Mapeamento da permutação A
Permutação B opcional
Calculadora de Notação Cíclica de Permutações
Converta permutações, componha-as e calcule ciclos, ordem, paridade, potências e inversas.
Os resultados são calculados automaticamente enquanto você informa os dados.
Notação cíclica
▼ Veja explicações e dicas abaixo ▼
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O que é a notação cíclica de permutações?
Uma permutação é uma reorganização de um conjunto finito na qual cada elemento é usado exatamente uma vez. Neste contexto, o conjunto geralmente é escrito como \(\{1,2,\ldots,n\}\), e a permutação indica para onde cada número vai.
Por exemplo, a notação em uma linha
$$
[2,3,1,5,4]
$$
significa
$$
1\mapsto 2,\quad 2\mapsto 3,\quad 3\mapsto 1,\quad 4\mapsto 5,\quad 5\mapsto 4.
$$
A notação cíclica escreve a mesma informação acompanhando cada elemento até que ele retorne ao ponto de partida. No exemplo acima, \(1\) vai para \(2\), \(2\) vai para \(3\), e \(3\) volta para \(1\), então esses três elementos formam o ciclo \((1\,2\,3)\). Os elementos \(4\) e \(5\) trocam de lugar, formando o ciclo \((4\,5)\).
Portanto,
$$
[2,3,1,5,4]=(1\,2\,3)(4\,5).
$$
Isso é chamado de notação cíclica disjunta porque os ciclos não compartilham elementos. Os ciclos disjuntos são úteis porque revelam a estrutura de uma permutação de imediato: quais elementos se movem juntos, quais permanecem fixos, quanto dura o movimento repetido e como a permutação se comporta sob potências e inversas.
Por que a notação cíclica é importante
A notação em uma linha é compacta, mas pode ocultar padrões. A notação cíclica mostra esses padrões diretamente.
A notação cíclica é especialmente útil quando você precisa:
- entender como uma permutação move os elementos;
- encontrar a inversa de uma permutação;
- calcular potências como \(A^2\), \(A^5\) ou \(A^{-1}\);
- determinar a ordem de uma permutação;
- comparar permutações pares e ímpares;
- trabalhar com grupos simétricos em álgebra;
- modelar reorganizações, embaralhamentos, rotações, trocas e quebra-cabeças.
Em vez de aplicar repetidamente uma permutação, um valor por vez, a forma cíclica permite raciocinar a partir dos comprimentos e das direções dos ciclos.
Termos importantes
- Permutação: uma bijeção de um conjunto finito nele mesmo. Cada entrada tem exatamente uma saída, e cada saída é usada exatamente uma vez.
- Notação em uma linha: uma lista de imagens, como \([2,3,1,5,4]\), que significa \(\sigma(1)=2\), \(\sigma(2)=3\) e assim por diante.
- Notação em duas linhas: uma notação com o domínio na linha superior e as imagens na linha inferior.
- Ciclo: uma sequência como \((1\,2\,3)\), que significa \(1\mapsto2\), \(2\mapsto3\) e \(3\mapsto1\).
- Ciclos disjuntos: ciclos que não compartilham elementos, como \((1\,2\,3)\) e \((4\,5)\).
- Ponto fixo: um elemento que é mapeado para si mesmo, como \(4\) quando \(\sigma(4)=4\).
- Permutação identidade: a permutação que mantém todos os elementos fixos.
- Permutação inversa: a permutação que desfaz a permutação original.
- Composição: aplicar uma permutação e depois outra.
- Ordem: o menor número positivo de vezes que uma permutação deve ser aplicada para retornar à identidade.
- Paridade: indica se uma permutação é par ou ímpar, geralmente determinada pela paridade do número de inversões ou pela quantidade de transposições em uma decomposição.
- Inversão: um par de posições \(i<j\) cujas entradas estão fora de ordem, ou seja, \(\sigma(i)>\sigma(j)\).
Como funciona a notação cíclica de permutações
Uma permutação em \(\{1,2,\ldots,n\}\) pode ser escrita na notação em duas linhas como
$$
\sigma=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n\\
\sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n)
\end{pmatrix}.
$$
Para converter um mapeamento em ciclos disjuntos, comece pelo menor elemento não utilizado e aplique repetidamente a permutação até que o caminho retorne ao elemento inicial. Depois, recomece com o próximo elemento não utilizado.
Para o mapeamento
$$
\sigma=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
2 & 3 & 1 & 5 & 4
\end{pmatrix},
$$
comece com \(1\):
$$
1\mapsto2\mapsto3\mapsto1.
$$
Isso produz o ciclo \((1\,2\,3)\). O próximo elemento não utilizado é \(4\):
$$
4\mapsto5\mapsto4.
$$
Isso produz o ciclo \((4\,5)\). Portanto, a forma cíclica disjunta completa é
$$
\sigma=(1\,2\,3)(4\,5).
$$
Pontos fixos
Um ponto fixo é um elemento que não se move. Se \(\sigma(i)=i\), então \(i\) é fixo. Os pontos fixos geralmente são omitidos da notação cíclica principal porque não alteram a ação da permutação.
Por exemplo,
$$
[1,3,2,4]=(2\,3)
$$
quando os pontos fixos são omitidos. Se os pontos fixos forem incluídos, a mesma permutação pode ser escrita como
$$
(1)(2\,3)(4).
$$
A permutação identidade fixa todos os elementos. Quando os pontos fixos são omitidos, ela pode ser exibida como \(()\).
Inversas
A inversa de uma permutação inverte a direção de cada movimento. Se
$$
\sigma=(1\,2\,3)(4\,5),
$$
então
$$
\sigma^{-1}=(1\,3\,2)(4\,5).
$$
Um ciclo é invertido invertendo sua ordem:
$$
(a_1\,a_2\,\cdots\,a_k)^{-1}=(a_k\,\cdots\,a_2\,a_1).
$$
Para um ciclo de dois elementos, como \((4\,5)\), a inversa é o mesmo ciclo, pois trocar duas vezes desfaz a troca.
Potências
Uma potência significa aplicar a mesma permutação repetidamente. Por exemplo, \(\sigma^2\) significa aplicar \(\sigma\) duas vezes.
Se
$$
\sigma=(1\,2\,3)(4\,5),
$$
então
$$
\sigma^2=(1\,3\,2).
$$
O ciclo \((4\,5)\) desaparece da notação simplificada de \(\sigma^2\) porque aplicar uma troca duas vezes faz \(4\) e \(5\) retornarem a si mesmos.
O expoente \(0\) sempre produz a permutação identidade:
$$
\sigma^0=e.
$$
As potências negativas usam a inversa:
$$
\sigma^{-k}=(\sigma^{-1})^k.
$$
Ordem de uma permutação
A ordem de uma permutação é o menor inteiro positivo \(m\) tal que
$$
\sigma^m=e.
$$
Na notação cíclica disjunta, a ordem é o mínimo múltiplo comum dos comprimentos dos ciclos:
$$
\operatorname{ord}(\sigma)=\operatorname{lcm}(\ell_1,\ell_2,\ldots,\ell_r),
$$
onde \(\ell_1,\ell_2,\ldots,\ell_r\) são os comprimentos dos ciclos disjuntos.
Para
$$
\sigma=(1\,2\,3)(4\,5),
$$
os comprimentos dos ciclos são \(3\) e \(2\), portanto
$$
\operatorname{ord}(\sigma)=\operatorname{lcm}(3,2)=6.
$$
Isso significa que aplicar \(\sigma\) seis vezes faz todos os elementos retornarem às suas posições iniciais.
Ordem da composição
Composição significa aplicar primeiro uma permutação e depois a outra. A notação
$$
(A\circ B)(x)=A(B(x))
$$
significa aplicar \(B\) primeiro e depois aplicar \(A\).
Essa ordem importa. Por exemplo, sejam
$$
A=(1\,2),\qquad B=(2\,3).
$$
Então
$$
A\circ B=(1\,2\,3),
$$
mas
$$
B\circ A=(1\,3\,2).
$$
Portanto, “A depois de B” geralmente não é o mesmo que “B depois de A”.
Paridade e inversões
Para uma permutação em uma linha \(\sigma\), uma inversão é um par de posições \(i<j\) em que
$$
\sigma(i)>\sigma(j).
$$
O número de inversões é
$$
\operatorname{inv}(\sigma)=\left|\{(i,j):1\le i\sigma(j)\}\right|.
$$
Uma permutação é par quando seu número de inversões é par e ímpar quando seu número de inversões é ímpar. Equivalentemente,
$$
\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^{\operatorname{inv}(\sigma)}.
$$
Para
$$
[2,3,1,5,4],
$$
as inversões são causadas por \(2>1\), \(3>1\) e \(5>4\). Há \(3\) inversões, então a permutação é ímpar.
Exemplos práticos de permutações
Exemplo 1: converter um mapeamento em uma linha para a notação cíclica
Suponha
$$
A=[2,3,1,5,4].
$$
Escreva-o como um mapeamento:
$$
1\mapsto2,\quad 2\mapsto3,\quad 3\mapsto1,\quad 4\mapsto5,\quad 5\mapsto4.
$$
Acompanhe a partir de \(1\):
$$
1\mapsto2\mapsto3\mapsto1,
$$
portanto, o primeiro ciclo é \((1\,2\,3)\). Depois, acompanhe a partir de \(4\):
$$
4\mapsto5\mapsto4,
$$
portanto, o segundo ciclo é \((4\,5)\).
A notação cíclica disjunta é
$$
A=(1\,2\,3)(4\,5).
$$
A ordem é
$$
\operatorname{lcm}(3,2)=6,
$$
e a permutação é ímpar porque tem \(3\) inversões.
Exemplo 2: encontrar uma inversa
Seja
$$
A=(1\,2\,3)(4\,5).
$$
Inverta cada ciclo:
$$
A^{-1}=(1\,3\,2)(4\,5).
$$
Essa inversa envia \(2\) de volta para \(1\), \(3\) de volta para \(2\), \(1\) de volta para \(3\) e troca \(4\) e \(5\) novamente. Aplicar \(A\) e depois \(A^{-1}\) faz cada elemento retornar a si mesmo.
Exemplo 3: calcular uma potência
Usando a mesma permutação,
$$
A=(1\,2\,3)(4\,5),
$$
aplique \(A\) duas vezes. O ciclo \(3\) avança duas posições, enquanto o ciclo \(2\) avança duas posições e retorna à identidade:
$$
A^2=(1\,3\,2).
$$
Na notação em uma linha, isso é
$$
A^2=[3,1,2,4,5].
$$
Exemplo 4: entender um caso especial de ponto fixo
Considere
$$
\rho=[1,3,2,4].
$$
Aqui, \(1\mapsto1\) e \(4\mapsto4\), então \(1\) e \(4\) são pontos fixos. O movimento não trivial é apenas
$$
2\mapsto3\mapsto2.
$$
Com os pontos fixos omitidos,
$$
\rho=(2\,3).
$$
Com os pontos fixos incluídos,
$$
\rho=(1)(2\,3)(4).
$$
As duas formas descrevem a mesma permutação; a segunda apenas mostra os pontos fixos explicitamente.
Como interpretar o resultado
A notação cíclica disjunta principal descreve a permutação principal. Se o resultado for \(()\), não haverá ciclos não triviais na convenção padrão, o que significa que a permutação é a identidade quando os pontos fixos são omitidos.
A ordem indica quantas aplicações repetidas são necessárias para devolver cada elemento à sua posição inicial. Uma ordem pequena significa que a permutação se repete rapidamente. Uma ordem maior significa que os comprimentos combinados dos ciclos demoram mais para se alinhar novamente na identidade.
O resultado de paridade indica se a permutação é par ou ímpar. Quando o resultado diz “par”, o número de inversões é par. Quando diz “ímpar”, o número de inversões é ímpar.
Os pontos fixos são elementos que não se movem. Se nenhum ponto fixo for listado, todos os elementos se movem para outro lugar. Se pontos fixos forem listados, esses elementos permanecem no lugar mesmo que outros elementos se movam.
A inversa mostra a permutação que desfaz a permutação principal. Se aplicar \(A\) envia um elemento para a frente, aplicar \(A^{-1}\) o envia de volta.
A forma em duas linhas mostra o mapeamento completo de cada elemento do domínio para sua imagem. Ela costuma ser a maneira mais clara de verificar o valor exato de \(A(i)\) para um \(i\) específico.
O resultado da potência mostra \(A^k\), onde \(k\) é o expoente inteiro selecionado. Potências positivas repetem a permutação, \(0\) retorna à identidade e potências negativas repetem a inversa.
O resultado da composição aparece quando uma segunda permutação é informada. “A depois de B” significa \(A(B(x))\): aplique \(B\) primeiro e depois \(A\). “B depois de A” significa \(B(A(x))\): aplique \(A\) primeiro e depois \(B\).
O diagrama de mapeamento visualiza setas na forma \(i\mapsto A(i)\). Os laços representam pontos fixos.
Erros comuns e equívocos
Uma permutação válida em \(\{1,2,\ldots,n\}\) deve conter cada inteiro de \(1\) a \(n\) exatamente uma vez. Uma lista como \([2,2,1]\) não é uma permutação porque \(2\) se repete e \(3\) está faltando.
Outro erro comum é usar indexação começando em zero. Neste contexto, os elementos são \(1,2,\ldots,n\), não \(0,1,\ldots,n-1\). Um valor de \(0\) não é uma imagem válida.
A ordem da composição também é fácil de interpretar incorretamente. “A depois de B” significa aplicar \(B\) primeiro e depois \(A\). Isso não significa que \(A\) seja aplicado primeiro.
Os pontos fixos podem não aparecer na notação cíclica principal. Se um resultado mostrar \((2\,3)\), isso não significa necessariamente que o conjunto tenha apenas dois elementos. Pode significar que todos os outros elementos são fixos e foram omitidos.
Não presuma que a notação cíclica possa ser colada em qualquer campo de importação. Uma calculadora pode aceitar formatos de mapeamento em uma linha, em duas linhas ou em duas colunas sem aceitar a notação cíclica como formato de importação.
Por fim, as potências de permutações usam expoentes inteiros. Um expoente fracionário como \(A^{1/2}\) não faz parte da operação usual de potência de permutações finitas tratada aqui.
Quando usar a notação cíclica de permutações
Use a notação cíclica quando quiser entender a estrutura de uma permutação, não apenas listar suas saídas.
Ela é especialmente útil para:
- converter uma tabela de mapeamento em uma forma mais legível;
- encontrar comportamentos repetidos sob potências;
- verificar se uma permutação é a identidade;
- encontrar permutações inversas;
- comparar ordens de composição;
- estudar grupos simétricos e teoria elementar dos grupos;
- analisar quebra-cabeças ou processos de reorganização nos quais os elementos se movem em ciclos.
A notação em uma linha costuma ser melhor para inserir dados diretamente. A notação cíclica costuma ser melhor para compreender a estrutura.
Limitações e pontos importantes
A notação de permutações é exata, portanto não há arredondamento decimal. As entradas dos ciclos, os pontos fixos, os mapeamentos inversos, as potências, os resultados de composição, as contagens de inversões, a paridade e a ordem são todos resultados baseados em inteiros.
A configuração usual aqui pressupõe que a permutação atue em \(\{1,2,\ldots,n\}\). Símbolos personalizados, rótulos negativos, decimais, frações, valores ausentes, valores duplicados e valores fora do intervalo não são válidos neste contexto.
Uma segunda permutação só pode ser composta com a primeira quando ambas atuam em conjuntos de mesmo tamanho. Por exemplo, uma permutação de \(\{1,2,3,4\}\) não pode ser composta diretamente com uma permutação de \(\{1,2,3,4,5\}\) sem antes alterar o domínio.
Potências inteiras negativas fazem sentido porque toda permutação tem uma inversa. Em geral, potências fracionárias não são compatíveis com cálculos elementares de permutações finitas.
Permutações muito grandes podem ser matematicamente válidas, mas mais difíceis de ler. Uma notação cíclica longa pode ser extensa, e os diagramas de mapeamento podem ficar carregados.
Como usar esta calculadora
- Insira os valores de \(A(i)\) na tabela de mapeamento principal.
- Certifique-se de que os valores contenham cada inteiro de \(1\) a \(n\) exatamente uma vez.
- Se quiser um resultado de composição, informe opcionalmente uma segunda permutação \(B(i)\).
- Escolha a ordem da composição: A depois de B para \(A(B(x))\) ou B depois de A para \(B(A(x))\).
- Insira uma potência inteira \(k\) para \(A^k\) ou deixe a potência em branco para usar \(0\).
- Use a opção de importação quando quiser colar uma notação de mapeamento inteiro em uma linha, em duas linhas ou em duas colunas.
- Revise os resultados da notação cíclica, da ordem, da paridade, dos pontos fixos, da inversa, da potência, da composição e do diagrama.
Perguntas frequentes
O que \(()\) significa na notação cíclica?
A notação \(()\) representa a permutação identidade quando os pontos fixos são omitidos. Isso significa que cada elemento é mapeado para si mesmo, portanto não há ciclos não triviais para exibir.
Por que alguns números estão faltando no resultado da notação cíclica?
Os números ausentes geralmente são pontos fixos. Por exemplo, no conjunto \(\{1,2,3,4\}\), a notação \((2\,3)\) significa que \(2\) e \(3\) trocam de lugar, enquanto \(1\) e \(4\) permanecem fixos.
Como saber se meu mapeamento é uma permutação válida?
Para uma permutação de \(\{1,2,\ldots,n\}\), a lista de valores deve conter cada inteiro de \(1\) a \(n\) exatamente uma vez. Se um valor estiver repetido, ausente, for zero, negativo, fracionário ou estiver fora do intervalo, o mapeamento não será válido.
“A depois de B” é o mesmo que aplicar A primeiro?
Não. “A depois de B” significa aplicar \(B\) primeiro e depois \(A\), o que é escrito como \(A(B(x))\). Essa convenção segue a notação usual para composição de funções.
Por que a ordem é o mínimo múltiplo comum dos comprimentos dos ciclos?
Cada ciclo retorna à sua posição inicial após um número de aplicações igual ao seu comprimento. A permutação inteira retorna à identidade somente quando todos os ciclos retornam ao mesmo tempo, portanto a ordem é o mínimo múltiplo comum dos comprimentos dos ciclos.
Uma permutação pode ter uma potência negativa?
Sim, desde que o expoente seja um inteiro. Uma potência negativa usa a permutação inversa, então \(A^{-2}\) significa aplicar \(A^{-1}\) duas vezes.
Posso importar a notação cíclica diretamente?
O formato de importação desta calculadora é destinado a mapeamentos inteiros, como a notação em uma linha, em duas linhas ou em duas colunas. A importação de notação cíclica não é compatível.
Fontes e referências
Livros e livros didáticos
- Thomas W. Judson. Abstract Algebra: Theory and Applications. Livro didático de código aberto, Capítulo 5, “Grupos de permutações”, especialmente a Seção 5.1, “Definições e notação”. Disponível em Judson Books e Mathematics LibreTexts. Seção do LibreTexts e Judson Books.
- Al Doerr e Ken Levasseur. Applied Discrete Structures. Mathematics LibreTexts, Capítulo 15, “Teoria dos grupos e aplicações”, Seção 15.3, “Grupos de permutações”. Seção do LibreTexts.
Fontes on-line e educacionais
- Pamini Thangarajah. “3.1: Symmetric Groups.” Mathematics LibreTexts / Mount Royal University Abstract Algebra I, acessado em 4 de julho de 2026. Fonte.
- Eric W. Weisstein. “Permutation Inversion.” MathWorld—A Wolfram Resource, acessado em 4 de julho de 2026. Fonte.
- Eric W. Weisstein. “Inverse Permutation.” MathWorld—A Wolfram Resource, acessado em 4 de julho de 2026. Fonte.