Calculadora de Séries de Taylor

Calcule um polinômio de Taylor finito de ordem até 10 em torno de um ponto de expansão escolhido, com verificações de domínio e aproximação.

Os resultados são calculados automaticamente conforme você informa os dados.

Função f(x) Use x, potências, parênteses e funções como sin, cos, exp, ln ou sqrt. Ponto de expansão a Ordem 5

Exemplos

Polinômio de Taylor

Função original Polinômio de Taylor

Centrado em a = 0

Forma expandida

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Hipóteses e limitações

Os resultados são estimativas educacionais, não aconselhamento profissional de engenharia, construção, segurança, ciência, direito, finanças ou área acadêmica. Não há garantia de que os resultados sejam precisos, completos, adequados ou livres de erros. Verifique unidades, fórmulas, hipóteses, tolerâncias, arredondamentos e limitações de forma independente e solicite a análise de profissionais qualificados para trabalhos técnicos ou sensíveis à segurança. Esta ferramenta calcula polinômios de Taylor finitos com valores reais, não uma série infinita nem um limite rigoroso para o restante. O uso desta calculadora está sujeito aos nossos Termos de Uso.

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O que é um polinômio de Taylor?

Um polinômio de Taylor é um polinômio que aproxima uma função perto de um ponto escolhido. Em vez de tentar trabalhar diretamente com a função original, você constrói um polinômio mais simples que tem o mesmo valor, a mesma inclinação, a mesma curvatura e o mesmo comportamento das derivadas de ordem superior em um ponto.

O ponto escolhido é chamado de centro ou ponto de expansão, geralmente escrito como $a$. O polinômio é projetado para funcionar melhor perto desse centro. À medida que $x$ se afasta de $a$, a aproximação pode ficar menos precisa, a menos que exista um argumento separado de convergência ou de erro mostrando que ela continua apresentando um bom comportamento.

Os polinômios de Taylor são úteis porque é mais fácil calcular, representar graficamente, derivar, integrar e comparar polinômios do que muitas funções. Uma função complicada, como $e^x$, $\sin(x)$, $\ln(1+x)$ ou $\sqrt{1+x}$, muitas vezes pode ser aproximada perto de um ponto conveniente por um polinômio curto.

Quando o centro é $a = 0$, o polinômio de Taylor é chamado de polinômio de Maclaurin. Os polinômios de Maclaurin são comuns porque muitas funções conhecidas têm valores simples e padrões simples para suas derivadas em zero.

Por que a aproximação por polinômios de Taylor é importante

Os polinômios de Taylor transformam informações locais sobre derivadas em uma aproximação prática. Essa é uma das ideias centrais do cálculo: se você conhece o suficiente sobre uma função em um ponto, muitas vezes consegue prever como ela se comporta nas proximidades.

Isso é importante em várias situações comuns:

Estudo de cálculo: os polinômios de Taylor conectam derivadas, séries de potências e erro de aproximação em um único método.
Representação gráfica e visualização: comparar uma função com seu polinômio de Taylor mostra como a inclinação, a curvatura e os termos de ordem superior moldam uma curva.
Estimativa numérica: um polinômio pode estimar valores de uma função quando é mais difícil calcular a expressão original manualmente.
Construção de modelos: muitos modelos científicos e de engenharia usam aproximações locais para simplificar o comportamento não linear perto de um ponto de operação.
Consciência sobre o erro: o teorema de Taylor mostra que a aproximação não é apenas um palpite; nas condições adequadas, o resto omitido pode ser limitado.

Termos importantes

Função $f(x)$: a função original de uma variável que está sendo aproximada.
Centro $a$: o ponto onde o polinômio de Taylor é construído. A aproximação costuma ser mais confiável perto desse ponto.
Ordem $n$: a maior potência incluída no polinômio. Um polinômio de primeira ordem é linear, um polinômio de segunda ordem é quadrático, e assim por diante.
Derivada $f^{(k)}(a)$: a derivada de ordem $k$ da função calculada no centro.
Fatorial $k!$: o produto $k \times (k-1) \times \cdots \times 2 \times 1$, com $0! = 1$.
Coeficiente de Taylor $c_k$: o coeficiente do termo de Taylor de ordem $k$, igual a $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$.
Forma centrada: um polinômio escrito em potências de $(x-a)$, como $1 + 2(x-a) - 3(x-a)^2$.
Forma expandida: o mesmo polinômio reescrito em potências de $x$, como $3x^2 - 4x + 1$.
Resto: a diferença entre a função original e o polinômio de Taylor: $R_n(x) = f(x) - P_n(x)$.
Intervalo de convergência: para uma série de Taylor infinita, o intervalo em que a série converge. Um polinômio de Taylor finito, por si só, não determina esse intervalo.

Como funciona a aproximação por polinômios de Taylor

A ideia é fazer um polinômio coincidir com os dados das derivadas da função no centro. O polinômio de Taylor de ordem $n$ para $f(x)$ centrado em $a$ é

$$ P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k $$

Isso significa que

$$ P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n $$

Onde:

$P_n(x)$ é o polinômio de Taylor de ordem $n$.
$a$ é o ponto de expansão.
$f^{(k)}(a)$ é a derivada de ordem $k$ calculada em $a$.
$k!$ é o fatorial de $k$.
$(x-a)^k$ mede a distância entre $x$ e o centro, elevada à potência $k$.

A fórmula começa com o valor da função. Isso fornece a aproximação constante:

$$ P_0(x) = f(a) $$

A primeira derivada acrescenta a aproximação pela reta tangente:

$$ P_1(x) = f(a) + f'(a)(x-a) $$

A segunda derivada acrescenta a curvatura:

$$ P_2(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 $$

As derivadas de ordem superior acrescentam mais informações sobre a forma local. Em muitos casos, aumentar a ordem melhora a aproximação perto de $a$, mas isso não garante automaticamente a precisão longe de $a$.

Polinômios de Taylor e séries de Taylor

Um polinômio de Taylor é finito. Ele termina em uma ordem escolhida $n$. Uma série de Taylor é a série infinita que continua indefinidamente com todos os termos de Taylor:

$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k $$

O polinômio finito costuma ser útil mesmo quando você não conhece o intervalo completo de convergência. No entanto, afirmar que uma série de Taylor infinita é realmente igual à função original exige condições adicionais. O teorema de Taylor explica a parte ausente por meio de um termo de resto.

Quando a derivada necessária existe em um intervalo ao redor de $a$, uma forma comum do resto afirma que, para algum número $c$ entre $a$ e $x$,

$$ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} $$

Se $|f^{(n+1)}(t)| \le M$ no intervalo entre $a$ e $x$, então o tamanho do erro pode ser limitado por

$$ |R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1} $$

É por isso que os polinômios de Taylor tendem a ser mais eficazes perto do centro: o fator $|x-a|^{n+1}$ é pequeno quando $x$ está próximo de $a$.

Exemplos práticos de aproximação por polinômios de Taylor

Exemplo 1: Aproximando $e^x$ perto de zero

Para $f(x) = e^x$, toda derivada também é $e^x$. Em $a = 0$, o valor de cada derivada é $1$. O polinômio de Maclaurin de terceira ordem é

$$ P_3(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} $$

Para estimar $e^{0.2}$, substitua $x = 0.2$:

$$ P_3(0.2) = 1 + 0.2 + \frac{0.2^2}{2} + \frac{0.2^3}{6} $$

$$ P_3(0.2) = 1 + 0.2 + 0.02 + 0.00133333 \approx 1.22133333 $$

A aproximação é próxima porque $0.2$ está perto do centro $0$. Um polinômio de ordem superior incluiria mais termos e, em geral, melhoraria a estimativa perto do centro.

Exemplo 2: Uma aproximação linear para uma raiz quadrada

Suponha que você queira estimar $\sqrt{4.1}$. Use $f(x)=\sqrt{x}$ e centralize a aproximação em $a=4$, porque $4$ está perto de $4.1$ e $\sqrt{4}=2$ é fácil de calcular.

A derivada é

$$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

Em $a=4$,

$$ f(4)=2 $$

$$ f'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4} $$

O polinômio de Taylor de primeira ordem é

$$ P_1(x)=2+\frac{1}{4}(x-4) $$

Agora substitua $x=4.1$:

$$ P_1(4.1)=2+\frac{1}{4}(0.1)=2.025 $$

Esta é uma estimativa local. Ela funciona bem porque $4.1$ está perto do centro $4$, e não porque a reta tangente seja globalmente idêntica à curva da raiz quadrada.

Exemplo 3: Um caso extremo não diferenciável

Os polinômios de Taylor dependem de derivadas. Se a derivada necessária não existe no centro, o polinômio de Taylor daquela ordem não é válido.

Por exemplo, $f(x)=|x|$ tem um canto acentuado em $x=0$. Sua aproximação de ordem zero em $0$ é simplesmente

$$ P_0(x)=f(0)=0 $$

Porém, um polinômio de Taylor de primeira ordem em $0$ exigiria $f'(0)$, e essa derivada não existe. É por isso que a diferenciabilidade no ponto de expansão é importante antes de usar um polinômio de Taylor de ordem superior.

Como interpretar o resultado

O resultado mais importante é o polinômio de Taylor centrado. Ele é escrito em potências de $(x-a)$, o que deixa clara a função do ponto de expansão. Essa forma costuma mostrar a estrutura de Taylor de maneira mais direta, porque cada termo está ligado a um valor de derivada em $a$.

O polinômio expandido é a mesma aproximação reescrita em potências de $x$. Ele pode parecer diferente, mas representa o mesmo polinômio após a expansão algébrica. A forma centrada costuma ser melhor para entender a aproximação; a forma expandida é frequentemente útil para simplificar, comparar ou representar graficamente expressões polinomiais.

A tabela de derivadas e coeficientes explica de onde vem o polinômio. Cada linha relaciona um valor de derivada $f^{(k)}(a)$ a um coeficiente

$$ c_k = \frac{f^{(k)}(a)}{k!} $$

e, em seguida, ao termo correspondente

$$ c_k(x-a)^k $$

O gráfico compara a função original com o polinômio de Taylor perto do centro. Quando as curvas ficam próximas de $a$, o polinômio está funcionando como uma boa aproximação local. Se as curvas se separam ao se afastar de $a$, isso lembra que os polinômios de Taylor são ferramentas locais, a menos que se conheça um resultado mais amplo de convergência ou de erro.

Os diagnósticos da amostra informam o erro absoluto e relativo máximo observado em $a-2$, $a-1$, $a+1$ e $a+2$, juntamente com a quantidade de pontos ignorados fora do domínio real. Eles não devem ser interpretados como erros máximos possíveis em um intervalo. Um limite de erro rigoroso exige um argumento de resto de Taylor e informações sobre uma derivada em todo o intervalo considerado.

A estimativa do próximo termo dá uma ideia aproximada da escala do próximo termo omitido perto de $x=a+1$, quando a próxima derivada é finita. Ela é útil para a intuição, mas não é o mesmo que uma prova do erro.

A ordem mostrada no resultado é a ordem realmente usada. Esta ferramenta aceita ordens inteiras de $0$ a $10$; valores fora desse intervalo são rejeitados, em vez de serem alterados silenciosamente.

Erros e equívocos comuns

Esperar precisão longe do centro. Os polinômios de Taylor são construídos a partir de informações em um ponto. Eles costumam aproximar melhor perto desse ponto e podem se tornar aproximações ruins mais longe.

Confundir um polinômio de Taylor com uma série de Taylor. Um polinômio de Taylor tem um número finito de termos. Uma série de Taylor tem infinitos termos e levanta questões separadas sobre convergência.

Tratar o erro da amostra como um limite garantido. Algumas diferenças amostradas podem ser úteis, mas não substituem uma estimativa formal do resto.

Escolher um centro fora do domínio real. Por exemplo, $\ln(x)$ em $a=0$ ou $\sqrt{x}$ em um centro negativo não é válido no cálculo de valores reais. A função e as derivadas necessárias devem ser finitas no ponto de expansão.

Usar uma variável diferente de $x$. Esta calculadora foi projetada para funções de uma variável, $x$. Expressões que usam outra variável não representarão a entrada pretendida.

Usar uma sintaxe de função não compatível. Funções de uma variável, como sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, cbrt, abs, sec, csc e cot são compatíveis. Funções com múltiplos argumentos e nomes não compatíveis não são aceitos.

Esquecer que as entradas trigonométricas estão em radianos. As fórmulas de Taylor e de derivadas para funções trigonométricas usam radianos. Por exemplo, $\sin(x)$ significa o seno de $x$ radianos, não graus.

Inserir uma ordem não inteira. A ordem do polinômio de Taylor é um número inteiro. A ordem $0$ fornece uma aproximação constante, a ordem $1$ fornece uma aproximação linear e ordens inteiras maiores acrescentam mais termos.

Confundir as formas centrada e expandida. Os resultados centrado e expandido podem parecer diferentes, mas são duas formas da mesma aproximação polinomial.

Quando usar a aproximação por polinômios de Taylor

Use a aproximação por polinômios de Taylor quando quiser:

aproximar o valor de uma função perto de um ponto conveniente;
estudar como os valores das derivadas se tornam coeficientes polinomiais;
comparar diferentes ordens de polinômios visualmente ou numericamente;
entender a forma local de uma função perto de um ponto de expansão;
praticar polinômios de Maclaurin para funções centradas em $0$;
estimar valores simples de funções como $e^x$, $\sin(x)$, $\ln(1+x)$ e $\sqrt{1+x}$;
explorar por que os termos de ordem superior podem melhorar uma aproximação perto do centro.

Para demonstrações exatas, questões sobre intervalos de convergência ou limites de erro garantidos, use o teorema de Taylor e as estimativas do resto, em vez de depender apenas de um polinômio calculado ou de um gráfico.

Limitações e pontos importantes

Um polinômio de Taylor é uma aproximação local, não uma substituição global automática da função original. Uma boa correspondência perto do centro não significa que as duas expressões permanecerão próximas em todos os lugares.

A calculadora trabalha com funções reais de uma variável, $x$. Ela não é compatível com séries de Taylor de valores complexos, múltiplas variáveis ou funções fora da lista de funções de um argumento compatíveis.

O ponto de expansão deve ser finito, e os valores das derivadas necessárias da função devem ser finitos nesse ponto. Se uma derivada for indefinida ou não finita, o termo de Taylor correspondente não poderá ser formado.

A função original é verificada antes da simplificação algébrica, para que fatores indefinidos não sejam apagados silenciosamente. Polos trigonométricos e cantos de valor absoluto não resolvidos no centro são rejeitados. Identidades comuns e suaves de valores reais, como abs(x^2), abs(x)^2, cbrt(x^3) e cbrt(x)^3, são simplificadas com segurança.

A ordem polinomial compatível é limitada a números inteiros de $0$ a $10$. Ordens acima de $10$ não são calculadas como polinômios de Taylor verdadeiramente de ordem superior.

O resultado não determina um raio de convergência, um intervalo de convergência nem um limite rigoroso para o resto de Taylor. Esses elementos exigem uma análise adicional além do polinômio exibido.

Em pontos de expansão muito grandes, a conversão de potências centradas em $(x-a)$ para potências de $x$ pode causar overflow ou sofrer cancelamento severo. Nesse caso, a calculadora mantém o polinômio centrado válido e marca apenas a forma expandida como indisponível. Limites de complexidade da expressão e da derivada impedem que entradas simbólicas excepcionalmente grandes congelem a página.

Coeficientes finitos e diferentes de zero são preservados e exibidos com até 14 algarismos significativos. A notação científica é usada quando mantém valores muito pequenos ou muito grandes legíveis.

O gráfico é uma comparação adaptativa por amostragem perto do centro. Ele interrompe as curvas em falhas de domínio detectadas e saltos semelhantes a polos e usa um escalonamento vertical robusto, mas continua sendo um guia visual, não uma prova de continuidade ou precisão.

Para trabalhos acadêmicos, demonstrações, modelos de engenharia, cálculos científicos ou qualquer situação em que o erro seja importante, verifique novamente a álgebra do polinômio e use um limite de resto de Taylor adequado.

Como usar esta calculadora

Insira uma função de $x$, como sin(x), exp(x), ln(1+x), 1/(1-x) ou sqrt(1+x).
Insira o ponto de expansão $a$ onde o polinômio de Taylor deve ser centrado.
Escolha uma ordem inteira do polinômio de Taylor de $0$ a $10$.
Use um botão de exemplo se quiser preencher automaticamente uma função, um centro e uma ordem comuns.
Analise o polinômio centrado, o polinômio expandido, a tabela de derivadas e coeficientes, o gráfico e os cartões de informações.
Use a ação de limpar para redefinir as entradas.
Use a opção de baixar o gráfico, se disponível, para salvar o gráfico de comparação.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre um polinômio de Taylor e um polinômio de Maclaurin?

Um polinômio de Maclaurin é um polinômio de Taylor centrado em $a=0$. Todo polinômio de Maclaurin é um polinômio de Taylor, mas nem todo polinômio de Taylor é um polinômio de Maclaurin.

Um polinômio de Taylor de ordem superior sempre fornece uma aproximação melhor?

Uma ordem maior costuma melhorar a precisão perto do centro quando as derivadas necessárias existem e apresentam um bom comportamento. Isso não garante uma precisão melhor em todos os pontos, especialmente longe do centro ou perto de descontinuidades, cantos ou restrições de domínio.

Por que o ponto de expansão é importante?

O ponto de expansão é onde o polinômio coincide com os dados das derivadas da função. A aproximação costuma ser mais forte perto desse ponto, portanto escolher um centro próximo ao valor de $x$ de interesse costuma ser importante.

O que significa a ordem $0$?

A ordem $0$ usa somente o valor da função no centro. O resultado é o polinômio constante $P_0(x)=f(a)$, que é a aproximação de Taylor mais simples possível.

O erro da amostra é igual ao limite do resto de Taylor?

Não. Um erro de amostra se baseia em pontos finitos selecionados e fornece uma comparação rápida. Um limite para o resto de Taylor exige uma estimativa baseada em um teorema, usando o comportamento das derivadas em um intervalo.

Por que uma função pode falhar no ponto de expansão?

Um polinômio de Taylor precisa que a função e as derivadas necessárias estejam definidas e sejam finitas no centro. Funções como $\ln(x)$, $\sqrt{x}$, $\tan(x)$ ou $|x|$ podem falhar em determinados centros por causa de restrições de domínio, assíntotas verticais ou cantos não diferenciáveis.

Fontes e referências

Livros e livros didáticos abertos

Gilbert Strang e Edwin “Jed” Herman. Calculus Volume 2. OpenStax, 2016. Seções 6.3 “Taylor and Maclaurin Series” e 6.4 “Working with Taylor Series.” Section 6.3, Section 6.4, acessado em 4 de julho de 2026.
Joel Feldman, Andrew Rechnitzer e Elyse Yeager. CLP-1 Differential Calculus. University of British Columbia, 2016–2024. Seção 3.4 “Approximating Functions Near a Specified Point — Taylor Polynomials.” LibreTexts edition, UBC PDF edition, acessado em 4 de julho de 2026.
David Guichard. Calculus. Whitman College / Mathematics LibreTexts. Seção 11.12 “Taylor's Theorem.” Taylor's Theorem, acessado em 4 de julho de 2026.