Calculadora de Distribuição Normal

Calcule probabilidades, escores z, percentis, valores críticos e regiões destacadas da curva normal.

Os resultados são calculados automaticamente conforme você informa os dados.

Média μ Desvio padrão σ

Operação

valor de x

Passos do cálculo

Resultado -

Curva normal

A área destacada mostra a região de probabilidade selecionada.

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Premissas e limitações

Os resultados são estimativas destinadas apenas a uso educacional e exploratório e não constituem aconselhamento profissional. Não há garantia de que os resultados sejam exatos, completos, atuais, adequados ou livres de erros. Verifique de forma independente os valores informados, unidades, fórmulas, premissas, arredondamentos, qualidade dos dados, adequação do modelo e regras aplicáveis. Não use esta calculadora como única base para decisões financeiras, jurídicas, médicas, de segurança, acadêmicas, empresariais, oficiais, de elegibilidade ou regulamentadas; consulte um profissional qualificado quando houver consequências relevantes. Os resultados de probabilidade e de percentil inverso usam aproximações numéricas, executadas no navegador, da CDF normal e da CDF inversa. Nenhum limite formal de erro é fornecido; verifique trabalhos estatísticos de alto impacto com software ou tabelas validados. O uso desta calculadora está sujeito aos nossos Termos de Uso.

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O que é uma distribuição normal?

Uma distribuição normal é um modelo de probabilidade em forma de sino para uma variável contínua. Ela é centrada na média, se espalha de acordo com o desvio padrão e é simétrica: valores à mesma distância acima e abaixo da média têm a mesma densidade.

Os cálculos da distribuição normal respondem a perguntas sobre a área sob a curva em forma de sino. Como a área total sob uma curva de densidade de probabilidade é $1$, uma área também pode ser interpretada como uma probabilidade ou porcentagem. Por exemplo, uma área de $0.25$ significa uma probabilidade de $25\%$.

A distribuição normal é útil porque muitas medições têm formato aproximadamente sinoidal, e muitos métodos estatísticos usam modelos normais ou aproximações normais. Ela é usada com frequência para notas de provas, erros de medição, medições biológicas, dados de controle de qualidade, escores padronizados, intervalos de confiança e testes de hipóteses.

Por que os cálculos da distribuição normal são importantes

Uma curva normal transforma medições brutas em probabilidades interpretáveis. Em vez de apenas dizer que um valor é alto ou baixo, você pode estimar quão incomum ele é sob um modelo normal escolhido.

Os cálculos normais ajudam a responder a perguntas como:

Que porcentagem dos valores deve ficar abaixo de um limite?
Que porcentagem deve ficar acima de um limite?
Qual é a probabilidade de ficar entre dois valores?
Qual valor bruto marca o percentil $90$, o $95$ ou outro percentil?
A quantos desvios padrão um valor está da média?

Essas perguntas aparecem com frequência em aulas de estatística, resumos de pesquisas, garantia da qualidade, painéis de análise e comparações padronizadas.

Termos importantes

Variável aleatória $X$: A grandeza que está sendo modelada, como uma nota, altura, peso, tempo ou erro de medição.
Média $\mu$: O centro da distribuição normal.
Desvio padrão $\sigma$: A dispersão da distribuição. Um desvio padrão maior torna a curva mais larga e achatada.
Distribuição normal padrão: Uma distribuição normal com média $0$ e desvio padrão $1$.
escore-z: Um valor padronizado que indica a quantos desvios padrão um valor bruto está da média.
Função densidade de probabilidade: A própria curva. Sua altura é a densidade, não a probabilidade.
Função de distribuição acumulada: A área à esquerda de um valor.
Probabilidade de cauda: A probabilidade em uma extremidade, ou cauda, da distribuição.
Percentil: Um valor de corte com uma determinada porcentagem da distribuição abaixo dele ou igual a ele.
Função de distribuição normal inversa: O processo de encontrar o escore-z ou valor bruto correspondente a um percentil escolhido.

Como funcionam os cálculos da distribuição normal

Uma distribuição normal com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma$ tem densidade

$$ f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$

Essa fórmula descreve a altura da curva em forma de sino em $x$. As probabilidades vêm das áreas sob a curva, não da altura em um único ponto.

O passo mais importante é a padronização. Um valor bruto $x$ é convertido em um escore-z:

$$ z=\frac{x-\mu}{\sigma} $$

Em que:

$x$ é o valor bruto.
$\mu$ é a média.
$\sigma$ é o desvio padrão.
$z$ é o número de desvios padrão $x$ que está acima ou abaixo da média.

Um escore-z positivo significa que o valor está acima da média. Um escore-z negativo significa que ele está abaixo da média. Um escore-z de $0$ significa que o valor é igual à média.

Depois que um valor bruto é padronizado, a função de distribuição acumulada normal padrão fornece a área da cauda esquerda:

$$ \Phi(z)=P(Z\le z) $$

Para a curva normal padrão, essa área pode ser escrita como

$$ \Phi(z)=\int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt $$

Essa integral não pode ser simplificada em uma fórmula elementar; por isso, tabelas, calculadoras e softwares usam métodos numéricos.

As principais relações de probabilidade são:

$$ P(X\le x)=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) $$

$$ P(X\ge x)=1-\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) $$

Para um intervalo de $a$ a $b$:

$$ P(a\le X\le b)=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right) $$

Para a área externa a um intervalo:

$$ P(X\le a\ \text{or}\ X\ge b)=1-P(a\le X\le b) $$

Um percentil funciona no sentido inverso. Se $p$ for uma proporção entre $0$ e $1$, primeiro encontre o valor normal padrão

$$ z=\Phi^{-1}(p) $$

Depois, converta-o de volta para a escala original:

$$ x=\mu+z\sigma $$

Exemplos práticos de cálculos da distribuição normal

Exemplo 1: Probabilidade da cauda esquerda

Suponha que as notas de uma prova tenham distribuição normal, com média $100$ e desvio padrão $15$. Para encontrar a probabilidade de uma nota ser menor ou igual a $130$, primeiro padronize:

$$ z=\frac{130-100}{15}=2 $$

Um escore-z de $2$ corresponde a dois desvios padrão acima da média. A área da cauda esquerda da normal padrão em $z=2$ é aproximadamente $0.97725$; portanto,

$$ P(X\le 130)\approx 0.97725=97.725\% $$

Isso significa que uma nota de $130$ é maior que aproximadamente $97.7\%$ dos valores neste modelo normal.

Exemplo 2: Probabilidade entre dois valores

Suponha que as alturas sejam modeladas com média $170$ cm e desvio padrão $8$ cm. Para encontrar a probabilidade de uma altura ficar entre $160$ cm e $180$ cm, padronize os dois extremos:

$$ z_1=\frac{160-170}{8}=-1.25 $$

$$ z_2=\frac{180-170}{8}=1.25 $$

A área entre os dois escores-z é

$$ P(160\le X\le 180)=\Phi(1.25)-\Phi(-1.25) $$

$$ P(160\le X\le 180)\approx 0.89435-0.10565=0.78870 $$

Portanto, a probabilidade é aproximadamente $78.870\%$.

Exemplo 3: Encontrando um valor de percentil

Suponha que o mesmo modelo de alturas tenha média $170$ cm e desvio padrão $8$ cm. Para encontrar o percentil $95$, use o escore-z cuja área da cauda esquerda é $0.95$:

$$ z=\Phi^{-1}(0.95)\approx 1.64485 $$

Depois, converta o escore-z de volta para a unidade original:

$$ x=170+1.64485(8) $$

$$ x\approx 183.1588 $$

O percentil $95$ é aproximadamente $183.16$ cm. Neste modelo, aproximadamente $95\%$ dos valores estão abaixo dessa altura ou são iguais a ela.

Exemplo 4: Probabilidade da área externa

Para a distribuição normal padrão, a probabilidade entre $-1$ e $1$ é aproximadamente $68.27\%$. A probabilidade externa é a área restante nas duas caudas:

$$ P(Z\le -1\ \text{or}\ Z\ge 1)=1-P(-1\le Z\le 1) $$

$$ P(Z\le -1\ \text{or}\ Z\ge 1)\approx 1-0.68269=0.31731 $$

Portanto, aproximadamente $31.731\%$ da distribuição normal padrão está a mais de um desvio padrão da média.

Como interpretar o resultado

Um resultado da distribuição normal é uma área, um escore-z ou um valor bruto de percentil.

Uma probabilidade da cauda esquerda, como $P(X\le x)$, é a porcentagem da distribuição abaixo de $x$ ou igual a esse valor. Se o resultado for $84\%$, então, sob o modelo, espera-se que aproximadamente $84\%$ dos valores sejam menores ou iguais a esse limite.

Uma probabilidade da cauda direita, como $P(X\ge x)$, é a porcentagem da distribuição acima de $x$ ou igual a esse valor. Probabilidades grandes na cauda direita significam que o limite é relativamente baixo; probabilidades pequenas na cauda direita significam que o limite é relativamente alto.

Uma probabilidade entre dois valores mede a área dentro de um intervalo. Ela é útil quando a pergunta trata de estar dentro de uma faixa-alvo, faixa de tolerância ou faixa de notas.

Uma probabilidade externa mede a área combinada nas duas caudas além de um intervalo. Ela é útil quando a pergunta trata de um valor excepcionalmente baixo ou alto.

Um escore-z não tem unidade. Ele não é medido em centímetros, reais, segundos, pontos ou qualquer outra unidade original. Ele indica a posição em relação à média em unidades de desvio padrão.

Um resultado de percentil é um valor de corte bruto na mesma unidade da variável original. O valor do percentil $95$ não é o próprio $95\%$; ele é o valor $x$ com $95\%$ do modelo abaixo dele ou igual a ele.

Para uma distribuição normal contínua, $P(X\le x)$ e $P(X<x)$ têm o mesmo valor porque a probabilidade de cair exatamente em um ponto é zero. A mesma ideia se aplica a $P(X\ge x)$ e $P(X>x)$.

Erros comuns e conceitos equivocados

Inserir percentis na escala errada. Se o campo de percentil espera uma porcentagem, insira $95$ para o percentil $95$, e não $0.95$. O valor $0.95$ significaria menos que o percentil $1$ se o campo fosse interpretado como porcentagem.

Usar unidades inconsistentes. A média, o desvio padrão e os valores brutos devem usar a mesma unidade. Não misture centímetros e polegadas, segundos e minutos, ou reais e centavos sem fazer a conversão antes.

Confundir densidade com probabilidade. A altura da curva em um ponto não é a probabilidade daquele valor exato. Probabilidade é a área sobre um intervalo ou uma cauda.

Confundir perguntas sobre a área interna e a área externa. A probabilidade dentro de um intervalo e a probabilidade fora de um intervalo são complementares. Se uma for $0.80$, a outra será $0.20$.

Tratar um escore-z como valor bruto. Um escore-z de $1.5$ significa um desvio padrão e meio acima da média. Isso não significa que o valor original seja $1.5$ na unidade original.

Supor que todos os dados sejam normais. Um modelo normal só é útil quando é razoável para a situação. Assimetria forte, vários picos, valores atípicos, dados limitados ou dados categóricos podem exigir outro método.

Arredondar cedo demais. Arredondar escores-z intermediários pode alterar ligeiramente a probabilidade ou o percentil final. Mantenha algumas casas decimais extras até chegar à resposta final.

Quando usar os cálculos da distribuição normal

Use os cálculos da distribuição normal quando:

Uma variável é razoavelmente modelada por uma curva normal.
Você conhece ou está supondo uma média e um desvio padrão positivo.
Você precisa de uma probabilidade abaixo, acima, entre ou fora de valores selecionados.
Você precisa converter um valor bruto em um escore-z padronizado.
Você precisa converter um percentil em um valor de corte bruto.
Você está trabalhando com um método estatístico que usa um comportamento normal ou aproximadamente normal.

Os cálculos normais são especialmente comuns em estatística introdutória, atribuição de escores padronizados, análise de medições, controle de processos, modelagem de probabilidades e métodos de aproximação normal.

Limitações e pontos importantes

Os cálculos da distribuição normal dependem da suposição de que a variável segue uma distribuição normal com a média e o desvio padrão escolhidos. Se o modelo estiver errado, a probabilidade pode ser enganosa mesmo quando a aritmética estiver correta.

O desvio padrão deve ser maior que $0$. Um desvio padrão igual a zero significaria que não há dispersão; portanto, a fórmula da distribuição normal não é válida.

Os percentis devem estar estritamente entre $0\%$ e $100\%$. A distribuição normal teórica se estende indefinidamente nas duas direções; por isso, os percentis exatos $0$ e $100$ não são valores finitos.

A curva normal se estende do infinito negativo ao infinito positivo. Um gráfico pode mostrar apenas uma janela prática ao redor da média, mas áreas de cauda muito pequenas ainda existem além dessa janela.

Os valores de probabilidade e de percentil inverso são aproximações numéricas. Os resultados geralmente são arredondados para exibição, por isso podem ocorrer pequenas diferenças entre tabelas, calculadoras e softwares.

O modelo normal não faz conversão de unidades. Todos os valores brutos devem ser inseridos usando uma única unidade consistente, e o resultado deve ser interpretado nessa mesma unidade.

Para decisões importantes envolvendo dinheiro, saúde, segurança, engenharia, exigências legais, registros oficiais ou conclusões de pesquisa, verifique as suposições do modelo e consulte um profissional devidamente qualificado.

Como usar esta calculadora

Insira a média da distribuição normal.
Insira um desvio padrão maior que $0$.
Escolha a tarefa: probabilidade da cauda esquerda, probabilidade da cauda direita, probabilidade entre dois valores, probabilidade externa, escore-z ou percentil.
Insira o valor exigido pela tarefa selecionada:

Use um valor $x$ para uma probabilidade da cauda esquerda ou direita.
Use um valor bruto para um escore-z.
Use dois extremos para uma probabilidade entre dois valores ou externa.
Use um percentil como porcentagem, por exemplo $95$ para o percentil $95$.

Confira o resultado principal, os valores resumidos, as etapas da fórmula e o gráfico sombreado da curva normal.
Se houver botões de exemplo ou uma opção de baixar o gráfico, use-os para testar valores típicos ou salvar a visualização.

Nos cálculos de intervalo, o extremo menor é tratado como o valor inferior e o extremo maior como o valor superior.

Perguntas frequentes

O que um escore-z informa?

Um escore-z indica a quantos desvios padrão um valor está da média. Um escore-z de $2$ significa que o valor está dois desvios padrão acima da média, enquanto um escore-z de $-2$ significa que ele está dois desvios padrão abaixo da média.

Qual é a diferença entre um percentil e uma probabilidade?

Uma probabilidade é uma área sob a curva, geralmente apresentada como porcentagem. Um percentil é um valor de corte: o percentil $p$ é o valor com $p\%$ da distribuição abaixo dele ou igual a ele.

Por que as probabilidades normais são áreas sob uma curva?

A curva normal é uma função densidade de probabilidade. Para variáveis contínuas, a probabilidade vem da área sob a curva de densidade em um intervalo, não da altura em um único ponto exato.

$P(X\le x)$ é diferente de $P(X<x)$?

Para uma distribuição normal contínua, eles são iguais. A probabilidade de ser exatamente igual a um valor específico é $0$; portanto, incluir ou excluir o extremo não altera a probabilidade.

Por que o desvio padrão precisa ser positivo?

O desvio padrão controla a dispersão da curva normal. Se ele fosse $0$ ou negativo, a fórmula da distribuição normal não descreveria uma distribuição de probabilidade válida.

Posso usar isto para dados que não têm distribuição normal?

Apenas com cautela. Se os dados forem fortemente assimétricos, tiverem valores atípicos, vários agrupamentos ou limites rígidos, um modelo normal pode produzir estimativas de probabilidade ruins.

Por que os percentis são inseridos como números como $95$ em vez de $0.95$?

Um percentil costuma ser escrito em uma escala de $0$ a $100$. Quando uma ferramenta pede o percentil como porcentagem, $95$ significa o percentil $95$; $0.95$ significaria $0.95\%$.

Fontes e referências

Livros

Barbara Illowsky and Susan Dean. Introductory Statistics 2e. OpenStax, 2023. Chapter 6, Sections 6.1 “The Standard Normal Distribution” and 6.2 “Using the Normal Distribution.” Section 6.1 and Section 6.2.
David M. Diez, Mine Çetinkaya-Rundel, and Christopher D. Barr. OpenIntro Statistics. 4th ed., OpenIntro, 2019. Chapter 3.1 “Normal Distribution” and normal probability table material. OpenIntro book page and Chapter 3.1 via Statistics LibreTexts.

Fontes on-line e oficiais

National Institute of Standards and Technology. “Normal Distribution.” NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. Accessed July 4, 2026. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3661.htm
Penn State Eberly College of Science. “Lesson 3: Probability Distributions.” STAT 500 Applied Statistics. Accessed July 4, 2026. https://online.stat.psu.edu/stat500/Lesson03
OpenIntro. “TI-83/84 Guide for Introductory Statistics.” OpenIntro, 2019. Distribution of random variables section on normal CDF and inverse normal calculations. Accessed July 4, 2026. https://openintro.org/go/?id=ti8384_instructions