Calculadora de Distribuição Geométrica
Explore as probabilidades do tempo de espera pelo primeiro sucesso em tentativas independentes.
Os resultados são calculados automaticamente conforme você informa os dados.
Probabilidade
▼ Veja explicações e dicas abaixo ▼
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O que é uma distribuição geométrica?
A distribuição geométrica é um modelo de probabilidade para esperar até o primeiro sucesso. Ela se aplica quando você repete o mesmo tipo de tentativa, cada tentativa tem apenas dois resultados, as tentativas são independentes e a probabilidade de sucesso permanece a mesma todas as vezes.
Neste artigo, \(X\) representa o número da tentativa em que ocorre o primeiro sucesso. Nessa convenção, \(X\) começa em \(1\), e não em \(0\). Por exemplo, se você lança uma moeda até sair a primeira cara e ela aparece no quarto lançamento, então \(X=4\).
Isso torna a distribuição geométrica útil para perguntas como:
- Qual é a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer exatamente na tentativa \(k\)?
- Qual é a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer nas primeiras \(k\) tentativas?
- Qual é a probabilidade de serem necessárias pelo menos \(k\) tentativas?
- Qual é a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer entre dois números de tentativa?
O resultado é uma probabilidade, portanto não tem unidade física. A contagem é feita em tentativas, inspeções, chamadas, lançamentos, testes ou qualquer outra ação repetida usada na situação.
Por que a distribuição geométrica é importante
A distribuição geométrica transforma um problema de tentativas repetidas em uma pergunta clara de probabilidade. Em vez de apenas dizer que uma tentativa tem probabilidade de sucesso \(p\), ela ajuda a responder quanto tempo alguém pode esperar antes de observar o primeiro sucesso.
Isso importa em muitas situações práticas. Uma equipe de controle de qualidade pode inspecionar itens até encontrar a primeira unidade defeituosa. Um estudante pode modelar tentativas repetidas em um questionário até obter a primeira resposta correta. Um pesquisador pode observar medições independentes repetidas até aparecer o primeiro evento de interesse. Um professor pode usar a distribuição para explicar como a probabilidade constante e a independência determinam o tempo de espera.
A distribuição é especialmente útil porque separa duas ideias que costumam ser confundidas: a probabilidade de sucesso em uma tentativa e a probabilidade de esperar um certo número de tentativas antes do primeiro sucesso.
Termos importantes
- Tentativa: Uma tentativa ou observação repetida, como um lançamento de moeda, uma inspeção ou uma chamada.
- Sucesso: O resultado que está sendo contado, como obter cara, encontrar um defeito ou receber uma resposta afirmativa.
- Falha: Qualquer tentativa que não seja um sucesso.
- Tentativa de Bernoulli: Uma tentativa com dois resultados possíveis, geralmente chamados de sucesso e falha.
- Probabilidade de sucesso, \(p\): A probabilidade de sucesso em cada tentativa. Ela deve ser maior que \(0\) e não maior que \(1\).
- Probabilidade de falha, \(q\): A probabilidade de falha em cada tentativa, igual a \(q=1-p\).
- Variável aleatória, \(X\): O número da tentativa em que ocorre o primeiro sucesso.
- Função de massa de probabilidade: Uma fórmula para a probabilidade de uma variável aleatória discreta ser igual a um valor específico.
- Probabilidade acumulada: A probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer em uma tentativa determinada ou antes dela.
- Probabilidade de sobrevivência ou de cauda: A probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer em uma tentativa determinada ou depois dela.
- Valor esperado: O tempo médio de espera, no longo prazo, até o primeiro sucesso.
- Variância e desvio padrão: Medidas de quão disperso pode ser o tempo de espera.
- Propriedade de ausência de memória: A ideia de que, depois de ocorrerem falhas, o padrão de espera futuro não muda, desde que as mesmas suposições de tentativas independentes continuem válidas.
Como funcionam as probabilidades da distribuição geométrica
Seja:
- \(p\) = probabilidade de sucesso em cada tentativa
- \(q=1-p\) = probabilidade de falha em cada tentativa
- \(X\) = número da tentativa do primeiro sucesso
- \(k\) = uma contagem positiva de tentativas inteiras
Para que o primeiro sucesso ocorra exatamente na tentativa \(k\), as primeiras \(k-1\) tentativas devem ser falhas e a tentativa \(k\) deve ser um sucesso. Isso produz a fórmula da probabilidade pontual:
$$
P(X=k)=(1-p)^{k-1}p=q^{k-1}p
$$
em que \(k=1,2,3,\ldots\).
A fórmula tem duas partes. O fator \((1-p)^{k-1}\) representa as falhas antes do sucesso. O fator final \(p\) representa o sucesso na tentativa \(k\).
Probabilidade de no máximo
Uma probabilidade de no máximo pergunta se o primeiro sucesso ocorre na tentativa \(k\) ou antes dela:
$$
P(X\le k)=1-(1-p)^k=1-q^k
$$
Essa costuma ser a maneira mais fácil de responder a perguntas como “Qual é a probabilidade de obter o primeiro sucesso nas primeiras 10 tentativas?”
Probabilidade de pelo menos
Uma probabilidade de pelo menos pergunta se o primeiro sucesso ocorre na tentativa \(k\) ou depois dela:
$$
P(X\ge k)=(1-p)^{k-1}=q^{k-1}
$$
Essa é a probabilidade de que as primeiras \(k-1\) tentativas sejam todas falhas.
Entre dois números de tentativa
Para um intervalo inclusivo da tentativa \(a\) até a tentativa \(b\), em que \(1\le a\le b\):
$$
P(a\le X\le b)=q^{a-1}\left(1-q^{b-a+1}\right)
$$
A palavra “inclusivo” é importante: os dois extremos estão incluídos. Por exemplo, \(P(3\le X\le 5)\) inclui o primeiro sucesso na tentativa \(3\), na tentativa \(4\) ou na tentativa \(5\).
Valor esperado, variância e desvio padrão
O número esperado de tentativas até o primeiro sucesso é:
$$
E[X]=\frac{1}{p}
$$
A variância é:
$$
\operatorname{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2}=\frac{q}{p^2}
$$
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
$$
\sigma=\sqrt{\frac{1-p}{p^2}}
$$
O valor esperado é uma média calculada em muitas situações repetidas. Isso não significa que o primeiro sucesso necessariamente ocorrerá exatamente nesse número de tentativa, que nem precisa ser inteiro.
A ideia de ausência de memória
A distribuição geométrica não tem memória no sentido de que as falhas passadas não mudam o modelo para as tentativas futuras. Para números inteiros não negativos \(r\) e \(s\):
$$
P(X>r+s\mid X>r)=P(X>s)
$$
Essa propriedade depende das suposições. Ela é adequada para tentativas independentes idealizadas com probabilidade de sucesso constante, mas pode não se ajustar a situações em que as pessoas aprendem, os equipamentos se desgastam ou as condições mudam com o tempo.
Exemplos práticos de probabilidades da distribuição geométrica
Exemplo 1: Probabilidade exata
Suponha que a probabilidade de sucesso em cada tentativa seja \(p=0.25\) e que você queira a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer exatamente na tentativa \(4\).
Aqui, \(q=1-p=0.75\) e \(k=4\):
$$
P(X=4)=(1-0.25)^{4-1}\times 0.25
$$
$$
P(X=4)=0.75^3\times 0.25=0.10546875
$$
Portanto, a probabilidade é \(0.10546875\), ou aproximadamente \(10.546875\%\).
Exemplo 2: Probabilidade de no máximo
Suponha que uma inspeção tenha uma chance de \(8\%\) de encontrar a condição procurada em cada tentativa independente. Informe esse valor como \(p=0.08\), e não como \(8\).
Para encontrar a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer nas primeiras \(10\) tentativas:
$$
P(X\le 10)=1-(1-0.08)^{10}
$$
$$
P(X\le 10)=1-0.92^{10}\approx 0.56561155
$$
Portanto, há aproximadamente \(56.561155\%\) de chance de o primeiro sucesso ocorrer até a tentativa \(10\).
Exemplo 3: Probabilidade inclusiva entre duas tentativas
Suponha que \(p=0.20\), portanto \(q=0.80\). Para encontrar a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer da tentativa \(3\) até a tentativa \(5\):
$$
P(3\le X\le 5)=0.80^{3-1}\left(1-0.80^{5-3+1}\right)
$$
$$
P(3\le X\le 5)=0.80^2\left(1-0.80^3\right)=0.31232
$$
A probabilidade é \(0.31232\), ou \(31.232\%\). Isso inclui a tentativa \(3\), a tentativa \(4\) e a tentativa \(5\).
Exemplo 4: Sucesso certo na primeira tentativa
Se \(p=1\), o sucesso é certo em todas as tentativas. Isso significa que o primeiro sucesso deve ocorrer na tentativa \(1\):
$$
P(X=1)=1
$$
$$
P(X=k)=0 \quad \text{for every } k>1
$$
O tempo de espera esperado é de \(1\) tentativa, e a variância é \(0\) porque não há incerteza sobre quando ocorre o primeiro sucesso.
Como interpretar o resultado
O resultado principal de probabilidade informa quão provável é que o primeiro sucesso ocorra no evento selecionado. Uma probabilidade decimal de \(0.25\) significa o mesmo que \(25\%\) porque:
$$
\text{percent}=100\times \text{decimal probability}
$$
Para um resultado exato, \(P(X=k)\) é a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer em uma tentativa específica. Para um resultado de no máximo, \(P(X\le k)\) é a probabilidade de o primeiro sucesso ter ocorrido até a tentativa \(k\). Para um resultado de pelo menos, \(P(X\ge k)\) é a probabilidade de o primeiro sucesso não ocorrer antes da tentativa \(k\). Para um resultado entre, \(P(a\le X\le b)\) é a probabilidade de o primeiro sucesso estar dentro desse intervalo inclusivo.
Uma probabilidade maior de no máximo significa que é provável ocorrer um sucesso dentro desse número de tentativas. Uma probabilidade maior de pelo menos significa que uma espera longa ainda é bastante plausível. As probabilidades exatas normalmente diminuem à medida que \(k\) aumenta quando \(0<p<1\), porque é preciso ocorrer um número maior de falhas antes do primeiro sucesso.
O valor esperado de tentativas, \(1/p\), é o tempo médio de espera no longo prazo. Por exemplo, se \(p=0.20\), então \(E[X]=5\). Isso não significa que todo primeiro sucesso ocorrerá na tentativa \(5\); significa que o tempo médio de espera se aproximaria de \(5\) tentativas em muitas situações repetidas que seguem as mesmas suposições.
A variância é medida em tentativas ao quadrado, enquanto o desvio padrão é medido em tentativas. Um desvio padrão maior significa que o tempo de espera pode variar mais. A probabilidade de falha é a chance, em uma única tentativa, de não obter sucesso, igual a \(1-p\).
Se um gráfico ou uma tabela for exibido, as barras ou linhas destacadas indicam quais probabilidades exatas de tentativa estão incluídas no evento selecionado. Para probabilidades de pelo menos, lembre-se de que o evento inclui a cauda infinita além do gráfico visível.
Erros e equívocos comuns
Um erro comum é informar uma porcentagem em vez de um decimal. Para uma probabilidade de sucesso de \(8\%\), informe \(0.08\), e não \(8\). Um valor de \(8\) significaria uma probabilidade de sucesso impossível de \(800\%\).
Outro erro comum é usar \(k=0\). Nessa convenção, \(X\) é o número da tentativa do primeiro sucesso, portanto o menor valor possível é \(1\). Outra convenção conta o número de falhas antes do primeiro sucesso e começa em \(0\), mas não é a convenção usada aqui.
Também é fácil confundir \(P(X\le k)\) com \(P(X\ge k)\). A primeira pergunta se o sucesso ocorre até a tentativa \(k\). A segunda pergunta se a espera dura até a tentativa \(k\) ou mais.
Nas probabilidades entre dois valores, os extremos estão incluídos. O evento \(P(3\le X\le 5)\) inclui a tentativa \(3\) e a tentativa \(5\), e não apenas as tentativas entre elas.
Não trate um gráfico finito como se fosse toda a distribuição. Uma distribuição geométrica pode continuar indefinidamente quando \(0<p<1\), embora primeiros sucessos muito tardios possam ser improváveis.
Por fim, não use a distribuição geométrica quando a probabilidade de sucesso muda de uma tentativa para outra, as tentativas não são independentes ou a amostragem ocorre sem reposição de uma forma que altera a probabilidade após cada retirada.
Quando usar a distribuição geométrica
Use a distribuição geométrica quando todas estas condições forem razoáveis:
- Cada tentativa tem dois resultados: sucesso ou falha.
- A probabilidade de sucesso é a mesma em todas as tentativas.
- As tentativas são independentes.
- Você está interessado no número da tentativa do primeiro sucesso.
- A contagem das tentativas começa em \(1\).
Exemplos comuns incluem lançamentos repetidos de uma moeda até a primeira cara, inspeções independentes repetidas até o primeiro item defeituoso, tentativas repetidas de contato até a primeira resposta, partidas repetidas até a primeira vitória ou problemas simples de probabilidade em sala de aula sobre tempo de espera.
A distribuição geométrica não é adequada quando as tentativas influenciam as tentativas seguintes. Por exemplo, ela pode não se ajustar a um processo de aprendizagem em que a prática melhora a probabilidade de sucesso, a um problema de confiabilidade em que as peças ficam mais propensas a falhar com o envelhecimento ou a um problema de retirada sem reposição em que cada retirada altera a população restante.
Limitações e pontos importantes
A distribuição geométrica é um modelo. Suas respostas só são tão significativas quanto as suposições em que o modelo se baseia. Se as tentativas não forem independentes ou a probabilidade de sucesso não for constante, o resultado poderá ser enganoso.
A probabilidade de sucesso deve ser um número finito maior que \(0\) e não maior que \(1\). Qualquer valor finito positivo é aceito, inclusive valores tão pequenos quanto os permitidos pela faixa de ponto flutuante disponível. Uma probabilidade de \(0\) significaria que o sucesso nunca pode ocorrer, portanto não há um tempo de espera finito até o primeiro sucesso. Uma probabilidade de \(1\) significa que o sucesso é certo na primeira tentativa.
Os valores de tentativa devem ser números inteiros positivos. Valores decimais, negativos, zero, ausentes ou não numéricos não correspondem a este modelo de contagem de tentativas.
Os resultados exibidos podem ser arredondados. Valores muito pequenos ou muito grandes podem ser mostrados em notação científica. Quando uma probabilidade positiva é pequena demais para ser representada diretamente em ponto flutuante, a calculadora informa seu logaritmo em vez de exibi-la como zero. Da mesma forma, momentos que excedem a faixa numérica são identificados por uma magnitude de overflow, em vez de serem mostrados como indisponíveis; essas saídas não restringem os valores positivos finitos aceitos de \(p\).
Um gráfico ou uma tabela é um recurso visual, não um substituto da fórmula. O gráfico exibido pode mostrar apenas um número limitado de barras, e a tabela pode mostrar apenas as primeiras tentativas exibidas. A calculadora avisa quando um evento selecionado se estende além das barras desenhadas. No modo de pelo menos, a probabilidade inclui todas as tentativas posteriores na cauda infinita, mesmo quando elas não estão visíveis.
Para decisões importantes que envolvam dinheiro, saúde, segurança, engenharia, obrigações legais ou registros oficiais, trate o resultado como uma estimativa baseada em um modelo. Verifique cuidadosamente as suposições e consulte um profissional qualificado quando necessário.
Como usar esta calculadora
- Informe a probabilidade de sucesso \(p\) como um decimal finito maior que \(0\) e não maior que \(1\). Valores positivos muito pequenos são aceitos; por exemplo, informe \(0.08\) para \(8\%\).
- Escolha o modo de probabilidade: exata, no máximo, pelo menos ou entre.
- Para os modos exato, no máximo ou pelo menos, informe o número da tentativa \(k\) como um número inteiro positivo.
- Para o modo entre, informe os números de tentativa inferior e superior. O valor inferior deve ser menor ou igual ao valor superior.
- Leia o resultado principal como uma probabilidade decimal e como uma porcentagem.
- Consulte o número esperado de tentativas, a variância, o desvio padrão e a probabilidade de falha para obter mais contexto.
- Use o gráfico e a tabela para comparar valores individuais de \(P(X=k)\). Uma barra ou linha destacada mostra quais probabilidades de tentativa estão incluídas no evento selecionado.
- Se estiver disponível, use a opção de baixar o gráfico para salvar o gráfico exibido.
Perguntas frequentes
A probabilidade de sucesso deve ser informada como porcentagem ou decimal?
Informe-a como decimal. Por exemplo, \(25\%\) deve ser informado como \(0.25\), e \(8\%\) deve ser informado como \(0.08\). Não informe \(25\) nem \(8\) a menos que a ferramenta peça especificamente uma porcentagem, pois esses valores são maiores que \(1\) e não são probabilidades decimais válidas.
Por que a contagem das tentativas começa em 1 em vez de 0?
Essa convenção define \(X\) como o número da tentativa em que ocorre o primeiro sucesso. Como um primeiro sucesso não pode ocorrer antes de qualquer tentativa, o menor valor possível é \(X=1\). Alguns livros e programas contam, em vez disso, as falhas antes do primeiro sucesso; essa contagem começa em \(0\) e usa uma fórmula deslocada.
Qual é a diferença entre exato, no máximo e pelo menos?
A probabilidade exata, \(P(X=k)\), considera o primeiro sucesso em uma tentativa específica. A probabilidade de no máximo, \(P(X\le k)\), considera o primeiro sucesso até a tentativa \(k\). A probabilidade de pelo menos, \(P(X\ge k)\), considera o primeiro sucesso na tentativa \(k\) ou depois dela.
O modo entre é inclusivo?
Sim. Um evento entre inclui as duas tentativas extremas. Por exemplo, \(P(4\le X\le 7)\) inclui o primeiro sucesso na tentativa \(4\), \(5\), \(6\) ou \(7\).
O que significa o número esperado de tentativas?
O número esperado de tentativas é o tempo médio de espera no longo prazo até o primeiro sucesso. Ele pode ser decimal, embora uma contagem real de tentativas deva ser inteira. É uma média de muitas situações repetidas, não uma promessa sobre o que acontecerá em um único caso.
Posso usar isto quando a probabilidade de sucesso muda com o tempo?
Não. A distribuição geométrica supõe a mesma probabilidade de sucesso em todas as tentativas independentes. Se a probabilidade mudar por causa de aprendizagem, fadiga, desgaste, esgotamento, mudanças nas condições ou amostragem sem reposição, geralmente será necessário outro modelo.
O que acontece quando \(p=1\)?
Se \(p=1\), o sucesso é certo na primeira tentativa. A probabilidade de \(X=1\) é \(1\), a probabilidade de qualquer primeiro sucesso posterior é \(0\), o tempo de espera esperado é de \(1\) tentativa e a variância é \(0\).
Fontes e referências
Livros
- Barbara Illowsky e Susan Dean. Introductory Statistics 2e. OpenStax, 2023. Seção 4.4, “Geometric Distribution”, e revisão das fórmulas do Capítulo 4. https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/4-4-geometric-distribution
- Charles M. Grinstead e J. Laurie Snell. Introduction to Probability. 2.ª ed., American Mathematical Society, 2003; versão gratuita do CHANCE Project/Dartmouth, 2006. Capítulo 5.1, “Important Distributions”, subseção sobre a distribuição geométrica. https://math.dartmouth.edu/~prob/prob/prob.pdf
Fontes on-line e educacionais
- Penn State Department of Statistics. “11 Geometric and Negative Binomial Distributions.” STAT 414: Introduction to Probability Theory. Acesso em 28 de junho de 2026. https://online.stat.psu.edu/stat414/Lesson11
- Minitab, LLC. “Geometric distribution.” Minitab Support. Acesso em 28 de junho de 2026. https://support.minitab.com/en-us/minitab/help-and-how-to/probability-distributions-random-data-and-resampling-analyses/supporting-topics/distributions/geometric-distribution/