O que é completar quadrados?
Completar quadrados é um método algébrico para reescrever uma expressão quadrática de modo que parte dela se torne um binômio ao quadrado. Para uma função quadrática, isso é especialmente útil porque transforma a função da forma padrão na forma de vértice.
Uma função quadrática na forma padrão costuma ser escrita como:
$$
f(x)=ax^2+bx+c
$$
em que \(a \ne 0\). Completar quadrados reescreve a mesma função como:
$$
f(x)=a(x-h)^2+k
$$
Essa segunda forma é chamada de forma de vértice. Ela torna o vértice visível: o vértice é \((h,k)\). Depois de conhecer o vértice, você pode identificar o eixo de simetria e o valor mínimo ou máximo da função quadrática sem precisar fazer o gráfico primeiro.
Completar quadrados não altera a função. Apenas muda a maneira como a mesma função é escrita. A forma padrão costuma ser conveniente para visualizar os coeficientes, enquanto a forma de vértice geralmente ajuda mais a entender o formato e a posição da parábola.
Por que completar quadrados é importante
Completar quadrados ajuda a relacionar os símbolos algébricos ao gráfico de uma função quadrática. Em vez de marcar vários pontos para estimar onde uma parábola muda de direção, você pode reescrever a função e obter diretamente o ponto de mudança no resultado.
Isso é útil nas aulas de álgebra, na construção de gráficos, em problemas de otimização e em qualquer situação em que um modelo quadrático tenha um valor máximo ou mínimo. Por exemplo, uma função quadrática pode modelar a altura de um projétil, uma área, uma receita ou outra grandeza que aumenta e depois diminui, ou diminui e depois aumenta. O vértice informa onde ocorre essa mudança de direção.
Completar quadrados também é uma das ideias por trás da fórmula quadrática. Quando a equação quadrática geral é resolvida simbolicamente, o processo de completar quadrados cria a fórmula conhecida para as raízes.
Termos importantes
-
Função quadrática: função cujo maior expoente da variável é \(2\), geralmente escrita como \(f(x)=ax^2+bx+c\) com \(a \ne 0\).
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Forma padrão: a forma \(f(x)=ax^2+bx+c\).
-
Forma de vértice: a forma \(f(x)=a(x-h)^2+k\), em que \((h,k)\) é o vértice.
-
Parábola: o gráfico em formato de U de uma função quadrática.
-
Vértice: o ponto de mudança de direção de uma parábola. É o ponto mais baixo quando a parábola é voltada para cima e o ponto mais alto quando é voltada para baixo.
-
Eixo de simetria: a reta vertical que passa pelo vértice e divide a parábola em duas metades correspondentes.
-
Valor mínimo: o menor valor de saída de uma função quadrática voltada para cima.
-
Valor máximo: o maior valor de saída de uma função quadrática voltada para baixo.
Como funciona o processo
A ideia principal se baseia no padrão do quadrado de um binômio:
$$
(x+p)^2=x^2+2px+p^2
$$
Se a expressão começa como \(x^2+qx\), então metade de \(q\) é o valor que deve ficar dentro do binômio. O quadrado a ser adicionado é:
$$
\left(\frac{q}{2}\right)^2
$$
Para uma função quadrática geral,
$$
f(x)=ax^2+bx+c
$$
primeiro coloque \(a\) em evidência nos termos \(x^2\) e \(x\):
$$
f(x)=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c
$$
O coeficiente de \(x\) dentro dos parênteses é \(\frac{b}{a}\). A metade desse valor é:
$$
\frac{b}{2a}
$$
Portanto, o quadrado necessário dentro dos parênteses é:
$$
\left(\frac{b}{2a}\right)^2
$$
Para manter a equivalência da função, o quadrado adicionado também deve ser compensado por um ajuste na constante externa:
$$
f(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+c
$$
Agora, simplifique:
$$
f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-a\left(\frac{b}{2a}\right)^2
$$
Como a forma de vértice é \(a(x-h)^2+k\), as coordenadas do vértice são:
$$
h=-\frac{b}{2a}
$$
e
$$
k=c-a\left(\frac{b}{2a}\right)^2
$$
O valor de \(h\) fornece o eixo de simetria:
$$
x=h
$$
O valor de \(k\) é o valor da função no vértice. Se \(a>0\), a parábola é voltada para cima e \(k\) é o valor mínimo. Se \(a<0\), a parábola é voltada para baixo e \(k\) é o valor máximo.
Exemplos práticos de completar quadrados
Exemplo 1: uma quadrática mônica
Reescreva:
$$
f(x)=x^2+6x+1
$$
O coeficiente de \(x\) é \(6\). A metade de \(6\) é \(3\), e o quadrado desse valor é \(9\).
Some e subtraia \(9\) para que a expressão continue equivalente:
$$
f(x)=x^2+6x+9-9+1
$$
Os três primeiros termos formam um trinômio quadrado perfeito:
$$
f(x)=(x+3)^2-8
$$
Portanto, a forma de vértice é:
$$
f(x)=(x+3)^2-8
$$
Como \((x+3)^2=(x-(-3))^2\), o vértice é:
$$
(-3,-8)
$$
O eixo de simetria é \(x=-3\). Como \(a=1\) é positivo, a parábola é voltada para cima e o valor mínimo é \(-8\).
Exemplo 2: uma quadrática não mônica
Reescreva:
$$
f(x)=2x^2-8x+5
$$
Primeiro coloque \(2\) em evidência nos termos \(x^2\) e \(x\):
$$
f(x)=2(x^2-4x)+5
$$
O coeficiente de \(x\) dentro dos parênteses é \(-4\). A metade de \(-4\) é \(-2\), e o quadrado desse valor é \(4\).
Some e subtraia \(4\) dentro dos parênteses:
$$
f(x)=2\left[(x^2-4x+4)-4\right]+5
$$
Reescreva o quadrado perfeito e distribua o \(2\) externo sobre a subtração:
$$
f(x)=2(x-2)^2-8+5
$$
Simplifique:
$$
f(x)=2(x-2)^2-3
$$
O vértice é:
$$
(2,-3)
$$
O eixo de simetria é \(x=2\). Como \(a=2\) é positivo, a parábola é voltada para cima e o valor mínimo é \(-3\).
Exemplo 3: uma quadrática com concavidade para baixo
Reescreva:
$$
f(x)=-x^2+4x+1
$$
Coloque \(-1\) em evidência nos termos \(x^2\) e \(x\):
$$
f(x)=-(x^2-4x)+1
$$
A metade de \(-4\) é \(-2\), e o quadrado desse valor é \(4\):
$$
f(x)=-\left[(x^2-4x+4)-4\right]+1
$$
Reescreva o quadrado perfeito:
$$
f(x)=-\left[(x-2)^2-4\right]+1
$$
Distribua o sinal negativo e simplifique:
$$
f(x)=-(x-2)^2+4+1
$$
$$
f(x)=-(x-2)^2+5
$$
O vértice é:
$$
(2,5)
$$
O eixo de simetria é \(x=2\). Como \(a=-1\) é negativo, a parábola é voltada para baixo e o valor máximo é \(5\).
Como interpretar o resultado
O resultado ao completar quadrados fornece a mesma função quadrática em uma forma que revela as principais características do gráfico.
Se o resultado for:
$$
f(x)=a(x-h)^2+k
$$
então:
| Parte do resultado |
Significado |
| \(a\) |
Determina se a parábola é voltada para cima ou para baixo e quão estreita ou larga ela é. |
| \(h\) |
A coordenada x do vértice. |
| \(k\) |
A coordenada y do vértice e o valor mínimo ou máximo. |
| \((h,k)\) |
O vértice da parábola. |
| \(x=h\) |
O eixo de simetria. |
Quando \(a\) é positivo, o termo ao quadrado nunca pode ser negativo, então o vértice é o ponto mais baixo do gráfico. Nesse caso, \(k\) é o valor mínimo.
Quando \(a\) é negativo, a parábola é refletida para baixo, então o vértice é o ponto mais alto do gráfico. Nesse caso, \(k\) é o valor máximo.
Não confunda \(k\) com o intercepto em y. Na forma padrão, o intercepto em y é \(c\), pois \(f(0)=c\). Na forma de vértice, \(k\) é o valor de saída no vértice, e não necessariamente o valor de saída quando \(x=0\).
Erros e equívocos comuns
Um erro comum é esquecer de colocar o coeficiente líder em evidência antes de completar quadrados. Por exemplo, em \(2x^2-8x+5\), o quadrado é completado dentro de \(2(x^2-4x)+5\), e não diretamente a partir de \(2x^2-8x\) como se o coeficiente líder fosse \(1\).
Outro erro comum é usar o sinal incorreto para \(h\). Na forma de vértice, \(f(x)=a(x-h)^2+k\), a expressão dentro dos parênteses usa \(x-h\). Portanto, \(f(x)=(x+3)^2-8\) tem \(h=-3\), e não \(3\).
Também é fácil confundir o valor do vértice com uma raiz. O vértice \((h,k)\) indica onde a parábola muda de direção. As raízes, quando existem, são os valores de \(x\) para os quais \(f(x)=0\). Completar quadrados pode ajudar a encontrar as raízes, mas o vértice e as raízes são características diferentes.
Uma função quadrática com coeficiente líder negativo não tem valor mínimo. Ela tem um valor máximo. O sinal de \(a\) determina se o vértice é o ponto mais baixo ou mais alto.
Por fim, os resultados decimais devem ser tratados como valores numéricos arredondados. Um decimal arredondado pode ser muito útil para construir o gráfico e interpretar o resultado, mas talvez não mostre a forma fracionária exata da resposta.
Quando usar completar quadrados
Use o método de completar quadrados quando quiser:
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Reescrever uma função quadrática da forma padrão para a forma de vértice.
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Encontrar o vértice de uma parábola a partir de uma equação.
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Encontrar o eixo de simetria.
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Identificar o valor mínimo ou máximo de uma função quadrática.
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Entender como uma parábola foi deslocada horizontal ou verticalmente.
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Preparar uma equação quadrática para resolvê-la usando a propriedade da raiz quadrada.
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Visualizar a ideia algébrica por trás da fórmula quadrática.
Completar quadrados é especialmente útil para construir o gráfico ou interpretar uma função quadrática, porque a forma de vértice mostra diretamente o ponto de mudança de direção do gráfico.
Limitações e pontos importantes
Completar quadrados se aplica a expressões quadráticas, portanto o coeficiente líder não pode ser zero. Se \(a=0\), a expressão \(ax^2+bx+c\) não é quadrática; ela é linear ou constante.
O método também pressupõe uma função quadrática de uma única variável em \(x\). Ele não lida diretamente com expressões multivariáveis, parâmetros simbólicos ou equações completas digitadas como uma única expressão, a menos que elas sejam primeiro reescritas na forma necessária dos coeficientes.
Quando os resultados são exibidos numericamente, eles podem ser arredondados. A saída decimal arredondada é conveniente, mas não é igual à álgebra simbólica exata. Por exemplo, um valor que é exatamente \(\frac{1}{3}\) pode aparecer como uma aproximação decimal.
Coeficientes líderes muito grandes, muito pequenos ou quase nulos também podem causar resultados numéricos pouco confiáveis. Nesses casos, é melhor conferir a álgebra à mão ou com uma ferramenta de álgebra simbólica.
Completar quadrados revela o vértice, o eixo de simetria, a direção da concavidade e o valor mínimo ou máximo. Isso não fornece automaticamente um gráfico completo, interceptos ou raízes, a menos que você faça um trabalho adicional.
Como usar esta calculadora
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Informe o coeficiente A da função quadrática na forma padrão \(f(x)=Ax^2+Bx+C\).
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Informe o coeficiente B.
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Informe o coeficiente C.
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Confira a forma de vértice, o vértice, o eixo de simetria, a direção da concavidade e o valor mínimo ou máximo.
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Leia a álgebra passo a passo para entender como o quadrado foi completado.
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Use um exemplo predefinido para carregar coeficientes de exemplo ou limpe os campos para começar novamente.
Informe os coeficientes separadamente. Não coloque a expressão quadrática inteira em um único campo. O valor de A não pode ser \(0\) nem estar extremamente próximo de \(0\), porque a expressão precisa ser quadrática.
Perguntas frequentes
O que significa completar quadrados?
Completar quadrados significa somar e subtrair o valor correto para que parte de uma expressão quadrática se torne um trinômio quadrado perfeito. Depois, esse trinômio pode ser reescrito como um binômio ao quadrado, como \((x+3)^2\) ou \((x-2)^2\).
Por que a forma de vértice é útil?
A forma de vértice facilita a identificação do vértice. Em \(f(x)=a(x-h)^2+k\), o vértice é \((h,k)\), o eixo de simetria é \(x=h\) e \(k\) é o valor mínimo ou máximo, dependendo do sinal de \(a\).
Completar quadrados é o mesmo que resolver uma equação quadrática?
Nem sempre. Completar quadrados é um método de reescrita. Ele pode ser usado para resolver equações quadráticas, mas também pode ser usado apenas para transformar uma função quadrática na forma de vértice para construir o gráfico e interpretá-la.
Por que preciso colocar o coeficiente líder em evidência primeiro?
O padrão básico para completar quadrados funciona de maneira direta quando o coeficiente de \(x^2\) dentro dos parênteses é \(1\). Se o coeficiente líder original não for \(1\), colocá-lo em evidência primeiro faz com que a expressão interna corresponda ao padrão \(x^2+qx\).
Por que é fácil confundir o sinal de h?
A forma de vértice é escrita como \(a(x-h)^2+k\). Como há um sinal de menos na forma, \((x+3)^2\) significa \(x-(-3)\), portanto \(h=-3\). O sinal dentro dos parênteses é o oposto da coordenada x do vértice.
Toda função quadrática pode ser escrita na forma de vértice?
Sim, toda função quadrática de uma única variável com \(a \ne 0\) pode ser escrita na forma de vértice. Alguns resultados podem ser mais convenientes como frações ou radicais, enquanto ferramentas numéricas podem exibir decimais arredondados.
Fontes e referências
Livros e livros didáticos
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Lynn Marecek e Andrea Honeycutt Mathis. Intermediate Algebra 2e. OpenStax, 2020. Seção 9.2, “Solve Quadratic Equations by Completing the Square”, e conceitos-chave do capítulo 9. Seção 9.2; Conceitos-chave do capítulo 9.
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Jay Abramson. College Algebra 2e. OpenStax, 2021. Seção 5.1, “Quadratic Functions”. Seção 5.1.
