt
=
\frac{e^{-as}-e^{-bs}}{s}
$$
Se uma função é igual a \(t\) de \(t=a\) a \(t=b\), então a contribuição do intervalo é:
$$
\int_a^b t e^{-st}\,dt
=
\frac{e^{-as}(as+1)}{s^2}
-
\frac{e^{-bs}(bs+1)}{s^2}
$$
Quando o ponto extremo superior é o infinito, o termo da extremidade superior desaparece se a integral converge.
Exemplos práticos de transformadas de Laplace
Exemplo 1: transformando um polinômio
Suponha:
$$
f(t)=3t^2+4t+7
$$
Use a linearidade:
$$
\mathcal{L}\{3t^2+4t+7\}
=
3\mathcal{L}\{t^2\}
+
4\mathcal{L}\{t\}
+
7\mathcal{L}\{1\}
$$
Agora aplique as regras padronizadas:
$$
\mathcal{L}\{t^2\}=\frac{2!}{s^3}=\frac{2}{s^3}
$$
$$
\mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^2}
$$
$$
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}
$$
Portanto:
$$
F(s)=\frac{6}{s^3}+\frac{4}{s^2}+\frac{7}{s}
$$
Este exemplo mostra o fluxo básico: divida a expressão em termos compatíveis, transforme cada termo e depois some os resultados.
Exemplo 2: transformando termos de seno e cosseno
Suponha:
$$
f(t)=4\sin(2t)+3\cos(5t)
$$
Use a regra do seno:
$$
\mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^2+a^2}
$$
Para \(\sin(2t)\):
$$
\mathcal{L}\{\sin(2t)\}=\frac{2}{s^2+4}
$$
Multiplicando por \(4\) obtemos:
$$
4\mathcal{L}\{\sin(2t)\}=\frac{8}{s^2+4}
$$
Use a regra do cosseno:
$$
\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^2+a^2}
$$
Para \(\cos(5t)\):
$$
\mathcal{L}\{\cos(5t)\}=\frac{s}{s^2+25}
$$
Multiplicando por \(3\) obtemos:
$$
3\mathcal{L}\{\cos(5t)\}=\frac{3s}{s^2+25}
$$
Portanto:
$$
F(s)=\frac{8}{s^2+4}+\frac{3s}{s^2+25}
$$
Exemplo 3: uma entrada degrau unitário
Suponha:
$$
f(t)=2u(t-3)
$$
A função vale \(0\) antes de \(t=3\) e \(2\) a partir de \(t=3\) em diante. Usando a regra do degrau unitário:
$$
\mathcal{L}\{u(t-3)\}=\frac{e^{-3s}}{s}
$$
Multiplicando por \(2\) obtemos:
$$
F(s)=\frac{2e^{-3s}}{s}
$$
O fator \(e^{-3s}\) indica um deslocamento ou atraso no domínio do tempo.
Exemplo 4: uma função simples definida por partes
Suponha que uma função seja definida por:
$$
f(t)=
\begin{cases}
t, & 0\le t<2\\
1, & t\ge 2
\end{cases}
$$
Divida a integral da transformada entre os dois intervalos:
$$
F(s)=\int_0^2 t e^{-st}\,dt+\int_2^\infty e^{-st}\,dt
$$
Para o intervalo em que a função é \(t\):
$$
\int_0^2 t e^{-st}\,dt
=
\frac{1}{s^2}
-
\frac{e^{-2s}(2s+1)}{s^2}
$$
Para o intervalo em que a função é \(1\):
$$
\int_2^\infty e^{-st}\,dt
=
\frac{e^{-2s}}{s}
$$
Portanto, uma forma válida termo a termo é:
$$
F(s)=
\frac{1}{s^2}
-
\frac{e^{-2s}(2s+1)}{s^2}
+
\frac{e^{-2s}}{s}
$$
Um sistema de álgebra simbólica pode simplificar ainda mais essa expressão, mas a forma intervalo a intervalo costuma ser mais fácil de relacionar à definição original por partes.
Como interpretar o resultado
As saídas \(\mathcal{L}\{f(t)\}\) e \(F(s)\) significam a mesma coisa: a transformada de Laplace da função de entrada.
A função original mostra o que foi transformado. O resultado no domínio transformado mostra como essa função aparece no domínio de \(s\). As regras ou etapas ajudam a identificar quais entradas padronizadas da tabela de transformadas foram aplicadas.
Um resultado que contém potências de \(s\), como \(\frac{1}{s^2}\) ou \(\frac{6}{s^3}\), geralmente vem de termos polinomiais em \(t\). Um resultado que contém \(s^2+a^2\) no denominador geralmente vem de termos de seno ou cosseno. Um resultado que contém \(e^{-as}\) geralmente indica uma característica atrasada ou deslocada, como um degrau unitário ou um intervalo finito definido por partes que começa em \(t=a\).
Uma mensagem de validação significa que nenhuma transformada válida foi produzida para a forma informada. Nesse caso, o resultado exibido não deve ser tratado como uma resposta matemática.
Erros comuns e conceitos equivocados
Um erro comum é pensar que a transformada de Laplace transforma produtos em produtos. A linearidade se aplica a somas e múltiplos constantes, mas, em geral:
$$
\mathcal{L}\{f(t)g(t)\}
\ne
\mathcal{L}\{f(t)\}\mathcal{L}\{g(t)\}
$$
Outro erro comum é ignorar a convergência. Uma fórmula pode estar correta apenas para determinados valores de \(s\). Em muitos cálculos introdutórios essa condição é tratada nos bastidores, mas um trabalho rigoroso deve incluí-la.
Outros erros práticos incluem:
-
Usar
**em vez de^para potências. - Inserir potências negativas ou fracionárias, como \(t^{-1}\) ou \(t^{0.5}\).
- Usar parâmetros simbólicos, como \(a\) em \(\sin(at)\), quando se espera um valor numérico.
-
Omitir a multiplicação explícita; por exemplo, digitar
3tem vez de3*t. -
Inserir parâmetros simbólicos, como
exp(a*t); os parâmetros devem ser numéricos. - Preencher os campos padrão e por partes; escolha exatamente um modo de entrada.
- Tratar a ROC suficiente exibida como uma prova para expressões fora do escopo compatível.
- Esperar que todo resultado seja simplificado algebricamente em uma única fração.
Quando usar transformadas de Laplace
Use transformadas de Laplace quando precisar:
- Converter funções comuns do domínio do tempo em expressões no domínio de \(s\).
- Resolver ou conferir cálculos de equações diferenciais.
- Analisar sistemas com entradas degrau, atrasos ou funções de forçamento definidas por partes.
- Trabalhar com sinais, circuitos, funções de transferência ou modelos de engenharia.
- Construir uma transformada a partir de entradas padronizadas da tabela usando a linearidade.
Para verificações educacionais rápidas, uma calculadora baseada em regras é útil. Para trabalhos simbólicos avançados, demonstrações, transformadas inversas, convolução, derivadas, produtos arbitrários ou análise completa da convergência, use um sistema completo de matemática simbólica ou consulte um livro-texto.
Limitações e pontos importantes
As transformadas de Laplace são poderosas, mas nem toda função possui uma transformada de Laplace. A integral definidora deve convergir para os valores de \(s\) considerados. Funções que crescem rápido demais podem não ter uma transformada no sentido usual.
Para funções definidas por partes, o valor exato em uma descontinuidade de salto geralmente não afeta a transformada de Laplace, porque um único ponto não altera o valor da integral. Os intervalos e as fórmulas nesses intervalos importam muito mais que o valor atribuído ao ponto de salto.
Para esta calculadora, tenha em mente estes limites práticos:
- Ela foi projetada para um conjunto fixo de formas comuns de transformada, não para expressões simbólicas arbitrárias.
- Ela aceita constantes numéricas exatas, potências inteiras não negativas de \(t\), exponenciais com parâmetros numéricos, seno e cosseno com parâmetros numéricos, termos de degrau unitário, somas e diferenças, além de uma exponencial multiplicada por um termo polinomial ou trigonométrico compatível.
- Potências negativas, potências fracionárias, parâmetros simbólicos, produtos gerais, quocientes, convoluções, derivadas e expressões aninhadas não são tratadas como transformações simbólicas gerais.
- O suporte a funções por partes limita-se a corpos de intervalo iguais a \(0\), \(1\) ou \(t\).
- Os intervalos por partes devem estar ordenados e não se sobrepor. Lacunas são interpretadas como zero, e um ponto extremo infinito só pode ocorrer no último intervalo.
- A saída pode não ser simplificada em uma única expressão racional.
- Coeficientes numéricos decimais, em notação científica e fracionários são mantidos exatamente no resultado simbólico.
- O resultado exibe uma região de convergência suficiente no semiplano direito para as entradas compatíveis; isso não é uma prova geral de convergência.
- As entradas são limitadas a 500 caracteres, 300 nós analisados, 40 termos expandidos, 50 intervalos por partes, expoentes inteiros de no máximo 10.000, coeficientes numéricos exatos com no máximo 20.000 dígitos decimais e strings de resultado exatas com no máximo 50.000 caracteres.
- A calculadora não calcula transformadas inversas de Laplace.
Quando uma transformada de Laplace fizer parte de uma tarefa avaliada, análise de engenharia, cálculo relacionado à segurança ou modelo profissional, confira o resultado e as hipóteses de convergência.
Como usar esta calculadora
- Insira uma expressão compatível do domínio do tempo usando \(t\) como variável.
-
Use
*para multiplicação e^para potências, como3*t^2 + 4*t + 7. -
Use formas compatíveis, como constantes,
t^n,exp(a*t),sin(a*t),cos(a*t)eu(t-a), com valores numéricos paraa. -
Para funções definidas por partes, insira um intervalo por linha, como
0 to 2: tou2 to inf: 1. - Use o campo de expressão padrão ou o campo por partes. Se ambos contiverem uma entrada, a calculadora pedirá que você limpe um deles.
- Revise a função original, o resultado \(\mathcal{L}\{f(t)\}\), o resultado \(F(s)\), a ROC suficiente e as regras ou etapas listadas.
- Use a ação de limpar para redefinir as entradas se quiser começar de novo.
Perguntas frequentes
O que significa \(F(s)\)?
A transformada \(F(s)\) é a transformada de Laplace de \(f(t)\). Ela representa as mesmas informações da função no domínio de \(s\), e não no domínio do tempo.
Por que a transformada de Laplace começa em \(0\)?
A transformada de Laplace unilateral comum integra de \(0\) ao infinito, o que se ajusta a muitos problemas de valor inicial e aplicações baseadas no tempo. Ela se concentra no comportamento de um sistema a partir do instante inicial.
A transformada de Laplace é igual à transformada de Fourier?
Não. As duas transformadas estão relacionadas, mas não são a mesma ferramenta. A transformada de Laplace usa o fator \(e^{-st}\) e é especialmente útil para problemas de valor inicial, equações diferenciais e sistemas com condições de crescimento ou decaimento.
Por que as transformadas de degrau unitário contêm \(e^{-as}\)?
O fator \(e^{-as}\) está associado a um atraso ou deslocamento que começa em \(t=a\). Em um termo de degrau unitário, ele indica que a função é ativada mais tarde, e não em \(t=0\).
Por que a calculadora rejeita algumas expressões matematicamente válidas?
A calculadora usa um conjunto limitado de regras de transformação compatíveis. Uma função pode ter matematicamente uma transformada de Laplace válida, mas ainda assim estar fora das formas de entrada aceitas.
O resultado inclui a região de convergência?
Sim, ela informa uma condição suficiente no semiplano direito para expressões compatíveis, como \(\operatorname{Re}(s)>a\). Para trabalhos rigorosos ou fora do suporte, determine a região completa de convergência de forma independente.
Esta calculadora encontra transformadas inversas de Laplace?
Não. Ela calcula transformadas diretas de Laplace para formas de entrada compatíveis. Use um recurso sobre transformadas inversas de Laplace ou uma ferramenta de matemática simbólica quando precisar voltar de \(F(s)\) para \(f(t)\).
Fontes e referências
Livros
- Jiří Lebl. Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers. Versão web educacional aberta. Seções 6.1, 6.2 e Apêndice B. Acessado em 29 de junho de 2026. https://www.jirka.org/diffyqs/
- William F. Trench. Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems. Edição da Trinity University / LibreTexts. Capítulo 8, especialmente as seções 8.1, 8.4 e 8.8. Acessado em 29 de junho de 2026. https://math.libretexts.org/Bookshelves/DifferentialEquations/ElementaryDifferentialEquationswithBoundaryValueProblems(Trench))
- Russell Herman. A First Course in Differential Equations for Scientists and Engineers. Edição LibreTexts. Capítulo 5, especialmente as seções 5.1 e 5.4. Acessado em 29 de junho de 2026. https://math.libretexts.org/Bookshelves/DifferentialEquations/AFirstCourseinDifferentialEquationsforScientistsandEngineers_(Herman))
Fontes on-line e oficiais
- MIT OpenCourseWare. “Laplace Transform: Basics.” 18.03SC Differential Equations, outono de 2011. Acessado em 29 de junho de 2026. https://ocw.mit.edu/courses/18-03sc-differential-equations-fall-2011/pages/unit-iii-fourier-series-and-laplace-transform/laplace-transform-basics/
- MIT OpenCourseWare. “Unit Step and Unit Impulse Response.” 18.03SC Differential Equations, outono de 2011. Acessado em 29 de junho de 2026. https://ocw.mit.edu/courses/18-03sc-differential-equations-fall-2011/pages/unit-iii-fourier-series-and-laplace-transform/unit-step-and-unit-impulse-response/