Calculadora de Base de Subespaço

Use esta Calculadora de Base de Subespaço para informar valores, ajustar opções e analisar resultados em uma área de trabalho compacta e responsiva.

Os resultados são calculados automaticamente conforme você informa os dados.

Vetores

Cada linha corresponde a um vetor. Use a mesma quantidade de coordenadas em todos os vetores.

Vetor-alvo (opcional)

Fórmula e etapas de escalonamento por linhas
ResultadoInforme pelo menos um vetor.

▼ Veja explicações e dicas abaixo ▼

Calculadoras relacionadas

O que é uma base de um espaço gerado?

Uma base é uma forma compacta de descrever todos os vetores que podem ser construídos a partir de um conjunto dado de vetores. Se você começa com os vetores \(v_1, v_2, \ldots, v_m\), o espaço gerado por eles é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis desses vetores:

$$ \operatorname{span}(v_1, v_2, \ldots, v_m) = \left\{c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_mv_m : c_1,c_2,\ldots,c_m \in \mathbb{R}\right\} $$

O espaço gerado pode ser uma reta, um plano, todo o espaço \(\mathbb{R}^n\) ou um subespaço de dimensão menor dentro de \(\mathbb{R}^n\). Uma base desse espaço gerado é um conjunto menor de vetores que ainda alcança o mesmo subespaço, sem incluir vetores redundantes.

Em termos simples, uma base responde a duas perguntas de uma só vez:

  • Quais vetores são realmente necessários para descrever o espaço gerado?
  • Quantas direções independentes o espaço gerado possui?

Esse segundo número é a dimensão do espaço gerado. Na linguagem das matrizes, ele é o posto da matriz formada pelos vetores.

Por que bases, posto e RREF são importantes

Conjuntos de vetores podem conter informação repetida. Por exemplo, em \(\mathbb{R}^3\), o vetor \([1,1,2]\) é redundante se você já tem \([1,0,1]\) e \([0,1,1]\), pois:

$$ [1,1,2] = [1,0,1] + [0,1,1] $$

Uma base remove essa redundância sem alterar o espaço gerado. Isso é útil na álgebra linear porque ajuda a descrever subespaços com eficiência, resolver sistemas de equações, comparar dimensões e entender se um vetor-alvo pode ser escrito como combinação de outros vetores.

A forma escalonada reduzida por linhas, ou RREF, é uma das ferramentas mais práticas para fazer isso. A redução por linhas revela as colunas pivô, e essas colunas identificam quais vetores originais são necessários para uma base formada por colunas pivô.

Termos importantes

  • Vetor: Uma lista ordenada de coordenadas, como \([2,-1,4]\).
  • Combinação linear: Uma soma de múltiplos escalares de vetores, como \(c_1v_1+c_2v_2\).
  • Espaço gerado: O conjunto de todas as combinações lineares de um grupo de vetores.
  • Subespaço: Um conjunto de vetores fechado sob adição de vetores e multiplicação por escalares.
  • Base: Um conjunto de vetores que gera um subespaço e é linearmente independente.
  • Dimensão: O número de vetores em qualquer base de um subespaço.
  • Posto: O número de colunas pivô de uma matriz; para uma matriz de vetores coluna, ele é igual à dimensão do espaço coluna.
  • Coluna pivô: Uma coluna correspondente a uma entrada líder após a redução por linhas.
  • RREF: Forma escalonada reduzida por linhas, uma forma padronizada de uma matriz reduzida por linhas.
  • Vetor redundante: Um vetor que não acrescenta uma nova direção independente ao espaço gerado.

Como encontrar uma base de um espaço gerado

Para encontrar uma base do espaço gerado pelos vetores \(v_1, v_2, \ldots, v_m\), coloque os vetores como colunas de uma matriz:

$$ A = \begin{bmatrix} | & | & & | \\ v_1 & v_2 & \cdots & v_m \\ | & | & & | \end{bmatrix} $$

Em seguida, reduza \(A\) por linhas até \(\operatorname{RREF}(A)\). As colunas pivô da matriz original \(A\) formam uma base do espaço gerado pelos vetores originais.

A palavra original é importante. Em geral, os vetores da base não são as colunas da própria matriz RREF. A RREF informa quais posições de coluna são pivôs, e então você seleciona os vetores nessas mesmas posições da entrada original.

As principais relações são:

$$ \dim\left(\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_m)\right) = \operatorname{rank}(A) $$
$$ \text{The vectors span all of } \mathbb{R}^n \Longleftrightarrow \operatorname{rank}(A)=n $$
$$ \text{The vectors are linearly independent} \Longleftrightarrow \operatorname{rank}(A)=m $$

Aqui, \(n\) é a dimensão ambiente, isto é, o número de coordenadas em cada vetor, e \(m\) é o número de vetores de entrada.

Testando se um vetor-alvo pertence ao espaço gerado

Um vetor-alvo \(b\) pertence ao espaço gerado pelos vetores de entrada quando existem coeficientes \(c_1,c_2,\ldots,c_m\) tais que:

$$ c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_mv_m=b $$

Usando a matriz \(A\), cujas colunas são os vetores de entrada, isso equivale a resolver:

$$ A c = b $$

em que

$$ c = \begin{bmatrix}c_1\\c_2\\ \vdots \\ c_m\end{bmatrix} $$

O vetor-alvo pertence ao espaço gerado exatamente quando esse sistema é consistente. Um teste comum baseado no posto expressa a mesma ideia assim:

$$ b \in \operatorname{span}(v_1,\ldots,v_m) \Longleftrightarrow \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b]) $$

Se os postos são iguais, adicionar \(b\) como coluna aumentada não introduziu uma nova direção independente. Se a matriz aumentada tem posto maior, então \(b\) está fora do espaço gerado.

Exemplos de como encontrar uma base e testar o pertencimento ao espaço gerado

Exemplo 1: dois vetores que geram \(\mathbb{R}^2\)

Suponha que os vetores de entrada sejam:

$$ v_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \qquad v_2=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} $$

Coloque-os como colunas:

$$ A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$

A matriz já está na forma RREF, e as duas colunas são colunas pivô. Portanto, a base é \(\{v_1,v_2\}\), o posto é \(2\), e os vetores geram todo o espaço \(\mathbb{R}^2\).

Se o vetor-alvo é

$$ b=\begin{bmatrix}4\\-2\end{bmatrix} $$

então

$$ 4v_1-2v_2 = 4\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} -2\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4\\-2\end{bmatrix} $$

Portanto, \(b\) pertence ao espaço gerado, com coeficientes \(c_1=4\) e \(c_2=-2\).

Exemplo 2: um vetor redundante em \(\mathbb{R}^3\)

Considere agora:

$$ v_1=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}, \qquad v_2=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}, \qquad v_3=\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix} $$

Como \(v_3=v_1+v_2\), o terceiro vetor não acrescenta uma nova direção. A matriz dos vetores coluna é:

$$ A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} $$

A redução por linhas resulta em:

$$ \operatorname{RREF}(A)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

As colunas pivô são as colunas \(1\) e \(2\), então uma base do espaço gerado é:

$$ \left\{ \begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix} \right\} $$

O posto é \(2\), então o espaço gerado é um subespaço de dimensão \(2\) de \(\mathbb{R}^3\), e não todo o espaço \(\mathbb{R}^3\).

Exemplo 3: vetor-alvo dentro do espaço gerado

Usando os mesmos vetores do Exemplo 2, teste:

$$ b=\begin{bmatrix}3\\2\\5\end{bmatrix} $$

Como o espaço gerado é formado por vetores da forma

$$ c_1\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix} +c_2\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_1\\c_2\\c_1+c_2\end{bmatrix} $$

podemos escolher \(c_1=3\) e \(c_2=2\):

$$ 3v_1+2v_2 = \begin{bmatrix}3\\2\\5\end{bmatrix} $$

Portanto, \(b\) pertence ao espaço gerado. Se também houver um vetor redundante, como \(v_3\), pode existir mais de uma representação pelos coeficientes. Uma calculadora pode mostrar uma representação válida definindo as variáveis livres como \(0\).

Exemplo 4: vetor-alvo fora do espaço gerado

Novamente, use os mesmos vetores de entrada, mas agora teste:

$$ b=\begin{bmatrix}3\\2\\6\end{bmatrix} $$

As duas primeiras coordenadas exigiriam \(c_1=3\) e \(c_2=2\), o que faria a terceira coordenada ser \(c_1+c_2=5\), e não \(6\). Portanto:

$$ \begin{bmatrix}3\\2\\6\end{bmatrix} \notin \operatorname{span}(v_1,v_2,v_3) $$

De forma equivalente, a matriz aumentada \([A\mid b]\) tem posto maior que \(A\), então o sistema \(Ac=b\) é inconsistente.

Como interpretar o resultado

O resultado mais importante é a dimensão do espaço gerado. Ela é o posto da matriz cujas colunas são os vetores de entrada.

Se a dimensão do espaço gerado é igual à dimensão ambiente \(n\), os vetores geram todo o espaço \(\mathbb{R}^n\). Por exemplo, um posto \(3\) em \(\mathbb{R}^3\) significa que os vetores podem alcançar qualquer vetor de \(\mathbb{R}^3\).

Se a dimensão é menor que \(n\), os vetores geram um subespaço de dimensão menor. Em \(\mathbb{R}^3\), um posto \(1\) significa uma reta que passa pela origem, e um posto \(2\) geralmente representa um plano que passa pela origem.

Os rótulos dos vetores da base identificam quais vetores de entrada originais são vetores pivô. Se o resultado informa que os vetores da base são \(v_1\) e \(v_2\), isso significa que esses vetores originais formam uma base do espaço gerado. Os vetores que não são pivôs são redundantes para a ordem atual dos vetores e para a tolerância numérica usada.

O resultado de independência linear compara o posto com o número de vetores de entrada. Se o posto é igual ao número de vetores, eles são linearmente independentes. Se o posto é menor, pelo menos um vetor pode ser construído a partir dos outros.

Para um vetor-alvo \(b\), o resultado de pertencimento pode ter quatro significados:

  • Pertence ao espaço gerado: O alvo pode ser escrito como combinação linear dos vetores de entrada.
  • Não pertence ao espaço gerado: Nenhuma combinação dos vetores de entrada alcança o alvo.
  • Não testado: Nenhum vetor-alvo foi informado.
  • Incerto: O resultado depende de uma direção sensível à tolerância, por isso a calculadora não pode classificar o pertencimento com segurança na precisão atual de ponto flutuante.

Quando os coeficientes são exibidos, eles fornecem uma forma válida de expressar \(b\) como combinação linear dos vetores de entrada. Se os vetores de entrada são dependentes, essa pode não ser a única representação possível.

Erros comuns e equívocos

Um erro comum é confundir linhas e colunas. Mesmo que os vetores sejam informados em linhas separadas na interface, o cálculo de um espaço gerado geralmente os coloca como colunas da matriz \(A\). Assim, as colunas pivô se referem aos vetores originais, e não às linhas de coordenadas.

Outro erro é supor que as próprias colunas da RREF sejam os vetores da base. A RREF é usada para identificar as posições dos pivôs. A base do espaço gerado original usa as colunas correspondentes da matriz original.

Tenha cuidado com células vazias. Nesta calculadora, células de coordenadas vazias são tratadas como \(0\). Deixar uma célula vazia por acidente pode alterar o conjunto de vetores, o posto e o resultado de pertencimento.

Observe também o formato das entradas numéricas. Coordenadas decimais e negativas são aceitas, mas expressões simbólicas e textos de frações exatas, como 1/2, não são tratados aqui como números racionais exatos. Quando necessário, informe um decimal como 0.5.

Por fim, não presuma que uma única tabela de coeficientes exibida seja o conjunto completo de soluções. Se o conjunto de vetores é dependente, pode haver infinitas escolhas de coeficientes para o mesmo vetor-alvo. Uma representação exibida ainda pode estar correta mesmo quando também existem outras representações.

Quando usar um cálculo de base de subespaço

Use esse tipo de cálculo quando precisar:

  • Encontrar um conjunto independente menor que gere os mesmos vetores.
  • Determinar se os vetores são linearmente independentes ou redundantes.
  • Encontrar a dimensão de um espaço gerado ou espaço coluna.
  • Verificar se os vetores geram todo o espaço \(\mathbb{R}^n\).
  • Testar se um vetor-alvo pertence ao espaço gerado.
  • Expressar um vetor-alvo como combinação linear dos vetores de entrada.
  • Entender a estrutura de pivôs por trás de um sistema de equações lineares.

Essas tarefas aparecem com frequência em cursos de álgebra linear, métodos matriciais, fundamentos de ciência de dados, computação gráfica, matemática para engenharia e qualquer área que use sistemas de equações lineares.

Limitações e pontos importantes

Uma calculadora pode ajudar a organizar o processo de redução por linhas, mas o resultado ainda depende das premissas do cálculo.

Esta calculadora trabalha com coordenadas numéricas reais. Ela não aceita variáveis simbólicas, notação racional exata como 1/2, números complexos, NaN ou infinito como coordenadas válidas.

As entradas são limitadas a 20 vetores, 10 coordenadas por vetor e 15 algarismos significativos por coordenada. Valores que sofrem underflow no intervalo numérico do navegador são rejeitados, em vez de serem convertidos silenciosamente em zero.

O cálculo usa aritmética de ponto flutuante com tolerâncias normalizadas pela escala e sensíveis à dimensão. Direções quase dependentes são informadas como sensíveis à tolerância, em vez de serem classificadas silenciosamente por um limite absoluto fixo. A calculadora verifica os resíduos do espaço gerado, a ortogonalidade da base e quaisquer coeficientes de pertencimento exibidos antes de informar sucesso.

As entradas da matriz e os coeficientes exibidos podem ser arredondados. Valores não nulos muito grandes ou muito pequenos podem ser mostrados em notação exponencial. Em trabalhos acadêmicos que exigem frações exatas, talvez ainda seja necessário verificar o resultado manualmente ou com uma ferramenta simbólica exata.

A base formada pelas colunas pivô é uma base possível, não todas as bases possíveis. Alterar a ordem dos vetores de entrada pode mudar quais colunas pivô são selecionadas, mesmo que o próprio espaço gerado permaneça igual.

Para o pertencimento do alvo, os coeficientes verificados fornecem uma solução quando o alvo pertence ao espaço gerado. Se existem variáveis que não são pivôs, elas são definidas como \(0\), portanto a saída não é uma família paramétrica completa. O pertencimento é marcado como incerto quando depende de uma direção sensível à tolerância ou de uma perda de normalização.

O resumo visual é geométrico em duas dimensões. Em dimensões maiores, um gráfico de resumo pode ajudar a identificar vetores pivô e redundantes, mas não é uma representação verdadeira do subespaço completo.

Como usar esta calculadora

  1. Informe cada vetor de entrada em sua própria linha, identificada por \(v_1\), \(v_2\) e assim por diante.
  2. Certifique-se de que todos os vetores tenham o mesmo número de coordenadas. Use os controles de adicionar vetor e adicionar coordenada se precisar de mais entradas.
  3. Deixe uma coordenada vazia somente quando quiser informar \(0\).
  4. Opcionalmente, informe um vetor-alvo \(b\) para testar se ele pertence ao espaço gerado. Deixe todas as células do alvo vazias para ignorar o teste de pertencimento.
  5. Para importar vetores, cole um vetor por linha, com as coordenadas separadas por espaços, vírgulas ou ponto e vírgula.
  6. Revise a dimensão do espaço gerado, a dimensão ambiente, os vetores da base pivô, o resumo da independência, o status de pertencimento, as tabelas RREF, a tabela de coeficientes, as operações por linhas e o resumo visual.
  7. Use a opção de baixar o gráfico se quiser salvar o visual atual como PNG.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre espaço gerado e base?

O espaço gerado é o conjunto completo de todos os vetores que você pode obter por combinações lineares dos vetores de entrada. Uma base é um conjunto linearmente independente que produz esse mesmo espaço gerado sem vetores redundantes.

Por que as colunas pivô formam uma base?

As colunas pivô marcam os vetores originais que acrescentam novas direções independentes. As colunas que não são pivôs podem ser escritas como combinações de colunas pivô anteriores, portanto não são necessárias para gerar o mesmo espaço coluna.

A base depende da ordem dos vetores de entrada?

O espaço gerado não muda apenas porque você reordenou os vetores, mas a base formada pelas colunas pivô pode mudar. A redução por linhas seleciona pivôs nas colunas da matriz, então uma ordem diferente das colunas pode produzir uma base válida diferente.

O que significa se os vetores são linearmente dependentes?

Isso significa que pelo menos um vetor é redundante: ele pode ser escrito como combinação linear de outros vetores do conjunto. Em termos de posto, o posto é menor que o número de vetores de entrada.

O que o posto informa sobre o espaço gerado?

O posto informa a dimensão do espaço gerado. Se \(m\) vetores em \(\mathbb{R}^n\) têm posto \(r\), então eles geram um subespaço de dimensão \(r\) de \(\mathbb{R}^n\).

Como sei se os vetores geram todo o espaço \(\mathbb{R}^n\)?

Os vetores geram todo o espaço \(\mathbb{R}^n\) quando o posto é igual a \(n\), o número de coordenadas em cada vetor. Se o posto é menor que \(n\), o espaço gerado é apenas um subespaço de dimensão menor.

Por que a representação pelos coeficientes pode não ser única?

Se os vetores de entrada são linearmente dependentes, pode haver variáveis livres no sistema \(Ac=b\). Isso significa que o mesmo vetor-alvo pode ter mais de uma representação como combinação linear.

O que acontece se um vetor de entrada é o vetor nulo?

O vetor nulo não pode acrescentar uma nova direção ao espaço gerado. Ele não será um vetor pivô e torna o conjunto dependente se houver outros vetores no conjunto.

Fontes e referências

Livros

  1. Dan Margalit e Joseph Rabinoff. Interactive Linear Algebra. Georgia Institute of Technology, 2017. Seções 1.3 “Parametric Form,” 2.3 “Matrix Equations,” e 2.7 “Basis and Dimension.” Acesso em 4 de julho de 2026.
  2. Ken Kuttler. A First Course in Linear Algebra. Lyryx / Mathematics LibreTexts, CC BY 4.0. Seção 4.10 “Spanning, Linear Independence and Basis in \(\mathbb{R}^n\).” Acesso em 4 de julho de 2026.

Fontes on-line e oficiais

  1. MIT OpenCourseWare. Lecture 6: Column Space and Nullspace. 18.06 Linear Algebra, Spring 2010. Massachusetts Institute of Technology. Acesso em 4 de julho de 2026.
  2. MIT OpenCourseWare. Lecture 7: Solving \(Ax=0\): Pivot Variables, Special Solutions. 18.06 Linear Algebra, Spring 2010. Massachusetts Institute of Technology. Acesso em 4 de julho de 2026.