Use esta Calculadora de Integral Tripla para informar valores, ajustar opções e consultar resultados em uma área de trabalho compacta e responsiva.
Os resultados são calculados automaticamente conforme você informa os dados.
Informe um integrando e os limites das coordenadas.
As coordenadas cartesianas usam limites x, y, z. As cilíndricas usam r, theta, z e aplicam o jacobiano r. As esféricas usam rho, phi, theta e aplicam o jacobiano rho^2 sin(phi).
▼ Veja explicações e dicas abaixo ▼
Uma integral tripla é uma forma de somar valores em toda uma região tridimensional. Em vez de somar valores ao longo de uma linha ou sobre uma área plana, ela acumula uma função em um volume.
A ideia básica é:
Aqui, \(E\) é a região sólida, \(f(x,y,z)\) é a grandeza medida em cada ponto e \(dV\) representa um pequeno elemento de volume. Se \(f(x,y,z)=1\), a integral tripla fornece o volume da região. Se \(f\) representa densidade, temperatura, densidade de carga ou outra grandeza que varia no espaço, a integral tripla fornece um acúmulo ponderado pelo volume dessa grandeza.
As integrais triplas são especialmente úteis porque muitos objetos reais e regiões matemáticas são tridimensionais. Elas permitem calcular volumes, massas, carga total, valores médios e outras grandezas que dependem da posição no espaço.
As integrais triplas conectam a geometria à acumulação. Elas são usadas quando uma grandeza está distribuída por uma região sólida, em vez de concentrada em um único ponto.
Por exemplo:
Mesmo quando é difícil ou impossível encontrar uma integral simbólica exata, um método numérico ainda pode estimar o valor com precisão suficiente para exploração, conferência de exercícios ou desenvolvimento da intuição.
Uma integral tripla começa dividindo uma região sólida em muitas caixas ou células pequenas. A função é amostrada dentro de cada célula, multiplicada pelo volume da célula e, em seguida, todas as contribuições são somadas. À medida que as células ficam menores, a soma se aproxima da integral exata quando a função e a região satisfazem as condições usuais de integração.
Para uma caixa retangular em coordenadas cartesianas, uma integral tripla pode ser escrita como:
A ordem exata de \(dx\), \(dy\) e \(dz\) pode mudar para caixas retangulares sem alterar o valor, desde que os limites correspondam à mesma região.
Esta calculadora usa cubatura adaptativa. Em cada célula de coordenadas, ela avalia regras de Gauss-Legendre de produto tensorial com 3 e 5 pontos incorporadas. A diferença entre elas estima o erro numérico local.
O indicador de erro local é \(|Q_5(C)-Q_3(C)|\). Primeiro, a calculadora divide a região inteira em oito células e, depois, divide repetidamente a célula com o maior erro estimado em oito células menores. O refinamento só para quando o erro estimado combinado atende à tolerância relativa solicitada ou quando um limite de segurança é atingido.
Em que:
O sistema de coordenadas determina como cada ponto de quadratura é convertido em \(x\), \(y\) e \(z\) cartesianos antes que o integrando seja avaliado.
| Modo de coordenadas | Variáveis de coordenadas | Conversão cartesiana | Fator jacobiano |
|---|---|---|---|
| Cartesiano | \((x,y,z)\) | \((x,y,z)=(x,y,z)\) | \(1\) |
| Cilíndrico | \((r,\theta,z)\) | \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=z\) | \(r\) |
| Esférico | \((\rho,\phi,\theta)\) | \(x=\rho\sin\phi\cos\theta,\ y=\rho\sin\phi\sin\theta,\ z=\rho\cos\phi\) | \(\rho^2\sin\phi\) |
O jacobiano é importante porque passos iguais nas coordenadas cilíndricas ou esféricas nem sempre representam volumes físicos iguais. Por exemplo, um pequeno passo angular mais distante da origem abrange mais espaço do que o mesmo passo angular próximo da origem.
Se o integrando é \(1\), a integral tripla fornece o volume. Para uma caixa com:
O volume é:
Portanto, a integral tripla é igual a \(6\) unidades cúbicas de coordenadas.
Um cilindro de raio \(2\) e altura \(3\) é naturalmente descrito com coordenadas cilíndricas:
Usando \(f(x,y,z)=1\), a integral de volume é:
O fator \(r\) é o jacobiano cilíndrico. Ao calcular a integral, obtemos:
Isso corresponde à conhecida fórmula do cilindro \(\pi r^2h\).
Uma esfera de raio \(2\) centrada na origem é naturalmente descrita com coordenadas esféricas:
Para obter o volume, use \(f(x,y,z)=1\):
O jacobiano esférico é \(\rho^2\sin\phi\). O volume exato é:
Este exemplo também mostra por que as unidades angulares são importantes: \(\pi\) e \(2\pi\) são medidas em radianos, não em graus.
O resultado principal é uma aproximação da integral tripla nos limites de coordenadas selecionados. Seu significado depende do integrando.
Se o integrando é \(1\), o resultado representa volume. Se o integrando é uma densidade, o resultado representa uma quantidade total, como massa. Se o integrando é temperatura ou outra grandeza de campo, o resultado é um total ponderado pelo volume, e o valor médio costuma ser mais fácil de interpretar.
O valor médio é:
Em que \(V(E)\) é o volume da região. O valor médio tem as mesmas unidades do integrando. Por exemplo, se \(f\) é medido em quilogramas por metro cúbico e as coordenadas são medidas em metros, a integral é expressa em quilogramas, enquanto o valor médio continua em quilogramas por metro cúbico.
O volume da região exibido é baseado nos mesmos pesos de coordenadas usados na integral. Em coordenadas cartesianas, o volume geralmente é o produto dos comprimentos dos lados de uma caixa retangular. Em coordenadas cilíndricas e esféricas, o jacobiano altera o volume, portanto ele geralmente não é apenas o produto das larguras das coordenadas.
O intervalo de valores da visualização mostra os menores e maiores valores do integrando encontrados em uma grade de visualização limitada e separada. Ele ajuda a identificar valores negativos, valores excepcionalmente grandes ou variações inesperadas, mas não há garantia de que corresponda ao mínimo ou máximo global verdadeiro da função, e ele não determina a estimativa de erro.
Use uma integral tripla quando precisar acumular uma grandeza em uma região tridimensional.
Os usos comuns incluem:
As coordenadas cartesianas geralmente são melhores para caixas e sólidos retangulares. As coordenadas cilíndricas geralmente são melhores para cilindros, tubos, cones e regiões com simetria circular em torno de um eixo. As coordenadas esféricas geralmente são melhores para esferas, bolas, cascas e regiões centradas na origem.
Uma integral tripla numérica é uma aproximação, não uma prova do valor exato. Uma tolerância relativa menor exige uma concordância mais estreita entre as regras de quadratura incorporadas e pode exigir muito mais avaliações da função. O erro estimado exibido é um indicador numérico, não uma prova rigorosa para toda função possível.
Esta calculadora usa caixas retangulares constantes nas variáveis de coordenadas selecionadas. Ela não lida com limites que dependem de variáveis nem com limites infinitos. Integrais impróprias, singulares, descontínuas ou altamente oscilatórias podem não convergir antes que o limite de profundidade ou de avaliações seja atingido; nesse caso, o resultado é claramente marcado como uma estimativa não confirmada.
Os domínios de coordenadas padrão são aplicados: \(r\) e \(\rho\) devem ser não negativos, \(\phi\) esférico deve permanecer entre \(0\) e \(\pi\), e um intervalo angular não pode ser mais amplo que \(2\pi\). Essas restrições evitam pesos jacobianos negativos e a cobertura múltipla acidental da mesma região física.
Os valores exibidos são arredondados para facilitar a leitura; valores não nulos fora do intervalo de exibição normal usam notação científica, enquanto apenas o zero com sinal exato é mostrado como zero. A exibição arredondada não deve ser considerada uma garantia exata. Para tarefas de casa, engenharia, física ou outros usos de alto risco, verifique a configuração e compare com métodos exatos, um método numérico mais especializado ou a orientação de um professor ou profissional qualificado.
As expressões compatíveis incluem as variáveis \(x\), \(y\) e \(z\); constantes como \(\pi\) e \(e\); operadores aritméticos; parênteses; e funções comuns como sin, cos, sqrt, abs, exp, ln, log, min e max.
Uma integral tripla calcula um acúmulo ponderado pelo volume em uma região tridimensional. Se a função é \(1\), o resultado é volume. Se a função representa densidade ou outra grandeza espacial, o resultado é a quantidade total dessa grandeza na região.
O jacobiano corrige o modo como as células de coordenadas se esticam ou encolhem quando mapeadas para o espaço cartesiano comum. Em coordenadas cilíndricas, o fator de volume é \(r\). Em coordenadas esféricas, o fator de volume é \(\rho^2\sin\phi\).
Não. Insira o integrando usando \(x\), \(y\) e \(z\). Nos modos cilíndrico ou esférico, os pontos de amostra são convertidos primeiro em coordenadas cartesianas e, em seguida, o integrando é avaliado nesses valores \(x\), \(y\) e \(z\).
Os ângulos são inseridos em radianos. Para uma volta completa, use \(2\pi\). Para meia volta, use \(\pi\).
Não. Uma tolerância menor faz o método adaptativo refinar até que seu indicador de erro seja menor, mas não torna exata uma estimativa numérica. Singularidades, descontinuidades, picos acentuados ou oscilações ainda podem produzir resultados não confiáveis; verifique se o resultado indica convergência e compare de forma independente os resultados importantes.
Em coordenadas cartesianas, o volume de uma caixa retangular é o produto dos comprimentos dos lados. Em coordenadas cilíndricas e esféricas, as larguras das coordenadas devem ser ponderadas pelo jacobiano, portanto o volume físico geralmente difere do simples produto dos intervalos de coordenadas.
Não. Este tipo de calculadora usa limites inferior e superior constantes para cada direção de coordenadas. Limites como \(z\) de \(0\) a \(x+y\) ou \(r\) de \(0\) a \(2\sin\theta\) exigem uma configuração mais geral de integral iterada.
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