Calculadora de Transformada de Fourier

Explore pares comuns de transformadas contínuas de Fourier com opções de convenção, gráficos de magnitude e fase e prévias de sinais.

Os resultados são calculados automaticamente conforme você informa os dados.

Notas sobre o par de transformadas
Transformada direta Escolha um sinal.

Domínio do tempo

Magnitude da frequência

Fase da frequência

▼ Veja explicações e dicas abaixo ▼

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O que é uma transformada de Fourier contínua?

Uma transformada de Fourier contínua é uma forma de descrever um sinal ou função pelo seu conteúdo de frequência, em vez de pela sua forma no domínio do tempo. A função original, geralmente escrita como \(f(t)\) ou \(x(t)\), indica como o sinal varia ao longo do tempo. Sua transformada de Fourier, geralmente escrita como \(F(\omega)\) ou \(X(\omega)\), indica quanto de cada frequência angular \(\omega\) está presente.

A ideia principal é que muitos sinais podem ser entendidos como combinações de senóides complexas. Uma onda suave, um pulso curto, um sinal decrescente e uma forma constante por trechos podem ser estudados perguntando: quais frequências são necessárias para construir esse sinal e com que magnitude e fase?

Para a convenção de frequência angular usada aqui, a transformada direta é:

$$ F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,dt $$

A transformada inversa correspondente é:

$$ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega $$

Nessa convenção, \(\omega\) é a frequência angular em radianos por unidade de tempo. Se for usado um eixo de frequência no padrão hertz \(f\), a relação é:

$$ \omega=2\pi f $$

Na forma em hertz, o par correspondente é (F(f)=\int f(t)e^{-i2\pi ft}\,dt) e (f(t)=\int F(f)e^{i2\pi ft}\,df). Já a convenção angular unitária coloca (1/\sqrt{2\pi}) nas duas direções. A calculadora reescreve cada par analítico selecionado de acordo com a convenção.

O resultado geralmente é complexo, por isso costuma ser mais fácil interpretá-lo por meio da magnitude e da fase. Se

$$ F(\omega)=R(\omega)+iI(\omega) $$

então:

$$ \lvert F(\omega)\rvert=\sqrt{R(\omega)^2+I(\omega)^2} $$

e

$$ \phi(\omega)=\operatorname{atan2}\left(I(\omega),R(\omega)\right) $$

A magnitude responde “quanto dessa frequência está presente?”. A fase responde “como essa frequência está deslocada em relação à origem do tempo?”.

Por que as transformadas de Fourier são importantes

As transformadas de Fourier são úteis porque muitos problemas ficam mais simples no domínio da frequência. No processamento de sinais, um filtro pode ser entendido pela forma como altera diferentes frequências. Na engenharia e na física, equações diferenciais frequentemente se tornam relações algébricas após uma transformada de Fourier. Em comunicações, áudio, análise de vibrações, óptica e sistemas de controle, o espectro de frequência ajuda a explicar o que um gráfico no domínio do tempo pode ocultar.

O mesmo sinal no domínio do tempo pode ter várias características importantes no domínio da frequência:

  • Um pulso curto geralmente se espalha por muitas frequências.
  • Um sinal largo e suave geralmente se concentra mais perto das baixas frequências.
  • Um deslocamento no tempo altera a fase sem alterar o espectro de magnitude.
  • Um sinal causal, como uma exponencial unilateral, geralmente tem fase diferente de zero.
  • Uma senoide ou cossenoide pura corresponde a impulsos de frequência ideais, e não a picos comuns de largura finita.

É por isso que uma transformada de Fourier não é apenas uma fórmula. Ela é uma forma diferente de observar o mesmo sinal.

Termos importantes

  • Domínio do tempo: A visão original do sinal como uma função de \(t\).
  • Domínio da frequência: A visão do sinal como uma função da frequência, geralmente \(\omega\).
  • Frequência angular: Frequência medida em radianos por unidade de tempo. Ela é escrita como \(\omega\).
  • Frequência no padrão hertz: Frequência medida em ciclos por unidade de tempo. Ela costuma ser escrita como \(f\) e se relaciona à frequência angular por \(\omega=2\pi f\).
  • Par de transformadas: Um sinal no domínio do tempo e sua transformada correspondente no domínio da frequência.
  • Espectro de magnitude: O valor absoluto \(\lvert F(\omega)\rvert\) da transformada complexa.
  • Espectro de fase: O ângulo da transformada complexa, geralmente medido em radianos.
  • Função sinc: Nesta calculadora, \(\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}\) com \(\operatorname{sinc}(0)=1\).
  • Delta de Dirac: Um impulso ideal usado para representar energia concentrada em uma frequência ou posição temporal exata.
  • Degrau unitário: Um sinal frequentemente escrito como \(u(t)\) que é zero antes de \(t=0\) e ativo depois de \(t=0\).
  • Convenção unitária: Uma convenção de Fourier simétrica que aplica \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\) tanto na transformada direta quanto na inversa de frequência angular.
  • Sinal constante por trechos: Um sinal formado por valores constantes em intervalos especificados.

Como funcionam as transformadas de Fourier contínuas

A transformada de Fourier mede o quanto \(f(t)\) corresponde a cada senóide complexa \(e^{i\omega t}\). A integral multiplica o sinal por \(e^{-i\omega t}\) e acumula o resultado ao longo do tempo. Quando o sinal contém um componente forte nessa frequência, a acumulação é grande. Quando as oscilações positivas e negativas se cancelam, a magnitude é pequena.

Diferentes famílias de sinais produzem padrões reconhecíveis de transformada.

Pulso retangular

Um pulso retangular centrado, com amplitude \(A\) e largura \(W\), é:

$$ f(t)= \begin{cases} A, & \lvert t\rvert\le \frac{W}{2}\\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} $$

Sua transformada é:

$$ F(\omega)=AW\operatorname{sinc}\left(\frac{\omega W}{2}\right) $$

em que:

$$ \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x},\qquad \operatorname{sinc}(0)=1 $$

O valor em \(\omega=0\) é a área do pulso, \(AW\). Um pulso mais largo tem um lóbulo principal mais estreito na frequência; um pulso mais estreito se espalha por mais frequências.

Sinal gaussiano

Um sinal gaussiano com amplitude \(A\) e parâmetro de largura \(\sigma\) é:

$$ f(t)=Ae^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}} $$

Sua transformada também é gaussiana:

$$ F(\omega)=A\sigma\sqrt{2\pi}\,e^{-\frac{\sigma^2\omega^2}{2}} $$

Este é um dos pares de transformadas de Fourier mais importantes. Um sinal gaussiano continua gaussiano sob a transformada, mas a relação entre as larguras se inverte: um gaussiano mais largo no tempo produz um gaussiano mais estreito na frequência.

Exponencial unilateral

Uma exponencial causal e unilateral, com amplitude \(A\) e taxa de decaimento \(\alpha\), é:

$$ f(t)=Ae^{-\alpha t}u(t),\qquad \alpha>0 $$

Sua transformada é:

$$ F(\omega)=\frac{A}{\alpha+i\omega} $$

De forma equivalente, suas partes real e imaginária são:

$$ R(\omega)=\frac{A\alpha}{\alpha^2+\omega^2} $$
$$ I(\omega)=-\frac{A\omega}{\alpha^2+\omega^2} $$

Como o sinal começa em \(t=0\) em vez de ser par em torno da origem, sua transformada geralmente apresenta uma variação de fase significativa.

Seno e cosseno

Senóides puras são componentes ideais de frequência. Com taxa angular \(\Omega\), o par de transformadas do cosseno é:

$$ A\cos(\Omega t)\quad\longleftrightarrow\quad \pi A\left[\delta(\omega-\Omega)+\delta(\omega+\Omega)\right] $$

O par de transformadas do seno é:

$$ A\sin(\Omega t)\quad\longleftrightarrow\quad -i\pi A\left[\delta(\omega-\Omega)-\delta(\omega+\Omega)\right] $$

O ponto importante é que uma senóide ideal não ocupa uma faixa suave de frequências. Ela se concentra em frequências angulares positivas e negativas exatas.

Sinal constante por trechos

Para um sinal constante por trechos, com valor \(c_k\) em cada intervalo \([a_k,b_k]\), a transformada pode ser construída somando a contribuição de cada intervalo:

$$ F(\omega)=\sum_k c_k\frac{e^{-i\omega a_k}-e^{-i\omega b_k}}{i\omega} $$

Em \(\omega=0\), a expressão é calculada pela área, em vez de dividir por zero:

$$ F(0)=\sum_k c_k(b_k-a_k) $$

Essa regra da área é uma forma útil de entender o valor na frequência zero. Ele representa a área total com sinal sob o sinal no domínio do tempo.

Exemplos práticos de transformadas de Fourier

Exemplo 1: pulso retangular e espectro sinc

Suponha que um pulso retangular centrado tenha amplitude \(A=2\) e largura \(W=3\):

$$ f(t)=2 \quad \text{for} \quad \lvert t\rvert\le \frac{3}{2} $$

A transformada é:

$$ F(\omega)=AW\operatorname{sinc}\left(\frac{\omega W}{2}\right) $$

Substituindo \(A=2\) e \(W=3\):

$$ F(\omega)=6\operatorname{sinc}\left(\frac{3\omega}{2}\right) $$

Na frequência zero:

$$ F(0)=6 $$

Esse valor é a área do pulso:

$$ \text{area}=2\times 3=6 $$

Os primeiros zeros ocorrem quando:

$$ \frac{3\omega}{2}=\pm \pi $$

portanto:

$$ \omega=\pm \frac{2\pi}{3} $$

A forma sinc mostra um lóbulo forte de baixa frequência, com lóbulos laterais oscilantes.

Exemplo 2: exponencial unilateral e fase

Suponha que uma exponencial causal tenha amplitude \(A=4\) e taxa de decaimento \(\alpha=2\):

$$ f(t)=4e^{-2t}u(t) $$

A transformada é:

$$ F(\omega)=\frac{4}{2+i\omega} $$

Usando as partes real e imaginária:

$$ R(\omega)=\frac{8}{4+\omega^2} $$
$$ I(\omega)=-\frac{4\omega}{4+\omega^2} $$

Em \(\omega=0\):

$$ F(0)=\frac{4}{2}=2 $$

Em \(\omega=2\):

$$ R(2)=1, \qquad I(2)=-1 $$

A magnitude é:

$$ \lvert F(2)\rvert=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\approx 1.4142 $$

A fase é:

$$ \phi(2)=\operatorname{atan2}(-1,1)=-\frac{\pi}{4} $$

Este exemplo mostra por que a fase é importante. A magnitude indica a intensidade do componente em \(\omega=2\), enquanto a fase indica a orientação do valor complexo.

Exemplo 3: intervalo por trechos e o caso-limite da frequência zero

Suponha que um sinal seja igual a \(3\) de \(t=0\) a \(t=2\) e seja zero em outros pontos. Esse é um único intervalo constante por trechos com \(a=0\), \(b=2\) e \(c=3\).

Para \(\omega\ne 0\):

$$ F(\omega)=3\frac{e^{-i\omega\cdot 0}-e^{-i\omega\cdot 2}}{i\omega} $$

Como \(e^0=1\):

$$ F(\omega)=3\frac{1-e^{-i2\omega}}{i\omega} $$

Em \(\omega=0\), use a área do intervalo:

$$ F(0)=3(2-0)=6 $$

Isso evita um falso problema de divisão por zero. A transformada é contínua no sentido do limite, e o valor na frequência zero é a área com sinal do intervalo.

Como interpretar o resultado

A fórmula da transformada descreve o par de transformadas analítico ideal para o modelo de sinal selecionado. Ela é o principal resultado matemático, mas deve ser lida em conjunto com o espectro de magnitude, o espectro de fase, o intervalo do gráfico e a convenção de frequência.

A variável de frequência é \(\omega\), a menos que a convenção hertz seja selecionada. No modo hertz, a calculadora reescreve o resultado analítico usando o núcleo \(e^{-i2\pi ft}\), substitui \(\omega=2\pi f\) e identifica os valores em ciclos por unidade de tempo. No modo unitário, tanto a fórmula exibida quanto os valores numéricos incluem a normalização simétrica.

A curva ou coluna de magnitude é \(\lvert F(\omega)\rvert\). Uma magnitude maior significa uma contribuição mais forte nessa frequência. Para um pulso retangular, a magnitude segue um envelope em forma de sinc. Para um sinal gaussiano, a magnitude é gaussiana. Para uma exponencial unilateral, a magnitude diminui à medida que \(\lvert\omega\rvert\) cresce. Para sinais de seno e cosseno puros, o conteúdo de frequência ideal aparece como impulsos.

A curva ou coluna de fase é medida em radianos. A fase é próxima de zero para muitos sinais reais e pares, como um pulso retangular centrado ou um sinal gaussiano centrado. A fase se torna mais importante quando o sinal é ímpar, deslocado, causal ou complexo. Uma exponencial unilateral é causal, portanto sua transformada tem uma parte real e uma parte imaginária, o que produz variação de fase.

Para entradas constantes por trechos, o resultado é a soma das contribuições dos intervalos. Se os intervalos se sobrepõem, seus valores são somados no modelo do domínio do tempo. Se o valor de um intervalo for negativo, ele contribui com uma área negativa e pode alterar tanto a magnitude quanto a fase.

Para entradas de seno e cosseno, os gráficos de frequência usam hastes verticais de impulso nas frequências positivas e negativas exatas. A tabela informa os pesos da distribuição complexa; as hastes não representam uma largura de banda finita comum.

Erros e equívocos comuns

Confundir frequência angular com hertz. A frequência angular \(\omega\) é medida em radianos por unidade de tempo, enquanto a frequência no padrão hertz \(f\) é medida em ciclos por unidade de tempo. A conversão é \(\omega=2\pi f\).

Esperar que toda transformada seja uma curva regular. Sinais puros de seno e cosseno se transformam em impulsos ideais. Por isso, a calculadora usa hastes de impulso exatas e pesos de distribuição, em vez de desenhar picos artificiais de largura finita.

Esquecer que a largura deve ser positiva. Os parâmetros de largura retangular e gaussiana devem ser maiores que zero. Uma largura zero ou negativa não define o modelo de sinal pretendido.

Esquecer que a taxa deve ser positiva. A exponencial unilateral usa uma taxa de decaimento positiva. Um seno ou cosseno usa frequência angular positiva nos modos angulares e frequência positiva em ciclos por unidade de tempo no modo hertz. A troca de convenção converte a frequência exibida da senóide para preservar o sinal físico.

Usar o significado errado para a largura gaussiana. O modelo gaussiano aqui usa um parâmetro de largura semelhante a sigma em \(e^{-t^2/(2\sigma^2)}\). Ele não é igual à largura total na metade do máximo, a menos que você converta entre as definições.

Interpretar a fase sem considerar o sinal. Uma amplitude negativa pode deslocar a fase em \(\pi\) em comparação com uma versão de amplitude positiva. A fase também pode sofrer saltos onde a magnitude está próxima de zero.

Supor que a direção inversa aceite um espectro arbitrário. O controle de direção inverte o par analítico selecionado e transforma seu membro no domínio do tempo no resultado. Ele não é uma entrada numérica personalizada para a transformada inversa.

Supor que os intervalos dos gráficos sejam configuráveis manualmente. Os intervalos dos gráficos se adaptam automaticamente à família selecionada e aos seus parâmetros ou suporte de intervalo. Não há controles manuais de intervalo; portanto, leia os rótulos dos eixos antes de comparar dois modelos.

Inserir intervalos constantes por trechos inválidos. Em um intervalo por trechos, o fim deve ser maior que o início. O texto de intervalo importado deve seguir o padrão esperado de intervalo e valor, como \(a..b:\text{ value}\), ou conter exatamente três números finitos por linha: início, fim e valor.

Quando usar transformadas de Fourier contínuas

Use uma transformada de Fourier contínua quando quiser entender um sinal idealizado no domínio contínuo do tempo em termos do seu conteúdo de frequência.

Os usos comuns incluem:

  • comparar como diferentes larguras de pulso afetam a largura de banda;
  • estudar por que um sinal gaussiano permanece gaussiano no domínio da frequência;
  • analisar a magnitude e a fase da resposta de uma exponencial causal;
  • entender por que senóides ideais correspondem a impulsos de frequência;
  • construir uma transformada para um sinal constante por trechos somando as contribuições dos intervalos;
  • verificar como as convenções da transformada alteram a escala ou o eixo de frequência;
  • aprender a conexão entre uma forma de onda no domínio do tempo e seu espectro.

Para dados amostrados, registros finitos ou estimativa numérica de espectro, uma transformada discreta de Fourier ou uma transformada rápida de Fourier geralmente é a ferramenta mais apropriada. Uma transformada de Fourier contínua descreve um modelo contínuo ideal.

Limitações e pontos importantes

As transformadas de Fourier são exatas para o modelo matemático de sinal usado, mas o modelo pode ser uma idealização. Medições reais são amostradas, finitas, ruidosas e frequentemente submetidas a janelamento. Isso significa que um espectro do mundo real pode diferir de um par de transformadas contínuo ideal.

As fórmulas aqui usam uma transformada contínua no tempo com o núcleo \(e^{-i\omega t}\) antes da possível escala da convenção. Outros livros, pacotes de software e cursos podem posicionar os fatores \(2\pi\) de forma diferente ou usar \(j\) em vez de \(i\) para a unidade imaginária. Sempre verifique a convenção antes de comparar fórmulas.

A convenção angular unitária usa \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\) nas duas direções da transformada. A convenção hertz usa \(e^{-i2\pi ft}\) na direção direta e \(e^{i2\pi ft}\) na inversa. Fórmulas, tabelas, impulsos e eixos seguem a convenção selecionada.

As famílias de sinais compatíveis são modelos analíticos predefinidos e sinais constantes por trechos. Funções personalizadas arbitrárias não fazem parte do fluxo desta calculadora. Para funções fora dessas famílias, use uma transformada simbólica, um método de integração numérica ou um método de transformada discreta, conforme apropriado.

Os modelos retangular e gaussiano exigem largura positiva. Os modelos exponencial e senoidal exigem taxa ou frequência positiva. As entradas numéricas são limitadas a 15 algarismos significativos. Sinais constantes por trechos aceitam no máximo 200 intervalos finitos e ordenados, e a entrada colada é limitada a 50.000 caracteres.

Os espectros de seno e cosseno puros contêm impulsos ideais de delta de Dirac. As hastes exibidas mostram apenas as posições e os pesos dos impulsos; não devem ser interpretadas como largura de banda física, a menos que também tenha sido modelada uma janela, uma duração finita ou um processo de medição.

As tabelas podem encurtar valores para exibição, mas nunca substituem deliberadamente por zero um valor finito diferente de zero. Valores muito grandes ou pequenos usam notação científica. As tabelas de funções regulares amostram cinco pontos ao longo do intervalo adaptativo do gráfico e são instantâneos, não descrições completas.

Como usar esta calculadora

  1. Escolha a visualização ou operação da transformada.
  2. Selecione uma família de sinais: pulso retangular, gaussiano, exponencial unilateral, cosseno, seno ou constante por trechos.
  3. Escolha a convenção da transformada. Use a frequência angular \(\omega\), a escala angular unitária simétrica ou a frequência hertz \(f\). As entradas de frequência do seno e do cosseno são convertidas ao alternar entre as convenções angular e hertz, para que o mesmo sinal físico seja mantido.
  4. Informe a amplitude para sinais que não sejam constantes por trechos.
  5. Informe a largura para sinais retangulares ou gaussianos, ou informe a taxa para sinais exponenciais unilaterais, cossenos ou senos.
  6. Para um sinal constante por trechos, informe o início, o fim e o valor de cada intervalo. Adicione linhas ou importe o texto dos intervalos quando necessário.
  7. Confira a fórmula da transformada, as notas de resumo, o gráfico no domínio do tempo, o gráfico no domínio da frequência e a tabela de frequências.
  8. Use as explicações acima sobre magnitude e fase para interpretar o resultado, em vez de ler apenas a fórmula.

Perguntas frequentes

Uma transformada de Fourier é igual a uma FFT?

Não. Uma transformada de Fourier contínua é uma transformada analítica para uma função contínua no tempo. Uma FFT é um algoritmo eficiente para calcular uma transformada discreta de Fourier a partir de dados amostrados. São ideias relacionadas, mas se aplicam a tipos diferentes de entradas.

Por que existem frequências negativas?

Senóides complexas usam frequências angulares positivas e negativas. Para sinais de valor real, o lado das frequências negativas se relaciona ao lado das frequências positivas por simetria. Manter os dois lados torna consistente a matemática da magnitude, da fase, da modulação e das transformadas inversas.

Por que um pulso retangular se transforma em uma forma sinc?

Um pulso retangular é interrompido bruscamente no tempo. Bordas abruptas exigem muitos componentes senoidais para representá-las, o que cria lóbulos laterais oscilantes na frequência. A função sinc é o resultado analítico da integração de um pulso constante em um intervalo finito.

Por que um sinal gaussiano continua gaussiano após a transformada de Fourier?

O sinal gaussiano tem uma forma especial de exponencial quadrática que permanece na mesma família sob a transformada de Fourier. A largura varia inversamente entre os domínios do tempo e da frequência: um gaussiano mais largo no tempo se torna mais estreito na frequência.

Por que as transformadas de seno e cosseno mostram impulsos?

Um seno ou cosseno puro tem exatamente uma frequência positiva e uma negativa. Na transformada contínua ideal, esse conteúdo concentrado é representado por impulsos delta de Dirac. A calculadora os mostra como hastes exatas com pesos complexos, não como curvas comuns de largura finita.

O que significa o valor na frequência zero?

Para muitos sinais integráveis comuns, \(F(0)\) é igual à área total com sinal sob a função no domínio do tempo. Por exemplo, um pulso retangular tem \(F(0)=AW\) e um sinal constante por trechos tem \(F(0)=\sum_k c_k(b_k-a_k)\). Áreas positivas e negativas podem se cancelar.

O que a fase me diz?

A fase informa o ângulo do valor complexo da transformada em cada frequência. Ela é especialmente importante para sinais deslocados, causais ou ímpares. Dois sinais podem ter espectros de magnitude semelhantes, mas espectros de fase diferentes, o que significa que podem ser reconstruídos como formas diferentes no domínio do tempo.

Fontes e referências

Livros

  1. Ronald N. Bracewell. The Fourier Transform and Its Applications. 3ª ed., McGraw Hill, 2000. Tópicos relevantes: definição da transformada de Fourier, pares de transformadas, comportamento da sinc, interpretação de impulsos e aplicações. ISBN 9780073039381. Registro no Google Books.
  2. Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky e S. Hamid Nawab. Signals & Systems. 2ª ed., Prentice Hall, 1997. Tópicos relevantes: transformada de Fourier contínua no tempo, propriedades da transformada de Fourier, magnitude e fase e pares de sinais e transformadas. ISBN 9780138147570. Registro no Google Books.

Fontes on-line e oficiais

  1. MIT OpenCourseWare. “Lecture 8: Continuous-Time Fourier Transform.” Signals and Systems, RES.6-007, primavera de 2011. Professor: Alan V. Oppenheim. Acessado em 28 de junho de 2026. MIT OpenCourseWare.
  2. Richard Baraniuk et al. “8: Continuous Time Fourier Transform (CTFT),” incluindo “8.2: Continuous Time Fourier Transform”, “8.3: Common Fourier Transforms” e “8.4: Properties of the CTFT”. Signals and Systems, Engineering LibreTexts. Acessado em 28 de junho de 2026. Engineering LibreTexts.
  3. NIST Digital Library of Mathematical Functions. “§1.14 Integral Transforms.” Acessado em 28 de junho de 2026. NIST DLMF.