Calculadora de Permutações

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Os resultados são calculados automaticamente conforme você informa os dados.

Total de itens n Itens escolhidos r

Fórmula e interpretação

Permutação nPr

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Premissas e limitações

Esta Calculadora de Permutações destina-se ao uso educacional geral. Os resultados são estimativas ou resultados matemáticos com base nos valores informados e nas premissas declaradas; não constituem aconselhamento profissional de engenharia, segurança, financeiro, jurídico ou acadêmico. Confira as unidades, os arredondamentos, as fórmulas e as limitações antes de usar os resultados em trabalhos importantes. Para usos profissionais, relacionados à segurança, construção, engenharia, oficiais ou de alto custo, confira os resultados usando um método apropriado, normas atualizadas, tolerâncias necessárias e a orientação de um profissional qualificado. O uso desta calculadora está sujeito aos nossos Termos de Uso.

▼ Veja explicações e dicas abaixo ▼

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O que são permutações?

Uma permutação é um arranjo ordenado de itens. A ideia principal é que os mesmos itens podem formar permutações diferentes quando aparecem em uma ordem diferente.

Por exemplo, as letras A, B e C podem ser organizadas como ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. Essas são permutações diferentes porque a ordem muda.

As permutações são úteis quando você precisa contar resultados ordenados sem listar cada possibilidade uma por uma. Elas aparecem com frequência em probabilidade, cronogramas, classificações, senhas, resultados de corridas, planos de assentos e atribuições de funções.

A contagem de permutações geralmente responde a uma pergunta como: “De quantas maneiras posso preencher $r$ posições ordenadas usando $n$ itens distintos disponíveis, sem usar nenhum item mais de uma vez?”

Por que as permutações são importantes

As permutações ajudam a transformar um problema longo de contagem em um cálculo curto. Em vez de escrever todas as ordens possíveis, você conta quantas escolhas estão disponíveis em cada etapa e multiplica essas escolhas.

Isso é importante porque as possibilidades ordenadas podem crescer muito rapidamente. Uma pequena mudança em $n$ ou $r$ pode criar muitos outros resultados. Por exemplo, escolher três vencedores classificados entre oito concorrentes gera muito mais resultados do que simplesmente escolher um grupo não ordenado de três concorrentes.

As permutações são especialmente úteis quando cada posição tem um significado diferente, como primeiro, segundo e terceiro lugares; presidente, vice-presidente e tesoureiro; ou o primeiro, segundo e terceiro caracteres de um código.

Termos importantes

Permutação: Um arranjo ordenado dos itens selecionados.
$n$: O número total de itens distintos ou escolhas disponíveis.
$r$: O número de posições ordenadas a preencher.
Fatorial: O produto de todos os números inteiros positivos, de um número até $1$. Por exemplo, $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$.
$0!$: Definido como $1$, o que faz as fórmulas de permutação funcionarem quando nenhuma posição é selecionada.
Produto decrescente: Um produto que começa em $n$ e diminui em $1$ a cada posição ordenada.
Combinação: Uma seleção não ordenada. As combinações contam grupos, enquanto as permutações contam arranjos ordenados.

Como funcionam as permutações

As permutações se baseiam na regra da multiplicação para contagem. Se uma tarefa tem várias escolhas possíveis e a tarefa seguinte tem menos escolhas restantes, o número total de resultados ordenados é encontrado multiplicando o número de escolhas em cada etapa.

Em uma permutação sem repetição, a primeira posição tem $n$ escolhas. Depois que um item é usado, a segunda posição tem $n - 1$ escolhas. A terceira posição tem $n - 2$ escolhas, e o padrão continua até que $r$ posições sejam preenchidas.

A fórmula da permutação é:

$$ {}_{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!} $$

Onde:

$n$ é o número total de itens distintos disponíveis.
$r$ é o número de posições ordenadas que estão sendo preenchidas.
$n!$ é o fatorial de $n$.
$(n-r)!$ cancela os fatores finais não utilizados.

A mesma ideia pode ser escrita como um produto decrescente:

$$ {}_{n}P_{r} = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-r+1) $$

Essa versão em produto decrescente geralmente facilita a compreensão: multiplique um fator para cada posição ordenada.

Exemplos práticos de permutações

Exemplo 1: organizando 3 itens de um total de 8

Suponha que haja 8 itens disponíveis e que você queira organizar 3 deles em ordem. Nesse caso, $n = 8$ e $r = 3$.

Usando a fórmula:

$$ {}_{8}P_{3} = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} $$

Cancelar $5!$ deixa o produto decrescente:

$$ {}_{8}P_{3} = 8 \times 7 \times 6 = 336 $$

Há $336$ arranjos ordenados.

Exemplo 2: atribuindo funções diferentes em um clube

Um clube tem 10 membros e precisa escolher um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. As funções são diferentes, portanto a ordem importa. Escolher Alex como presidente e Jordan como tesoureiro não é o mesmo que escolher Jordan como presidente e Alex como tesoureiro.

Nesse caso, $n = 10$ e $r = 4$:

$$ {}_{10}P_{4} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040 $$

Há $5{,}040$ maneiras de atribuir as quatro funções.

Exemplo 3: escolhendo zero posições ordenadas

Se $r = 0$, há uma maneira de escolher e organizar nada. Isso é chamado de produto vazio.

Por exemplo:

$$ {}_{5}P_{0} = \frac{5!}{(5-0)!} = \frac{5!}{5!} = 1 $$

O resultado não é zero porque existe exatamente um arranjo vazio.

Permutações vs. combinações

Permutações e combinações contam seleções de um conjunto maior, mas respondem a perguntas diferentes.

Situação	A ordem importa?	Use
Atribuição de medalhas de ouro, prata e bronze	Sim	Permutação
Escolha de três pessoas para um comitê não ordenado	Não	Combinação
Atribuição de presidente, vice-presidente e tesoureiro	Sim	Permutação
Seleção de três coberturas sem ordem	Não	Combinação

A contagem de combinações para os mesmos $n$ e $r$ geralmente é menor do que a contagem de permutações, porque trata ordens diferentes dos mesmos itens selecionados como o mesmo grupo.

A relação é:

$$ {}_{n}C_{r} = \frac{{}_{n}P_{r}}{r!} $$

De forma equivalente:

$$ {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} $$

Por exemplo, ${}_{8}P_{3} = 336$, mas:

$$ {}_{8}C_{3} = \frac{336}{3!} = \frac{336}{6} = 56 $$

O resultado da combinação é menor porque cada grupo de 3 itens distintos pode ser ordenado de $3! = 6$ maneiras diferentes.

Como interpretar o resultado

O resultado da permutação é o número de arranjos ordenados de $r$ posições distintas escolhidas entre $n$ itens disponíveis.

Um resultado maior significa que há mais ordens possíveis. Isso pode acontecer porque há mais itens disponíveis, mais posições a preencher ou ambos. As contagens de permutações geralmente crescem rapidamente porque cada posição extra acrescenta outro fator de multiplicação.

O resultado é uma contagem inteira, não uma medida com unidades. Um resultado de $336$ significa que existem exatamente 336 arranjos ordenados válidos sob as condições do cálculo.

Quando uma comparação com combinações for exibida, use-a para verificar se a ordem está alterando a contagem. Para $r = 0$ e $r = 1$, as contagens de permutações e combinações são iguais. Na maioria dos casos em que $r \ge 2$, a contagem de permutações é maior porque cada grupo não ordenado pode ser organizado em mais de uma ordem.

Se um resultado muito grande for abreviado na exibição principal, ele não foi arredondado. Ele apenas foi abreviado para facilitar a leitura. A exibição do resultado exato mostra o valor inteiro completo.

Erros e equívocos comuns

Usar permutações quando a ordem não importa. Se você está apenas escolhendo um grupo e a ordem não tem significado, use combinações.

Usar combinações quando a ordem importa. Se cada item selecionado ocupa uma posição, classificação, função ou sequência específica, use permutações.

Informar $r$ maior que $n$. Em permutações sem reposição, você não pode preencher mais posições do que o número de itens distintos disponíveis.

Tentar usar números decimais ou negativos. As permutações neste contexto contam itens e posições inteiros, portanto $n$ e $r$ devem ser números inteiros não negativos.

Confundir abreviação com arredondamento. Um resultado grande abreviado é apenas uma escolha de exibição. A contagem exata continua sendo um número inteiro.

Esquecer que $r = 0$ resulta em $1$. Existe uma maneira de organizar zero itens selecionados: o arranjo vazio.

Usar a fórmula simples de permutação para itens repetidos ou indistinguíveis. Se alguns itens forem idênticos, como letras repetidas em uma palavra, a fórmula padrão ${}_{n}P_{r}$ para itens distintos pode contar possibilidades a mais.

Quando usar permutações

Use permutações quando:

Os itens são distintos.
A ordem importa.
Os itens são selecionados sem reposição.
Você está preenchendo funções, classificações, espaços, posições ou lugares em uma sequência.
Você precisa de uma contagem dos resultados ordenados possíveis, e não de uma lista dos resultados.

Exemplos comuns incluem colocações em corridas, ordens dos assentos em uma sala de aula, eleições de dirigentes, atribuições de prêmios classificados, códigos ordenados sem caracteres repetidos e arranjos de objetos selecionados.

Limitações e pontos importantes

Este cálculo pressupõe que todos os itens disponíveis são distintos e que nenhum item pode ser reutilizado depois de escolhido. É por isso que os fatores diminuem de $n$ até $n-r+1$.

Ele não abrange permutações com repetição. Por exemplo, um código que permite que o mesmo algarismo apareça mais de uma vez usa um método de contagem diferente.

Ele também não abrange permutações de multiconjuntos, nas quais alguns itens são idênticos. Por exemplo, organizar as letras de uma palavra com letras repetidas exige um ajuste para as duplicatas.

As entradas devem ser números inteiros não negativos. Valores como números decimais, números negativos, números formatados com vírgula, espaços dentro do número, sinais de mais e notação científica não fazem parte do formato de entrada aceito por esta calculadora.

A calculadora aceita entradas válidas de até 500. Esse é um limite de legibilidade e praticidade, não um limite matemático para permutações.

Os resultados das permutações são números inteiros exatos. Nenhum arredondamento decimal é aplicado. No entanto, valores longos podem ser abreviados visualmente em algumas áreas de resultado, e produtos decrescentes longos podem mostrar apenas os primeiros fatores seguidos de reticências.

Como usar esta calculadora

Informe o número total de itens disponíveis como $n$.
Informe o número de posições ordenadas ou itens selecionados como $r$.
Certifique-se de que ambos os valores sejam números inteiros de $0$ a $500$ e de que $r \le n$.
Leia o resultado ${}_{n}P_{r}$ como o número de arranjos ordenados.
Use a substituição na fórmula, o produto decrescente, o resultado exato e a comparação com combinações para entender como a resposta foi obtida.
Use os controles de exemplo, se disponíveis, para carregar valores de amostra como $n = 8, r = 3$ ou $n = 10, r = 4$.
Use o controle de limpeza para redefinir ambas as entradas.

Perguntas frequentes

O que significa $nPr$?

$nPr$ significa o número de permutações de $n$ itens distintos tomados $r$ de cada vez. Ele conta arranjos ordenados, portanto mudar a ordem cria um resultado diferente.

Qual é a diferença entre $nPr$ e $nCr$?

$nPr$ conta arranjos ordenados, enquanto $nCr$ conta seleções não ordenadas. Se a ordem importa, use $nPr$; se a ordem não importa, use $nCr$.

Por que a fórmula divide por $(n-r)!$?

O fatorial $n!$ organiza todos os $n$ itens. Dividir por $(n-r)!$ remove a parte não utilizada do arranjo completo, deixando apenas as $r$ posições relevantes.

Por que ${}_{n}P_{0} = 1$?

Existe exatamente uma maneira de escolher e organizar nada. Esse é o arranjo vazio, e ele corresponde à fórmula do fatorial porque $n! \div n! = 1$.

As permutações podem incluir itens repetidos?

O cálculo básico de $nPr$ apresentado aqui pressupõe itens distintos e nenhuma reposição. Itens ou seleções repetidos exigem um método diferente, como permutações com repetição ou permutações de multiconjuntos.

Por que meu resultado é tão grande?

As contagens de permutações crescem rapidamente porque cada posição ordenada acrescenta outro fator de multiplicação. Mesmo valores moderados de $n$ e $r$ podem produzir números inteiros exatos muito grandes.

Um resultado abreviado é arredondado?

Não. Uma exibição abreviada é apenas uma abreviação para facilitar a leitura. O resultado exato continua sendo uma contagem inteira e é mostrado na área de resultado exato quando disponível.

Fontes e referências

Livros

Donna Kirk. Contemporary Mathematics. OpenStax, 2023. Capítulo 7, seções 7.1 "The Multiplication Rule for Counting", 7.2 "Permutations" e 7.3 "Combinations". https://openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/7-1-the-multiplication-rule-for-counting, https://openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/7-2-permutations e https://openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/7-3-combinations. Acesso em 4 de julho de 2026.
Jay Abramson. College Algebra 2e. OpenStax, 2021. Capítulo 9, seção 9.5 "Counting Principles". https://openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/9-5-counting-principles. Acesso em 4 de julho de 2026.