Calcule produtos escalares, ângulos, projeções e o alinhamento entre vetores.
Os resultados são calculados automaticamente à medida que você informa os dados.
Componentes finitos são avaliados com aritmética escalonada para combinar valores muito grandes e muito pequenos. Os resultados são arredondados apenas para exibição; um valor não nulo que fique abaixo do intervalo do navegador após o arredondamento é rejeitado, em vez de ser tratado como zero. Os vetores são considerados ortogonais somente quando o produto escalar calculado é exatamente zero para os valores informados.
▼ Veja explicações e dicas abaixo ▼
O produto escalar é uma forma de multiplicar dois vetores de mesma dimensão e obter um número como resultado. Esse número é um escalar, não outro vetor.
Para dois vetores
and
the dot product is
Em termos simples, multiplique cada componente do vetor A pela componente correspondente do vetor B e, em seguida, some os produtos.
O produto escalar também tem um significado geométrico. Para dois vetores não nulos, ele mede o quanto os vetores apontam na mesma direção. Essa relação vem da fórmula
em que \(\theta\) é o ângulo entre os vetores. Um produto escalar positivo significa que os vetores apontam, em linhas gerais, para direções semelhantes. Um produto escalar negativo significa que eles apontam mais em sentidos opostos. Um produto escalar igual a zero significa que os vetores são perpendiculares quando ambos são não nulos.
O produto escalar é útil porque conecta a aritmética à geometria. A fórmula por componentes é fácil de calcular, enquanto a fórmula do ângulo explica o significado do resultado.
Os estudantes usam o produto escalar em álgebra, geometria, cálculo, álgebra linear e física. Ele ajuda a responder a perguntas como:
A mesma ideia aparece em muitos contextos. Na geometria, ela descreve o alinhamento. Na física, ajuda a calcular o trabalho a partir da força e do deslocamento. Na análise de dados, um produto escalar normalizado se torna a similaridade do cosseno, que compara a direção reduzindo o efeito do comprimento dos vetores.
O produto escalar começa com dois vetores que têm o mesmo número de componentes. Por exemplo, se
and
então o produto escalar é
A magnitude de um vetor é o seu comprimento euclidiano. Para um vetor \(A = (a_1, a_2, \ldots, a_n)\), a magnitude é
Para dois vetores não nulos, o ângulo entre eles pode ser encontrado reorganizando a fórmula geométrica do produto escalar:
Then
Esta calculadora informa o ângulo em graus. O ângulo só é definido quando ambos os vetores têm magnitude diferente de zero, porque um vetor nulo não tem direção.
A projeção vetorial de \(A\) sobre \(B\) é a parte de \(A\) que aponta na direção de \(B\):
Esta projeção exige que \(B\) seja não nulo. Projetar \(A\) sobre \(B\) não é o mesmo que projetar \(B\) sobre \(A\), porque o vetor de direção é diferente.
Let
and
Multiplique as componentes correspondentes e some:
Agora calcule as magnitudes:
O ângulo é obtido a partir de
So
A projeção de \(A\) sobre \(B\) is
So
O produto escalar positivo e o ângulo agudo indicam que os vetores apontam parcialmente na mesma direção.
O produto escalar pode combinar quantidades correspondentes e pesos. Suponha que a nota de uma disciplina use três categorias e que um estudante tenha o vetor de pontuações
O vetor de pesos é
A pontuação ponderada é o produto escalar:
Aqui, o produto escalar funciona porque cada pontuação é associada ao peso correspondente da categoria. Se as componentes fossem colocadas na ordem errada, o resultado descreveria uma ponderação diferente.
Let
and
O produto escalar é
Ambos os vetores são não nulos, então o produto escalar igual a zero significa que os vetores são ortogonais. O ângulo entre eles é \(90^\circ\).
Agora compare isso com
and
O produto escalar deles também é
Mas isso não prova que haja um ângulo reto, porque \(C\) é o vetor nulo. Um vetor nulo não tem direção, então o ângulo é indefinido. Por isso, um produto escalar igual a zero significa perpendicularidade somente quando ambos os vetores são não nulos.
O produto escalar é melhor interpretado em conjunto com as magnitudes dos vetores e o ângulo entre eles.
| Resultado | O que geralmente significa |
|---|---|
| Produto escalar positivo | Os vetores apontam, em linhas gerais, para direções semelhantes. |
| Produto escalar negativo | Os vetores apontam em direções opostas ou obtusas. |
| Produto escalar de \(0\) com dois vetores não nulos | Os vetores são ortogonais, o que significa que o ângulo é \(90^\circ\). |
| Produto escalar de \(0\) envolvendo um vetor nulo | O ângulo é indefinido, portanto isso não deve ser tratado como prova de direções perpendiculares. |
| Maior valor absoluto do produto escalar | Os vetores podem ser mais longos, mais alinhados ou ambos. |
| Ângulo próximo de \(0^\circ\) | Os vetores apontam quase na mesma direção. |
| Ângulo próximo de \(90^\circ\) | Os vetores são quase perpendiculares. |
| Ângulo próximo de \(180^\circ\) | Os vetores apontam em direções quase opostas. |
Um produto escalar alto nem sempre significa que as direções sejam muito semelhantes. Isso pode simplesmente significar que um ou ambos os vetores têm magnitudes grandes. Quando o objetivo é comparar apenas a direção, use o valor normalizado
que é o cosseno do ângulo para vetores não nulos.
O resultado da projeção deve ser lido como um vetor. Para \(\operatorname{proj}_B(A)\), the output é a parte de \(A\) que está na direção de \(B\). Se a projeção apontar no sentido oposto ao de \(B\), o fator de escala será negativo.
Para vetores com mais de duas componentes, um gráfico 2D ainda pode ajudar a visualizar as duas primeiras componentes, mas não consegue mostrar toda a relação de dimensão superior.
Um erro comum é usar vetores com dimensões diferentes. O produto escalar exige componentes correspondentes, portanto \((1, 2, 3)\) não pode ser combinado por produto escalar com \((4, 5)\) a menos que os vetores primeiro se tornem compatíveis de uma maneira matematicamente significativa.
Outro erro é deixar uma componente em branco quando o valor pretendido é \(0\) . Uma entrada em branco não é igual a zero. Digite \(0\) explicitamente quando não houver valor para a componente nessa posição.
Também é fácil confundir um produto escalar igual a zero com vetores perpendiculares em qualquer situação. A interpretação de perpendicularidade só se aplica quando ambos os vetores são não nulos. Se um dos vetores for o vetor nulo, o ângulo será indefinido.
A direção da projeção é outra fonte frequente de confusão. A projeção de \(A\) sobre \(B\) aponta na direção de \(B\) . A projeção de \(B\) sobre \(A\) aponta na direção de \(A\). Esses geralmente são vetores diferentes.
Às vezes, os usuários esperam que um gráfico 2D represente todas as componentes de um vetor 3D ou de dimensão superior. Um gráfico bidimensional só consegue mostrar as duas primeiras componentes, portanto deve ser tratado como um recurso visual, e não como uma representação completa de vetores de dimensão superior.
Por fim, tenha cuidado com unidades e escalas. Se uma componente representar metros e outra representar segundos, o produto escalar pode ser matematicamente válido como aritmética, mas talvez não tenha um significado físico útil, a menos que o modelo vetorial esteja bem definido.
Use o produto escalar quando precisar de:
O produto escalar é especialmente útil quando um problema envolve tamanho e direção. Se o problema considerar apenas a direção, o valor do cosseno pode ser mais fácil de interpretar do que o produto escalar bruto.
Este cálculo pressupõe vetores euclidianos de valores reais. Ele não abrange vetores de valores complexos, vetores simbólicos, produtos internos ponderados nem produtos internos não euclidianos.
Os vetores devem ter o mesmo número de componentes. Esta calculadora aceita vetores de \(2\) até \(10\) componentes. Ela não aceita vetores unidimensionais nem vetores com mais de \(10\) componentes.
O cálculo do ângulo exige dois vetores não nulos. Se um dos vetores tiver magnitude \(0\), não haverá uma direção definida para esse vetor e o ângulo não poderá ser calculado.
A projeção de \(A\) sobre \(B\) exige que \(B\) seja não nulo. A fórmula divide por \(\lVert B \rVert^2\); portanto, a projeção é indefinida quando \(B\) é o vetor nulo.
Os resultados exibidos são arredondados apenas para facilitar a leitura. A calculadora mantém uma escala separada para componentes e produtos finitos, podendo combinar valores informados muito grandes e muito pequenos sem causar primeiro overflow ou underflow no produto escalar intermediário. Uma entrada não nula que se converta em zero no navegador é rejeitada por estar abaixo do intervalo numérico aceito, em vez de ser tratada como zero. A ortogonalidade só é informada quando o produto escalar calculado é exatamente \(0\) para os valores informados; não é usada nenhuma tolerância de proximidade a zero.
Para vetores com mais de duas componentes, o gráfico usa apenas as duas primeiras componentes. Use o produto escalar numérico, as magnitudes, o ângulo e a projeção para interpretar a relação vetorial completa.
Para trabalhos de física, engenharia, análise de dados ou relacionados à segurança, certifique-se de que o modelo vetorial e as unidades sejam apropriados antes de confiar no resultado. O cálculo pode estar correto mesmo quando a representação vetorial escolhida não corresponde à situação do mundo real.
Para \(A = (a_1, a_2, \ldots, a_n)\) e \(B = (b_1, b_2, \ldots, b_n)\), o produto escalar é \(A \cdot B = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i\). Multiplique cada par de componentes correspondentes e some os produtos.
Um produto escalar é negativo quando os vetores apontam mais em direções opostas do que na mesma direção. Geometricamente, isso acontece quando o ângulo entre dois vetores não nulos é obtuso, portanto \(\cos\theta\) é negativo.
Não. Um produto escalar igual a zero significa que dois vetores não nulos são perpendiculares. Se um ou ambos os vetores forem nulos, o produto escalar ainda será zero, mas o ângulo será indefinido porque um vetor nulo não tem direção.
A projeção de \(A\) sobre \(B\) é a parte vetorial de \(A\) que está na direção de \(B\). Ela é calculada como \(\operatorname{proj}_B(A) = \frac{A \cdot B}{\lVert B \rVert^2}B\) e exige que \(B\) seja não nulo.
O produto escalar associa cada componente do vetor A à componente correspondente do vetor B. Se os vetores tiverem dimensões diferentes, não haverá uma correspondência completa, componente a componente.
Livros e livros didáticos abertos
Fontes on-line e educacionais