Calculadora de Números de Stirling e Bell

Explore números de Stirling, números de Bell, tabelas de recorrência e o que cada família conta.

Os resultados são calculados automaticamente conforme você informa os dados.

Família de contagemnkLinhas do triângulo a exibir

Os valores são calculados exatamente para n e k de 0 a 35. A tabela de recorrência e a visualização mostram no máximo 12 linhas.

ValorEscolha n e k.

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Premissas e limitações

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O que são os números de Stirling e Bell?

Os números de Stirling e Bell são famílias de inteiros usadas para contar arranjos estruturados de conjuntos finitos. Eles são especialmente úteis quando as fórmulas comuns de permutação e combinação não bastam, porque o problema envolve grupos, blocos, ciclos ou todas as partições possíveis.

As três famílias principais são:

Números de Stirling de segunda espécie, indicados aqui como $S(n,k)$, contam as maneiras de dividir $n$ itens distintos e rotulados em $k$ blocos não vazios e não rotulados.
Números de Stirling de primeira espécie sem sinal, indicados aqui como $c(n,k)$, contam as permutações de $n$ itens distintos que têm exatamente $k$ ciclos disjuntos.
Números de Stirling de primeira espécie com sinal, indicados aqui como $s(n,k)$, são coeficientes algébricos relacionados às mesmas contagens de ciclos, mas com sinais que alternam de acordo com $n-k$.
Números de Bell, indicados aqui como $B(n)$, contam todas as partições de conjunto de $n$ itens rotulados, independentemente de quantos blocos são usados.

Esses números são contagens sem unidade. Um resultado como $S(6,3)=90$ significa que existem exatamente 90 arranjos válidos do tipo contado, não 90 por cento nem 90 unidades de medida.

Por que esses números são importantes

Muitos problemas de contagem perguntam mais do que “de quantas maneiras podemos escolher ou ordenar objetos?” Eles perguntam como os objetos podem ser agrupados, classificados, organizados em ciclos ou particionados. Os números de Stirling e Bell oferecem uma maneira sistemática de responder a essas perguntas.

Eles aparecem em temas como:

agrupar objetos distintos em equipes, caixas, categorias ou agrupamentos não rotulados;
contar permutações pela estrutura de seus ciclos;
construir tabelas de recorrência em combinatória;
fazer a conversão entre potências e fatoriais decrescentes em álgebra;
contar todas as partições possíveis de um conjunto finito.

Para os estudantes, esses números fazem a ponte entre as fórmulas básicas de contagem e a combinatória enumerativa mais avançada. Para os educadores, eles são úteis porque cada recorrência tem uma interpretação clara: “construir a próxima linha a partir da linha anterior”.

Termos importantes

Itens rotulados: Os itens são distintos. Por exemplo, as pessoas chamadas Ana, Ben e Cara são rotuladas, pois trocar Ana e Ben altera o arranjo.
Blocos não rotulados: Os próprios grupos não têm nomes. A partição $\{\{1,2\},\{3\}\}$ é igual a $\{\{3\},\{1,2\}\}$.
Partição de conjunto: Uma maneira de dividir um conjunto em blocos não vazios, de modo que cada item apareça exatamente em um bloco.
Ciclo de permutação: Uma descrição, em notação de ciclos, de como uma permutação move os elementos. Pontos fixos contam como ciclos de comprimento 1.
Relação de recorrência: Uma fórmula que calcula um valor a partir de valores anteriores.
Fatorial decrescente: O produto

$$ (x)_n = x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1) $$

com $(x)_0=1$.

Como funcionam os números de Stirling de segunda espécie

Um número de Stirling de segunda espécie, $S(n,k)$, conta o número de maneiras de particionar $n$ itens rotulados em $k$ blocos não vazios e não rotulados.

Por exemplo, $S(3,2)=3$, pois o conjunto $\{1,2,3\}$ pode ser dividido em dois blocos não vazios destas três maneiras:

$\{1,2\},\{3\}$
$\{1,3\},\{2\}$
$\{2,3\},\{1\}$

A recorrência é:

$$ S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k) $$

Esta fórmula tem uma explicação simples baseada em contagem. Ao adicionar o item $n$ a uma partição:

ele pode formar sozinho um novo bloco, gerando $S(n-1,k-1)$ possibilidades;
ou pode entrar em um dos $k$ blocos existentes, gerando $kS(n-1,k)$ possibilidades.

O valor de contorno usual é:

$$ S(0,0)=1 $$

Para entradas inteiras não negativas comuns, $S(n,k)=0$ quando $k>n$, pois $n$ itens não podem preencher mais de $n$ blocos não vazios.

Como funcionam os números de Stirling de primeira espécie

Os números de Stirling de primeira espécie tratam de ciclos de permutações, e não de partições de conjuntos.

O valor sem sinal $c(n,k)$ conta o número de permutações de $n$ itens rotulados com exatamente $k$ ciclos. Sua recorrência é:

$$ c(n,k)=c(n-1,k-1)+(n-1)c(n-1,k) $$

Os dois termos representam dois casos ao adicionar o novo item $n$:

$n$ pode se tornar seu próprio ciclo de um elemento, contribuindo com $c(n-1,k-1)$;
ou $n$ pode ser inserido em uma das posições de ciclo existentes de uma permutação de $n-1$ itens, contribuindo com $(n-1)c(n-1,k)$.

O valor com sinal de primeira espécie $s(n,k)$ usa a recorrência relacionada:

$$ s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)s(n-1,k) $$

As versões com e sem sinal estão relacionadas por:

$$ s(n,k)=(-1)^{n-k}c(n,k) $$

Assim, o valor absoluto $|s(n,k)|$ é a mesma contagem de ciclos que $c(n,k)$, enquanto o sinal faz parte do significado algébrico.

Os números com sinal também aparecem como coeficientes quando um fatorial decrescente é expandido em potências de $x$:

$$ (x)_n=\sum_{k=0}^{n}s(n,k)x^k $$

Por isso, os valores com sinal de primeira espécie não devem ser interpretados como contagens comuns quando a resposta é negativa. O sinal tem significado algébrico, mas um valor negativo não representa um número negativo de arranjos.

Como funcionam os números de Bell

Um número de Bell, $B(n)$, conta todas as maneiras de particionar $n$ itens rotulados em blocos não vazios e não rotulados. Ele não fixa o número de blocos.

Como $S(n,k)$ conta partições em exatamente $k$ blocos, o número de Bell é a soma da linha dos números de Stirling de segunda espécie:

$$ B(n)=\sum_{k=0}^{n}S(n,k) $$

Para $n=3$:

$$ B(3)=S(3,1)+S(3,2)+S(3,3) $$

$$ B(3)=1+3+1=5 $$

As cinco partições de $\{1,2,3\}$ são:

$\{1,2,3\}$
$\{1,2\},\{3\}$
$\{1,3\},\{2\}$
$\{2,3\},\{1\}$
$\{1\},\{2\},\{3\}$

Exemplos práticos dos números de Stirling e Bell

Exemplo 1: agrupando itens rotulados em blocos

Suponha que você tenha quatro estudantes distintos e queira dividi-los em dois grupos não vazios e não rotulados. Essa contagem é dada por $S(4,2)$.

Usando a recorrência:

$$ S(4,2)=S(3,1)+2S(3,2) $$

Como $S(3,1)=1$ e $S(3,2)=3$:

$$ S(4,2)=1+2\times3=7 $$

Há 7 maneiras de dividir quatro estudantes rotulados em dois grupos não vazios e não rotulados.

Exemplo 2: contando permutações por ciclos

Para $n=3$, o valor sem sinal de primeira espécie $c(3,2)$ conta permutações de três itens rotulados com exatamente dois ciclos.

As três possibilidades são representadas por:

$(1\ 2)(3)$
$(1\ 3)(2)$
$(2\ 3)(1)$

Assim:

$$ c(3,2)=3 $$

O valor com sinal é:

$$ s(3,2)=(-1)^{3-2}c(3,2)=-3 $$

O sinal negativo não é uma contagem de arranjos; ele faz parte da convenção dos coeficientes com sinal.

Exemplo 3: contando todas as partições

Se você quiser todas as maneiras de particionar quatro itens rotulados em qualquer quantidade de blocos não vazios, use $B(4)$.

A linha de segunda espécie é:

$$ S(4,1)=1,\quad S(4,2)=7,\quad S(4,3)=6,\quad S(4,4)=1 $$

Assim:

$$ B(4)=1+7+6+1=15 $$

Há 15 partições de conjunto ao todo para quatro itens rotulados.

Exemplo 4: o caso de contorno $k>n$

Uma solicitação como $S(3,5)$ não tem partições de conjunto válidas, pois três itens não podem preencher cinco blocos não vazios. Da mesma forma, uma permutação de três itens não pode ter cinco ciclos.

Para essas interpretações usuais dos números de Stirling:

$$ S(n,k)=0 \quad \text{when } k>n $$

e a contagem correspondente de primeira espécie também é zero quando $k>n$.

Como interpretar o resultado

O significado do resultado depende da família de números selecionada.

Família selecionada	O que o resultado significa
$S(n,k)$	O número de maneiras de particionar $n$ itens rotulados em $k$ blocos não vazios e não rotulados.
$c(n,k)$	O número de permutações de $n$ itens rotulados com exatamente $k$ ciclos.
$s(n,k)$	Um coeficiente com sinal cujo valor absoluto corresponde à contagem de ciclos sem sinal.
$B(n)$	O número total de partições de conjunto de $n$ itens rotulados considerando todas as quantidades possíveis de blocos.

Um resultado igual a 0 geralmente significa que a estrutura solicitada é impossível na interpretação padrão para inteiros não negativos. O caso mais comum é $k>n$.

Para os números de Bell, não existe um único valor de $k$, pois o número de Bell já soma todas as quantidades possíveis de blocos. Em outras palavras, $B(n)$ conta todos os valores possíveis de $k$ de uma só vez.

Erros comuns e conceitos equivocados

Confundindo os dois tipos de números de Stirling

A segunda espécie conta partições em blocos. A primeira espécie conta permutações por ciclos. Elas estão relacionadas, mas respondem a perguntas de contagem diferentes.

Tratando valores com sinal de primeira espécie como contagens comuns

O valor $s(n,k)$ pode ser negativo. Seu valor absoluto corresponde à contagem de ciclos sem sinal, mas o sinal pertence ao seu papel algébrico como coeficiente em expansões de fatoriais decrescentes.

Usando $k$ com números de Bell

Os números de Bell não usam um $k$ fixo. Eles somam todos os valores de segunda espécie de uma linha:

$$ B(n)=S(n,0)+S(n,1)+\cdots+S(n,n) $$

Para $n>0$, o termo $S(n,0)$ é 0, mas incluí-lo mantém consistente a notação da soma.

Esperando um resultado diferente de zero quando $k>n$

Não é possível dividir $n$ itens em mais de $n$ blocos não vazios, e uma permutação de $n$ itens não pode ter mais de $n$ ciclos. Para entradas inteiras não negativas padrão, isso faz com que o valor seja 0.

Arredondando ou inserindo índices decimais

Neste contexto, os números de Stirling e Bell são definidos para índices inteiros não negativos. Índices decimais, fracionários, simbólicos e negativos não fazem parte da interpretação aceita pela calculadora.

Confundindo a exibição da linha com o valor-alvo

O número de linhas exibidas em uma tabela ou visualizador é uma escolha de exibição. Ele não altera o valor matemático selecionado, mas a exibição precisa incluir linhas suficientes para mostrar a entrada escolhida.

Quando usar esses números

Use números de Stirling de segunda espécie quando precisar contar maneiras de dividir itens distintos em uma quantidade fixa de grupos não vazios e não rotulados.

Use números de Stirling de primeira espécie sem sinal quando precisar contar permutações de acordo com a quantidade de ciclos que elas têm.

Use números de Stirling de primeira espécie com sinal quando o sinal algébrico for importante, especialmente em fórmulas que envolvem fatoriais decrescentes.

Use números de Bell quando precisar do número total de partições de um conjunto rotulado e não quiser fixar antecipadamente a quantidade de blocos.

Limitações e pontos importantes

Os números de Stirling e Bell crescem rapidamente. Mesmo valores moderados de $n$ podem produzir inteiros grandes, portanto os resultados exatos podem ser muito maiores do que os pequenos exemplos usados para aprender.

Esta calculadora exige entradas de texto com números inteiros dentro dos intervalos aceitos. Ela rejeita entradas decimais, negativas, vazias ou acima do limite, em vez de truncá-las ou limitá-las. Para esta calculadora:

$n$ está limitado ao intervalo de 0 a 35.
$k$ está limitado ao intervalo de 0 a 35.
as linhas de recorrência exibidas estão limitadas ao intervalo de 0 a 12.
o modo de número de Bell não usa $k$.
os valores da tabela e o resultado principal são inteiros exatos.
os rótulos do gráfico visual podem abreviar valores grandes mesmo quando o resultado exato é mostrado em outro lugar.

A calculadora foi feita para a combinatória padrão de inteiros não negativos. Ela não aceita números de Stirling com índice negativo, parâmetros simbólicos, extensões com índices fracionários nem a enumeração completa de partições grandes de conjuntos.

Como usar esta calculadora

Escolha a família de números: $S(n,k)$, $c(n,k)$, $s(n,k)$ ou $B(n)$.
Insira $n$ como um inteiro não negativo dentro do intervalo aceito.
Insira $k$ ao usar uma família de números de Stirling. O modo de número de Bell não exige $k$.
Defina o número de linhas para controlar quanto da tabela de recorrência e do visualizador será exibido.
Confira o resultado exato, o resumo da família, a observação sobre a recorrência, a tabela e o visualizador.
Use o resultado exato completo ou a tabela de recorrência quando os rótulos dos nós do gráfico estiverem abreviados.
Se o visualizador permitir selecionar nós, clique em um nó para explorar outra entrada $n,k$.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre $S(n,k)$ e $c(n,k)$?

$S(n,k)$ conta partições de $n$ itens rotulados em $k$ blocos não vazios e não rotulados. $c(n,k)$ conta permutações de $n$ itens rotulados com exatamente $k$ ciclos. Os mesmos valores de entrada podem produzir respostas completamente diferentes porque as estruturas contadas são diferentes.

Por que $B(n)$ não usa $k$?

$B(n)$ conta todas as partições de conjunto de $n$ itens rotulados, independentemente da quantidade de blocos. Ele é a soma de $S(n,k)$ para todos os valores possíveis de $k$, de 0 a $n$.

Por que $S(0,0)=1$?

O valor $S(0,0)=1$ representa uma partição vazia do conjunto vazio. Essa convenção é útil porque faz as tabelas de recorrência começarem de forma organizada e mantém as fórmulas consistentes no contorno.

Por que o resultado é 0 quando $k>n$?

Na contagem padrão dos números de Stirling, $k$ representa a quantidade de blocos não vazios ou ciclos. Com apenas $n$ itens, não pode haver mais de $n$ blocos não vazios nem mais de $n$ ciclos de permutação.

Por que os números de Stirling com sinal podem ser negativos?

Os números de Stirling de primeira espécie com sinal são coeficientes de uma expansão polinomial. Seus sinais seguem $(-1)^{n-k}$, portanto eles não são simples contagens não negativas, embora seus valores absolutos correspondam às contagens de ciclos sem sinal.

Os resultados são exatos?

O resultado principal e a tabela de recorrência são valores inteiros exatos dentro do intervalo aceito pela calculadora. Um rótulo do gráfico visual pode ser abreviado para facilitar a leitura; use o resultado exato ou a tabela se precisar do inteiro completo.

Fontes e referências

Livros

Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, e Oren Patashnik. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science. 2ª ed., Addison-Wesley, 1994. Seção relevante: “Stirling Numbers,” §6.1, pp. 257–267. ISBN 9780134389981.
Richard Grassl e Oscar Levin. More Discrete Mathematics via Graph Theory. Open Math Books. Seções relevantes: Capítulo 3, “Counting Partitions,” “Stirling Numbers of the Second Kind,” e “Bell Numbers.” https://discrete.openmathbooks.org/more/mdm/ch_advanced.html

Fontes on-line e oficiais

National Institute of Standards and Technology. “DLMF §26.8 Set Partitions: Stirling Numbers.” NIST Digital Library of Mathematical Functions, acesso em 4 de julho de 2026. https://dlmf.nist.gov/26.8
National Institute of Standards and Technology. “DLMF §26.7 Set Partitions: Bell Numbers.” NIST Digital Library of Mathematical Functions, acesso em 4 de julho de 2026. https://dlmf.nist.gov/26.7
Eric W. Weisstein. “Stirling Number of the First Kind.” MathWorld—A Wolfram Resource, acesso em 4 de julho de 2026. https://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheFirstKind.html
Eric W. Weisstein. “Stirling Number of the Second Kind.” MathWorld—A Wolfram Resource, acesso em 4 de julho de 2026. https://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html

Família selecionada	O que o resultado significa
\(S(n,k)\)	O número de maneiras de particionar \(n\) itens rotulados em \(k\) blocos não vazios e não rotulados.
\(c(n,k)\)	O número de permutações de \(n\) itens rotulados com exatamente \(k\) ciclos.
\(s(n,k)\)	Um coeficiente com sinal cujo valor absoluto corresponde à contagem de ciclos sem sinal.
\(B(n)\)	O número total de partições de conjunto de \(n\) itens rotulados considerando todas as quantidades possíveis de blocos.