Calculadora de Inequações

Resolva inequações lineares, polinomiais, racionais e com valor absoluto usando notação de intervalo, quadro de sinais e reta numérica.

Os resultados são calculados automaticamente conforme você informa os dados.

Etapas do quadro de sinais
SoluçãoInforme uma inequação.

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O que é resolver inequações de uma variável?

Resolver uma inequação de uma variável significa encontrar todos os valores de \(x\) que tornam uma comparação verdadeira. Em vez de procurar um único valor para o qual duas expressões sejam iguais, uma inequação pergunta onde uma expressão é menor que, menor ou igual a, maior que ou maior ou igual a outra expressão.

Por exemplo, a inequação

$$ x^2 - 5x + 6 \le 0 $$

não tem apenas uma resposta. Ela é verdadeira para todo um intervalo de valores. O conjunto solução é

$$ [2,3] $$

o que significa todos os valores de \(2\) até \(3\), incluindo os dois extremos.

As inequações são úteis porque muitos problemas reais envolvem intervalos, limites, limiares e condições. Um estudante pode precisar saber quando uma expressão é não negativa, um professor pode querer verificar um quadro de sinais, ou uma tarefa de construção de gráfico pode exigir identificar onde uma função está acima ou abaixo do eixo \(x\).

Por que as inequações são importantes

As inequações ajudam a descrever situações em que um valor exato é menos importante do que o cumprimento de uma condição. Na álgebra, elas são usadas para encontrar onde as funções são positivas, negativas, maiores que zero, menores que zero ou estão dentro de determinado intervalo.

Elas também preparam os estudantes para temas posteriores, como domínios de funções, interpretação de gráficos, otimização, análise de sinais no cálculo e métodos numéricos. Um quadro de sinais, por exemplo, é uma ponte entre a álgebra e os gráficos: ele mostra como pontos importantes dividem a reta numérica em regiões nas quais a expressão se comporta de maneira consistente.

Termos importantes

  • Inequação: Uma afirmação matemática que usa \(<\), \(\le\), \(>\) ou \(\ge\).
  • Conjunto solução: Todos os valores de \(x\) que tornam a inequação verdadeira.
  • Notação de intervalo: Uma forma compacta de descrever um conjunto contínuo de números, como \((1,5]\).
  • Notação de construção de conjuntos: Uma forma de descrever um conjunto por meio de uma condição, como \(\{x \mid x \ge 2\}\).
  • Raiz ou zero: Um valor de \(x\) no qual uma função é igual a zero.
  • Ponto crítico: Um valor que pode separar a reta numérica em intervalos, geralmente uma raiz ou um ponto em que a expressão não está definida.
  • Descontinuidade: Um ponto em que uma expressão não está definida ou não se comporta de forma contínua, como um zero no denominador de uma expressão racional.
  • Quadro de sinais: Um método com tabela ou reta numérica que verifica se uma expressão é positiva, negativa ou zero em diferentes intervalos.
  • Intervalo de busca: O intervalo entre o mínimo e o máximo no qual este resolvedor informa as soluções.

Como resolver inequações com quadros de sinais

Uma forma comum de resolver uma inequação de uma variável é passar tudo para um lado e comparar o resultado com zero. Se a inequação original tiver lado esquerdo \(L(x)\) e lado direito \(R(x)\), defina

$$ f(x)=L(x)-R(x) $$

Então, a inequação pode ser reescrita como uma destas comparações:

$$ L(x)
$$ L(x)\le R(x) \Longleftrightarrow f(x)\le 0 $$
$$ L(x)>R(x) \Longleftrightarrow f(x)>0 $$
$$ L(x)\ge R(x) \Longleftrightarrow f(x)\ge 0 $$

Depois disso, a tarefa principal é determinar onde \(f(x)\) é positivo, negativo, zero ou indefinido.

O método do quadro de sinais geralmente segue estas etapas:

  1. Reescreva a inequação para que um dos lados seja \(0\).
  2. Encontre os pontos críticos, incluindo as raízes em que \(f(x)=0\) e os valores em que \(f(x)\) não está definida.
  3. Use esses pontos críticos para dividir a reta numérica em intervalos.
  4. Escolha um valor de teste dentro de cada intervalo.
  5. Avalie o sinal de \(f(x)\) no valor de teste.
  6. Inclua os intervalos nos quais a inequação é verdadeira.
  7. Decida se cada extremo está incluído ou excluído.

Em uma abordagem numérica do quadro de sinais, o valor de teste costuma ser o ponto médio. Se um intervalo vai de \(a\) a \(b\), o ponto médio é

$$ c=\frac{a+b}{2} $$

Se \(f(c)\) satisfaz a inequação, o intervalo é incluído na solução. Caso contrário, o intervalo é excluído.

As regras dos extremos são importantes:

  • Uma raiz é excluída em inequações estritas, como \(<\) e \(>\).
  • Uma raiz pode ser incluída em inequações inclusivas, como \(\le\) e \(\ge\).
  • Um ponto em que a expressão não está definida é excluído, mesmo que os valores próximos satisfaçam a inequação.

Para expressões polinomiais, racionais e de valor absoluto não aninhadas compatíveis, esta calculadora constrói um quadro de sinais algébrico estruturado (até o grau 12 para cada trecho polinomial). Expressões mais complexas usam análise numérica adaptativa e identificam como não resolvidas as regiões que não podem ser classificadas. Em ambos os modos, os extremos decimais exibidos são aproximações, não frações ou radicais simbólicos.

Exemplos práticos de inequações

Exemplo 1: inequação quadrática

Resolva:

$$ x^2-5x+6\le 0 $$

Fatore a expressão:

$$ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) $$

As raízes são \(x=2\) e \(x=3\). Essas raízes dividem a reta numérica em três intervalos:

Intervalo Valor de teste Sinal de \(f(x)\) Incluído?
\((-\infty,2)\) \(0\) positivo Não
\((2,3)\) \(2.5\) negativo Sim
\((3,\infty)\) \(4\) positivo Não

Como a inequação é \(\le 0\), as raízes são incluídas. A solução é

$$ [2,3] $$

Exemplo 2: inequação racional com um ponto excluído

Resolva:

$$ \frac{x-1}{x+2}\ge 0 $$

Há dois pontos importantes:

  • \(x=1\), onde o numerador é zero.
  • \(x=-2\), onde o denominador é zero, portanto a expressão não está definida.

Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos:

Intervalo Sinal da expressão Incluído?
\((-\infty,-2)\) positivo Sim
\((-2,1)\) negativo Não
\((1,\infty)\) positivo Sim

O valor \(x=-2\) nunca é incluído porque a expressão não está definida nesse ponto. O valor \(x=1\) é incluído porque a expressão é igual a zero e a inequação permite \(\ge 0\).

A solução é

$$ (-\infty,-2)\cup[1,\infty) $$

Se a calculadora estiver pesquisando apenas de \(-10\) a \(10\), a solução exibida será limitada a esse intervalo selecionado:

$$ [-10,-2)\cup[1,10] $$

Exemplo 3: inequação de valor absoluto

Resolva:

$$ |x-3|\le 2 $$

A expressão \(|x-3|\) representa a distância entre \(x\) e \(3\). A inequação diz que essa distância deve ser no máximo \(2\).

Isso significa que \(x\) pode ser tão baixo quanto \(1\) e tão alto quanto \(5\):

$$ 1\le x\le 5 $$

Na notação de intervalo, a solução é

$$ [1,5] $$

Os dois extremos estão incluídos porque a inequação usa \(\le\).

Exemplo 4: caso de conjunto vazio

Algumas inequações não têm solução em um intervalo selecionado. Por exemplo,

$$ x^2+1<0 $$

não tem solução real porque \(x^2\) é sempre não negativo, portanto \(x^2+1\) é sempre positivo.

A solução é o conjunto vazio:

$$ \varnothing $$

Em um resultado algébrico estruturado, um conjunto vazio significa que nenhum valor no intervalo de busca selecionado satisfaz a inequação. No modo numérico alternativo, verifique o cartão de regiões não resolvidas antes de considerar completo um conjunto verificado vazio.

Como interpretar o resultado

O resultado principal é um conjunto solução para \(x\) dentro do intervalo de busca selecionado. Quando o resultado é escrito na notação de intervalo, os símbolos indicam quais valores estão incluídos.

Notação Significado
\((a,b)\) Valores entre \(a\) e \(b\), excluindo os dois extremos
\([a,b]\) Valores de \(a\) a \(b\), incluindo os dois extremos
\((a,b]\) Exclui \(a\), mas inclui \(b\)
\([a,b)\) Inclui \(a\), mas exclui \(b\)
\(\cup\) União; combina intervalos separados
\(\varnothing\) Conjunto vazio; nenhuma solução foi encontrada no intervalo selecionado

Um resultado na notação de construção de conjuntos, como

$$ \{x \mid f(x)\le 0\} $$

significa “todos os valores de \(x\) tais que \(f(x)\) é menor ou igual a zero”.

Os pontos críticos ajudam a explicar por que a solução é dividida em intervalos. Eles não são automaticamente soluções. Um ponto crítico pode ser uma raiz válida incluída, uma raiz excluída ou um valor em que a expressão não está definida.

O quadro de sinais mostra o raciocínio por trás do resultado em intervalos. Se o valor de teste de um intervalo satisfaz a inequação transformada, todo o intervalo é considerado parte da solução. Se o valor de teste não a satisfaz, esse intervalo é excluído.

Os extremos decimais devem ser lidos como aproximações dos valores críticos subjacentes, mesmo quando a estrutura dos intervalos é determinada algebricamente.

Erros e equívocos comuns

Um erro comum é tratar uma inequação como uma equação e esperar apenas uma resposta. A maioria das inequações tem intervalos como solução, não valores isolados.

Outro erro comum é esquecer a diferença entre inequações estritas e inclusivas. Para

$$ f(x)<0 $$

uma raiz em que \(f(x)=0\) não é incluída. Para

$$ f(x)\le 0 $$

essa mesma raiz pode ser incluída se a expressão estiver definida nesse ponto.

As inequações racionais trazem outra questão importante: os zeros do denominador são excluídos. Mesmo que valores próximos a uma descontinuidade satisfaçam a inequação, o próprio ponto indefinido não pode fazer parte da solução.

Também é fácil confundir uma solução matemática completa com uma solução dentro de um intervalo de busca selecionado. Se o intervalo de busca for \([-10,10]\), os valores fora desse intervalo não serão informados.

No caso de resultados numéricos, não presuma que todo decimal exibido seja exato. Um valor como \(1.4142136\) pode representar uma aproximação de um extremo irracional ou que não possa ser expresso por um decimal finito.

O formato da entrada também pode causar erros. Um resolvedor de uma única inequação espera uma comparação por vez, como

$$ x^2-5x+6\le 0 $$

Uma inequação encadeada, como

$$ 1

deve ser resolvida ou inserida como condições separadas se a ferramenta não for compatível com comparações encadeadas.

Quando usar a resolução de inequações de uma variável

Use este tipo de resolução de inequações quando precisar:

  • Encontrar onde um polinômio é positivo, negativo, não positivo ou não negativo.
  • Resolver inequações racionais com valores do denominador excluídos.
  • Verificar uma inequação de valor absoluto.
  • Converter uma solução de inequação para a notação de intervalo.
  • Entender um quadro de sinais em uma aula de álgebra.
  • Visualizar um conjunto solução em uma reta numérica.
  • Estimar uma solução numericamente quando um método simbólico exato não for prático.
  • Verificar o trabalho em um intervalo específico de valores de \(x\).

Limitações e pontos importantes

Esta calculadora usa um quadro de sinais algébrico estruturado para expressões polinomiais, racionais e de valor absoluto compatíveis. Funções mais complexas usam análise numérica adaptativa e são identificadas explicitamente como não certificadas.

A análise algébrica estruturada é compatível com trechos polinomiais e racionais até o grau 12 e com ramificações de valor absoluto não aninhadas. Expressões fora desses limites usam automaticamente o método numérico com aviso.

O resultado é limitado ao intervalo de busca escolhido. Se existir uma solução fora dos limites mínimo e máximo, ela não aparecerá na saída.

O método numérico alternativo não pode garantir que toda oscilação, raiz ou descontinuidade tenha sido encontrada. As regiões que não podem ser classificadas dentro do orçamento de avaliações são exibidas separadamente como não resolvidas, em vez de serem incluídas ou excluídas silenciosamente.

Alguns extremos podem ser exibidos como decimais, em vez de frações exatas, radicais ou expressões simbólicas. Por exemplo, um extremo verdadeiro como \(\sqrt{2}\) pode aparecer aproximadamente como

$$ 1.4142136 $$

Os valores exibidos também podem ser arredondados. Valores muito pequenos podem ser mostrados como \(0\), e magnitudes muito grandes ou muito pequenas podem ser mostradas em notação científica.

O método pressupõe uma única variável, \(x\), e um único operador de inequação. Ele não lida com várias variáveis, combinações lógicas, equações apenas de igualdade, comparações de desigualdade ou inequações encadeadas, a menos que a interface seja compatível especificamente com elas.

Para tarefas de casa, provas, trabalhos de engenharia, científicos, financeiros ou oficiais, use o resultado numérico como orientação e confira respostas importantes com álgebra exata, gráficos ou um professor ou profissional qualificado.

Como usar esta calculadora

  1. Insira uma inequação na variável \(x\) usando \(<\), \(\le\), \(>\) ou \(\ge\).
  2. Insira os valores mínimo e máximo de \(x\) para o intervalo de busca. O mínimo deve ser menor que o máximo.
  3. Use uma sintaxe matemática compatível, como ^ ou ** para potências, |x| ou abs(x) para valor absoluto e funções como sqrt, sin, cos, tan, log ou exp quando necessário.
  4. Revise a solução na notação de intervalo.
  5. Confira a forma de construção de conjuntos para ver a comparação equivalente com zero.
  6. Observe os pontos críticos e o quadro de sinais para entender por que cada intervalo é incluído ou excluído.
  7. Use o gráfico da reta numérica para visualizar a solução dentro do intervalo selecionado.

Perguntas frequentes

Por que o resolvedor pede um valor mínimo e um máximo?

O resolvedor trabalha em um intervalo de busca finito selecionado. Esse intervalo indica onde procurar raízes, descontinuidades e intervalos que satisfaçam a inequação. Os valores fora do intervalo não são incluídos no resultado.

Qual é a diferença entre parênteses e colchetes na notação de intervalo?

Parênteses significam que um extremo está excluído. Colchetes significam que um extremo está incluído. Por exemplo, \((1,5]\) significa valores maiores que \(1\) e menores ou iguais a \(5\).

Por que o zero do denominador é excluído da solução?

Uma expressão racional não está definida quando seu denominador é zero. Como a expressão não tem valor nesse ponto, a inequação não pode ser verdadeira ali. Esse ponto é excluído mesmo que os intervalos próximos estejam incluídos.

Posso inserir uma inequação encadeada, como \(1<x<3\)?

Uma inequação encadeada não deve ser inserida como uma única expressão se o resolvedor aceitar apenas um operador de comparação. Em vez disso, resolva as duas partes separadamente ou reescreva a condição usando uma forma compatível. Por exemplo, uma expressão de valor absoluto como \(|x-2|<1\) pode descrever o mesmo intervalo em alguns casos.

Os extremos exibidos são exatos?

A estrutura dos intervalos pode ser determinada algebricamente, mas os extremos são exibidos como aproximações decimais. Se precisar de frações ou radicais simbólicos, verifique os decimais exibidos com um método simbólico exato.

O que significa uma região não resolvida?

Isso significa que uma expressão não compatível exigiu o método numérico alternativo e o resolvedor não pôde classificar essa região com segurança dentro dos limites de avaliação ou refinamento. Os intervalos verificados são informações parciais, não um conjunto solução completo; use uma análise exata ou outro método independente para essa região.

Fontes e referências

Livros e livros didáticos

  1. Jay Abramson. College Algebra. OpenStax, 2015. Capítulo 2, especialmente “Key Concepts”, e Seção 2.7, “Linear Inequalities and Absolute Value Inequalities”. https://openstax.org/books/college-algebra/pages/2-key-concepts
  1. Lynn Marecek e Andrea Honeycutt Mathis. Intermediate Algebra 2e. OpenStax, 2020. Seções 7.6, “Solve Rational Inequalities”, e 9.8, “Solve Quadratic Inequalities”. https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/7-6-solve-rational-inequalities e https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/9-8-solve-quadratic-inequalities
  1. Michael T. Heath. Scientific Computing: An Introductory Survey. 2ª ed. revisada, SIAM, 2018. Capítulo 5, “Nonlinear Equations”. https://epubs.siam.org/doi/book/10.1137/1.9781611975581

Fontes on-line e oficiais

  1. Michael T. Heath. “CS 450 – Numerical Analysis, Chapter 5: Nonlinear Equations.” Slides de aula da University of Illinois Urbana-Champaign baseados em Scientific Computing: An Introductory Survey, 2019. Usados para bisseção de intervalos, delimitação e limitações da busca numérica de raízes. https://heath.cs.illinois.edu/scicomp/notes/cs450_chapt05.pdf