Calculadora de Progressão Geométrica

Informe o primeiro termo, a razão e a quantidade de termos para calcular termos, somas parciais e o comportamento de uma progressão geométrica.

Os resultados são calculados automaticamente conforme você informa os valores.

Primeiro termo a₁ Razão r Número do termo n Número de termos da soma

Fórmulas e etapas

Termo de ordem n

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Pressupostos e limitações

Esta Calculadora de Progressão Geométrica destina-se ao uso educacional geral. Os resultados são estimativas ou resultados matemáticos baseados nos valores informados e nos pressupostos declarados, não uma orientação profissional de engenharia, segurança, finanças, direito ou área acadêmica. Verifique unidades, arredondamentos, fórmulas e limitações antes de usar os resultados em trabalhos importantes. Para usos profissionais, sensíveis à segurança, de construção, engenharia, oficiais ou de alto custo, confirme os resultados com um método adequado, normas atuais, tolerâncias exigidas e um profissional qualificado. O uso desta calculadora está sujeito aos nossos Termos de Uso.

▼ Veja explicações e dicas abaixo ▼

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O que é uma sequência geométrica?

Uma sequência geométrica é uma lista de números em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior pelo mesmo valor fixo. Esse multiplicador fixo é chamado de razão comum.

Por exemplo, esta é uma sequência geométrica:

$$ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48,\ldots $$

Cada termo é multiplicado por $2$ para obter o próximo termo, portanto a razão comum é $2$.

As sequências geométricas são úteis porque descrevem multiplicações repetidas. Isso as diferencia das sequências aritméticas, que usam adições repetidas. Padrões geométricos aparecem em crescimento exponencial, decaimento exponencial, duplicação repetida, redução pela metade repetida, depreciação, escalonamento, modelos populacionais e muitos problemas escolares sobre sequências.

Por que as sequências geométricas são importantes

As sequências geométricas ajudam a descrever padrões que mudam por um fator constante, em vez de uma quantidade constante.

Uma sequência geométrica pode modelar situações como:

uma quantidade que dobra a cada etapa
um valor que é reduzido pela metade repetidamente
uma população que aumenta pela mesma porcentagem a cada período
um saldo, custo ou medida que é multiplicado pelo mesmo fator ao longo do tempo
um padrão de termos que alterna os sinais porque a razão é negativa

A principal vantagem é que você não precisa listar todos os termos. Depois de conhecer o primeiro termo e a razão comum, é possível encontrar diretamente um termo posterior e somar uma quantidade finita de termos iniciais usando uma fórmula.

Termos importantes

Sequência: Uma lista ordenada de números.
Termo: Um número de uma sequência.
Primeiro termo, $a_1$: O valor inicial da sequência.
Razão comum, $r$: O multiplicador usado para passar de um termo ao seguinte.
Enésimo termo, $a_n$: O valor do termo na posição $n$.
Série geométrica finita: A soma de uma quantidade limitada de termos de uma sequência geométrica.
Soma parcial, $S_n$: A soma dos primeiros $n$ termos.
Crescimento: Um padrão em que o módulo dos termos aumenta porque o valor absoluto da razão é maior que $1$.
Decaimento: Um padrão em que o módulo dos termos diminui porque o valor absoluto da razão está entre $0$ e $1$.

Como funcionam as sequências geométricas e as somas finitas

Uma sequência geométrica começa com $a_1$. Para obter cada termo seguinte, multiplique pela razão comum $r$.

Os primeiros termos seguem este padrão:

$$ a_1,\ a_1r,\ a_1r^2,\ a_1r^3,\ldots $$

O expoente é um a menos que o número do termo porque o primeiro termo ainda não foi multiplicado por $r$. O segundo termo foi multiplicado uma vez, o terceiro, duas vezes, e assim por diante.

A fórmula do enésimo termo é:

$$ a_n = a_1r^{n-1} $$

Em que:

$a_1$ é o primeiro termo.
$r$ é a razão comum.
$n$ é o número do termo.
$a_n$ é o valor do enésimo termo.

Uma soma geométrica finita adiciona os primeiros termos da sequência. Para evitar confundir o número do termo solicitado com a quantidade de termos adicionados, vamos usar $m$ para representar a quantidade de termos da soma:

$$ S_m = a_1 \cdot \frac{1-r^m}{1-r}, \quad r \ne 1 $$

Where:

$S_m$ é a soma dos primeiros $m$ termos.
$m$ é a quantidade de termos incluídos na soma.
$r \ne 1$ significa que a fórmula é usada quando a razão não é $1$.

Quando $r = 1$, todos os termos são iguais ao primeiro termo. Nesse caso, a soma finita é mais simples:

$$ S_m = m \cdot a_1 $$

Exemplos práticos de sequências geométricas

Exemplo 1: uma sequência de crescimento

Suponha que o primeiro termo seja $3$, a razão comum seja $2$ e você queira o 6º termo.

Os primeiros termos são:

$$ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48,\ 96 $$

Use a fórmula do enésimo termo:

$$ a_6 = 3 \cdot 2^{6-1} $$

$$ a_6 = 3 \cdot 2^5 = 96 $$

Portanto, o 6º termo é $96$.

A soma dos 6 primeiros termos é:

$$ S_6 = 3 \cdot \frac{1-2^6}{1-2} $$

$$ S_6 = 3 \cdot \frac{1-64}{-1} $$

$$ S_6 = 189 $$

Isso corresponde à adição direta:

$$ 3+6+12+24+48+96=189 $$

Exemplo 2: uma sequência de decaimento

Suponha que o primeiro termo seja $64$, a razão comum seja $0.5$ e você queira o 7º termo.

The first terms are:

$$ 64,\ 32,\ 16,\ 8,\ 4,\ 2,\ 1 $$

Use the nth-term formula:

$$ a_7 = 64 \cdot 0.5^{7-1} $$

$$ a_7 = 64 \cdot 0.5^6 = 1 $$

A soma dos 7 primeiros termos é:

$$ S_7 = 64 \cdot \frac{1-0.5^7}{1-0.5} $$

$$ S_7 = 127 $$

Este é um padrão de decaimento porque cada termo corresponde à metade do termo anterior.

Exemplo 3: uma razão negativa

Suponha que o primeiro termo seja $4$ e a razão comum seja $-3$.

Os cinco primeiros termos são:

$$ 4,\ -12,\ 36,\ -108,\ 324 $$

Os sinais alternam porque multiplicar por um número negativo muda o sinal a cada vez.

O 5º termo é:

$$ a_5 = 4 \cdot (-3)^{5-1} $$

$$ a_5 = 4 \cdot (-3)^4 = 324 $$

A soma dos 5 primeiros termos é:

$$ S_5 = 4 \cdot \frac{1-(-3)^5}{1-(-3)} $$

$$ S_5 = 4 \cdot \frac{244}{4} = 244 $$

Uma razão negativa não significa que a sequência seja inválida. Isso significa que os termos alternam entre valores positivos e negativos.

Como interpretar o resultado

O resultado do enésimo termo, $a_n$, é o valor de um termo selecionado. Ele não inclui os termos anteriores.

O resultado da soma parcial, $S_n$, é o total de uma quantidade escolhida de termos iniciais. Na calculadora, o número do termo usado para $a_n$ e a quantidade de termos usada na soma podem ser diferentes; por isso, leia cada resultado separadamente.

Os seis primeiros termos e o gráfico de visualização mostram o início do padrão. Eles ajudam a observar se a sequência cresce, decai, permanece constante, chega a zero ou alterna os sinais. Eles não mostram necessariamente o enésimo termo solicitado quando o número do termo é maior que $6$.

A razão comum controla o padrão:

Se $r > 1$, a sequência cresce em módulo quando o primeiro termo é positivo.
Se $0 < r < 1$, a sequência decai em direção a zero.
Se $r = 1$, a sequência é constante.
Se $r = 0$, o primeiro termo é seguido por zeros.
Se $r < 0$, os termos alternam os sinais.
Se $|r| > 1$, os módulos crescem.
Se $0 < |r| < 1$, os módulos diminuem.

Se o primeiro termo for negativo, o sinal dos termos muda o padrão visual, mas a razão ainda determina o multiplicador repetido.

Erros comuns e conceitos equivocados

Confundir razão com diferença. Uma sequência geométrica usa multiplicação. Uma sequência aritmética usa adição. A sequência $3, 6, 12, 24$ é geométrica porque cada termo é multiplicado por $2$; as diferenças não são constantes.

Usar o número de termo errado. A fórmula $a_n = a_1r^{n-1}$ usa $n-1$ no expoente. Um erro comum é usar $r^n$, o que desloca o resultado em um termo.

Inserir um número decimal ou zero para a quantidade de termos. Os números dos termos e as quantidades de termos da soma devem ser números inteiros positivos. Não existe um 2,5º termo em uma lista comum de sequência, e esta calculadora começa a contar pelo termo $1$.

Digitar uma expressão fracionária em vez de um decimal. Se a razão for um meio, insira $0.5$ em vez de uma expressão fracionária como $1/2$.

Esperar que a soma parcial seja uma soma infinita. O resultado da soma é finito. Ele adiciona apenas a quantidade de termos que você escolher.

Esquecer que razões negativas alternam os sinais. Uma razão como $-2$ multiplica o módulo por $2$ e inverte o sinal a cada etapa.

Arredondar cedo demais. Se uma razão tiver muitas casas decimais, arredondá-la antes do cálculo pode alterar significativamente os termos posteriores, especialmente quando o número do termo é grande.

Quando usar sequências geométricas

Use sequências geométricas quando um padrão mudar por multiplicação repetida.

Os usos comuns incluem:

encontrar um termo posterior em um padrão de duplicação, triplicação, redução pela metade ou escalonamento
estudar crescimento e decaimento exponenciais em álgebra
somar uma quantidade finita de termos em uma progressão geométrica
verificar se uma sequência tem uma razão constante
comparar valores de termos individuais com totais acumulados
explorar padrões de sinais alternados causados por razões negativas
ensinar ou aprender a diferença entre sequências aritméticas e geométricas

Limitações e pontos importantes

Esta calculadora pressupõe que a sequência tenha valores reais e seja geométrica. Ela não verifica se uma lista aleatória de termos é geométrica; ela constrói a sequência a partir do primeiro termo e da razão comum que você inserir.

A calculadora funciona apenas com valores numéricos. Expressões simbólicas, formas algébricas exatas, números complexos e textos de frações como $1/2$ não são compatíveis. Use números decimais para razões fracionárias.

Os números dos termos e as quantidades de termos da soma devem ser números inteiros positivos. Valores como $0$, quantidades negativas de termos e números decimais de termos não são válidos para esta calculadora.

A soma é uma soma parcial finita. Ela não calcula o limite de uma série geométrica infinita. Para um primeiro termo diferente de zero, uma série geométrica infinita converge exatamente quando $|r|<1$, e sua soma limite é $a_1/(1-r)$; esta calculadora não calcula esse limite.

Os resultados exibidos são arredondados para uma quantidade prática de casas decimais; portanto, resultados decimais longos devem ser considerados aproximados. Razões muito grandes ou números de termos muito grandes também podem produzir valores grandes demais para serem exibidos com segurança.

A fórmula de sequência constante é usada somente quando $r=1$ exatamente. Para razões próximas de $1$, a calculadora usa um cálculo de soma finita numericamente estável, em vez de tratar uma sequência variável como constante.

O gráfico de visualização mostra apenas os seis primeiros termos. Para números de termos maiores, use o resultado do enésimo termo e a substituição na fórmula, em vez de presumir que o gráfico inclua todos os termos.

Para trabalhos escolares, modelagem relacionada a finanças, engenharia, segurança, registros oficiais ou qualquer decisão de alto risco, confira os valores e as fórmulas. Uma calculadora pode ajudar na aritmética, mas não substitui o julgamento sobre a adequação de um modelo geométrico.

Como usar esta calculadora

Insira o primeiro termo da sequência geométrica.
Insira a razão comum, que é o multiplicador de um termo para o seguinte.
Insira o termo $n$, um número inteiro positivo, cujo valor você deseja encontrar.
Insira a quantidade, um número inteiro positivo, de termos iniciais a incluir na soma parcial.
Confira o resultado do enésimo termo, os seis primeiros termos e o resultado da soma parcial.
Use os cartões de fórmulas para ver como os seus valores se encaixam nas fórmulas do enésimo termo e da soma finita.
Use as predefinições de exemplo de crescimento ou decaimento para carregar valores de amostra, limpe os valores quando quiser recomeçar ou baixe o gráfico de visualização como PNG.

Perguntas frequentes

O que é a razão comum em uma sequência geométrica?

A razão comum é o multiplicador fixo usado para passar de um termo ao seguinte. Se uma sequência for $5, 15, 45, 135$, a razão comum será $3$, porque cada termo é multiplicado por $3$.

Em que uma sequência geométrica é diferente de uma sequência aritmética?

Uma sequência geométrica muda por multiplicação repetida. Uma sequência aritmética muda por adição repetida. Por exemplo, $2, 4, 8, 16$ é geométrica, enquanto $2, 4, 6, 8$ é aritmética.

Por que a fórmula do enésimo termo usa $n-1$?

O primeiro termo já é dado como $a_1$, portanto foi multiplicado pela razão zero vezes. O segundo termo tem uma multiplicação, o terceiro tem duas, e o enésimo termo tem $n-1$ multiplicações.

O que acontece quando a razão comum é $1$?

Quando $r=1$, todos os termos são iguais ao primeiro termo. O enésimo termo é $a_1$, e a soma dos primeiros $m$ termos é $m \cdot a_1$.

O que acontece quando a razão comum é $0$?

Quando $r=0$, o primeiro termo permanece como foi inserido e todos os termos posteriores se tornam $0$. Por exemplo, se $a_1=9$ e $r=0$, a sequência é $9, 0, 0, 0,\ldots$.

A soma parcial é igual a uma série geométrica infinita?

Não. A soma parcial adiciona apenas uma quantidade finita de termos iniciais. Para um primeiro termo diferente de zero, uma série geométrica infinita converge somente quando $|r|<1$, com soma limite $a_1/(1-r)$. Esta calculadora ainda informa apenas somas parciais finitas.

Fontes e referências

Livros

Jay Abramson. Álgebra universitária, 2ª edição. OpenStax, 2021. Capítulo 9.3, “Sequências geométricas”, e capítulo 9.4, “Séries e suas notações”. Capítulo 9.3 e Capítulo 9.4.
Lynn Marecek e Andrea Honeycutt Mathis. Álgebra intermediária, 2ª edição. OpenStax, 2020. Capítulo 12.3, “Sequências e séries geométricas”. Capítulo 12.3.
Donna Kirk. Matemática contemporânea. OpenStax, 2023. Seção 3.11, “Sequências geométricas”. Seção 3.11.