Calculadora de Partições de Inteiros
Conte, liste e visualize partições de inteiros com restrições e diagramas de Ferrers.
Os resultados são calculados automaticamente à medida que você informa os dados.
Número de partições
Os diagramas de Ferrers são apenas exemplos visuais; o número de partições e as partições listadas abaixo fornecem o resultado equivalente em texto.
▼ Veja explicações e dicas abaixo ▼
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O que são partições inteiras restritas?
Uma partição inteira é uma forma de escrever um inteiro não negativo como uma soma de inteiros positivos, sem considerar ordens diferentes como respostas diferentes. Por exemplo, \(4\) tem cinco partições irrestritas:
$$
4,\quad 3+1,\quad 2+2,\quad 2+1+1,\quad 1+1+1+1
$$
A ordem das parcelas não importa, portanto \(3+1\) e \(1+3\) são a mesma partição. Para evitar repetições, as partições geralmente são escritas com a maior parcela primeiro.
Uma partição inteira restrita acrescenta regras à ideia básica. As restrições comuns incluem permitir apenas parcelas até um valor máximo, exigir exatamente \(k\) parcelas ou exigir que todas as parcelas sejam distintas. Essas restrições alteram a contagem porque eliminam algumas somas que, de outra forma, seriam válidas.
As partições inteiras são úteis porque transformam a pergunta “de quantas formas esse total pode ser formado?” em uma questão precisa de contagem. Elas aparecem em combinatória, teoria dos números, álgebra, probabilidade e algoritmos de computador, além de serem uma boa forma de aprender como as restrições afetam um problema de contagem.
Por que as partições inteiras são importantes
As partições inteiras ajudam a separar duas ideias importantes: escolher valores e organizá-los. Em uma partição, os valores importam, mas a ordem deles não. Isso diferencia as partições de listas ordenadas, cronogramas, sequências ou organizações passo a passo.
Essa distinção é útil em vários contextos:
- Na matemática, as partições são um exemplo central de combinatória e funções geradoras.
- No ensino, elas mostram como uma pergunta simples de contagem pode crescer rapidamente à medida que \(n\) aumenta.
- Em algoritmos, elas fornecem um exemplo natural de recursão e programação dinâmica.
- Na visualização, os diagramas de Ferrers transformam uma soma em uma forma geométrica, facilitando a percepção de relações ocultas.
As restrições tornam o tema mais prático. Por exemplo, “particionar \(8\) em exatamente três parcelas, cada uma não maior que \(5\)” é mais específico do que simplesmente pedir todas as partições de \(8\).
Termos importantes
- Partição: Soma não ordenada de inteiros positivos que é igual a um inteiro não negativo desejado.
- Parcela: Um inteiro positivo da soma. Em \(5+2+1\), as parcelas são \(5\), \(2\) e \(1\).
- Função de partição: A função geralmente escrita como \(p(n)\), que conta as partições irrestritas de \(n\).
- Partição restrita: Uma partição que deve satisfazer uma ou mais condições adicionais, como um tamanho máximo de parcela ou um número exato de parcelas.
- Parcelas distintas: Regra segundo a qual cada tamanho de parcela pode aparecer no máximo uma vez. Por exemplo, \(5+2+1\) tem parcelas distintas, mas \(4+2+2\) não.
- Número exato de parcelas: Regra que exige que a partição use exatamente \(k\) parcelas.
- Maior parcela: O maior valor permitido para qualquer parcela da partição.
- Composição: Uma soma ordenada. As composições contam ordens diferentes separadamente, portanto não são iguais a partições.
- Função geradora: Uma série de potências cujos coeficientes codificam as contagens de uma sequência ou de um problema de contagem.
- Extração de coeficiente: A notação \([x^n]F(x)\), que significa “o coeficiente de \(x^n\) em \(F(x)\)”.
- Diagrama de Ferrers: Um diagrama de blocos ou pontos para uma partição, com uma linha para cada parcela e uma célula para cada unidade dessa parcela.
Como funcionam as partições inteiras restritas
Uma contagem de partições pode ser construída recursivamente. Comece com o total que ainda resta. Escolha a próxima parcela, que não pode ser maior que a maior parcela atualmente permitida. Subtraia essa parcela do total restante e repita.
Escrever as parcelas da maior para a menor é o que impede a contagem excessiva. Quando uma partição começa com \(4\), a próxima parcela pode ser \(4\) ou menor quando parcelas repetidas são permitidas. Se as parcelas distintas forem obrigatórias, a próxima parcela deve ser estritamente menor.
Por exemplo, para particionar \(8\) com parcelas repetidas permitidas, um ramo que começa com \(5\) continua particionando o total restante \(3\) usando parcelas não maiores que \(5\). Se as parcelas distintas forem obrigatórias, depois de escolher \(5\), a próxima parcela permitida é, no máximo, \(4\).
As funções geradoras oferecem uma forma algébrica e compacta de descrever o mesmo problema de contagem. Se forem permitidas parcelas até \(M\) e parcelas repetidas puderem ser usadas, a contagem é o coeficiente de \(x^n\) neste produto:
$$
P_{\le M}(n) = [x^n]\prod_{i=1}^{M}\frac{1}{1-x^i}
$$
O fator correspondente ao tamanho de parcela \(i\) representa o uso de \(0,1,2,3,\ldots\) cópias desse tamanho de parcela.
Se a partição precisar usar exatamente \(k\) parcelas, uma segunda variável poderá acompanhar quantas parcelas foram escolhidas:
$$
P_{\le M,k}(n) = [x^n y^k]\prod_{i=1}^{M}\frac{1}{1-yx^i}
$$
Se cada tamanho de parcela puder ser usado no máximo uma vez, cada tamanho de parcela será incluído ou não incluído:
$$
D_{\le M}(n) = [x^n]\prod_{i=1}^{M}(1+x^i)
$$
Com parcelas distintas e exatamente \(k\) parcelas, a forma correspondente do coeficiente é:
$$
D_{\le M,k}(n) = [x^n y^k]\prod_{i=1}^{M}(1+yx^i)
$$
Essas fórmulas não significam que você precise desenvolver todo o produto à mão. Elas explicam o que a contagem representa: o coeficiente do termo cujo expoente corresponde ao total desejado e, quando necessário, ao número de parcelas.
Exemplos práticos de partições inteiras
Exemplo 1: Partições irrestritas de 5
As partições irrestritas de \(5\) são:
$$
5
$$
$$
4+1
$$
$$
3+2
$$
$$
3+1+1
$$
$$
2+2+1
$$
$$
2+1+1+1
$$
$$
1+1+1+1+1
$$
Portanto, a contagem de partições irrestritas é:
$$
p(5)=7
$$
A soma \(1+4\) não é listada separadamente, porque é a mesma partição que \(4+1\).
Exemplo 2: Partições de 8 em exatamente 3 parcelas, com maior parcela 5
Agora, acrescente duas restrições:
- O total deve ser \(8\).
- A partição deve usar exatamente \(3\) parcelas.
- Nenhuma parcela pode ser maior que \(5\).
Com parcelas repetidas permitidas, as partições correspondentes são:
$$
5+2+1
$$
$$
4+3+1
$$
$$
4+2+2
$$
$$
3+3+2
$$
Portanto, a contagem restrita é:
$$
4
$$
A partição \(6+1+1\) não é permitida porque \(6\) é maior que a maior parcela \(5\). A partição \(5+3\) não é permitida porque tem apenas duas parcelas.
Exemplo 3: Partições distintas de 8
Se todas as parcelas precisarem ser distintas, não serão permitidos tamanhos de parcela repetidos. As partições distintas de \(8\) são:
$$
8
$$
$$
7+1
$$
$$
6+2
$$
$$
5+3
$$
$$
5+2+1
$$
$$
4+3+1
$$
Portanto, a contagem com parcelas distintas é:
$$
6
$$
A partição irrestrita \(4+2+2\) é excluída porque a parcela \(2\) aparece duas vezes.
Exemplo 4: O caso extremo n = 0
O número \(0\) tem uma partição especial: a partição vazia. Ela não usa parcelas positivas e tem soma \(0\).
Isso significa que a contagem para \(n=0\) é compatível com uma configuração de parcelas exatas em branco ou com um valor de parcelas exatas igual a \(0\):
$$
0 = \text{empty sum}
$$
Matematicamente, não há como particionar \(0\) em uma ou mais parcelas positivas. Esta calculadora aceita parcelas exatas somente de \(0\) a \(n\), portanto rejeita um valor maior com uma mensagem de entrada em vez de calcular zero.
Como interpretar o resultado
A contagem principal é o número total de partições que correspondem às restrições selecionadas. Ela não é necessariamente igual ao número de linhas exibidas na lista, porque a lista pode ter um limite.
Cada partição listada é escrita em ordem decrescente. Por exemplo, \(5+2+1\) representa a mesma partição que \(2+5+1\), mas somente a forma decrescente é exibida.
O número de parcelas informa quantas parcelas há em uma partição listada. Para \(5+2+1\), o número de parcelas é \(3\).
A maior parcela é o primeiro valor da partição decrescente. Para \(5+2+1\), a maior parcela é \(5\).
Um diagrama de Ferrers transforma cada partição listada em linhas de células. Uma partição como \(5+2+1\) tem uma linha com \(5\) células, uma linha com \(2\) células e uma linha com \(1\) célula. O diagrama é uma representação visual da partição, não um gráfico de frequências.
A tabela relacionada \(m\) compara as contagens de totais menores sob o mesmo tipo de restrições. Isso ajuda a mostrar como a contagem muda à medida que o valor desejado muda.
Erros comuns e equívocos
Confundir partições com composições. Em uma partição, a ordem não importa. Em uma composição, a ordem importa. As somas \(5+2+1\), \(5+1+2\) e \(1+5+2\) são uma única partição, mas três organizações ordenadas diferentes.
Supor que a lista exibida seja sempre o conjunto completo. A contagem total pode ser maior que o limite da lista exibida. Quando apenas parte da lista é mostrada, use a contagem total como resposta efetiva.
Inserir um decimal esperando um problema de partições fracionárias. As partições inteiras usam inteiros. Entradas decimais, em notação científica, negativas ou fora do intervalo são rejeitadas, em vez de arredondadas, truncadas ou limitadas.
Deixar Parcelas exatas em branco quando você quer zero parcelas. Uma configuração de parcelas exatas em branco significa que qualquer número de parcelas é permitido. Para exigir exatamente zero parcelas, use um valor de parcelas exatas igual a \(0\).
Deixar Maior parcela permitida em branco sem perceber o que isso significa. Uma configuração de maior parcela em branco permite parcelas até o valor desejado \(n\).
Ativar Distintas esperando que parcelas repetidas continuem válidas. O modo distinto significa que cada tamanho de parcela pode aparecer no máximo uma vez. Uma partição como \(3+3+2\) é inválida no modo distinto porque \(3\) aparece duas vezes.
Interpretar um diagrama de Ferrers como um gráfico de frequência. Os diagramas de Ferrers mostram os tamanhos das parcelas como comprimentos de linhas. Eles não mostram quantas vezes cada número aparece, a menos que você interprete as linhas com atenção.
Quando usar partições inteiras
Use partições inteiras quando precisar contar formas não ordenadas de dividir um total inteiro em parcelas inteiras positivas.
Elas são especialmente úteis quando você quer:
- Contar todas as somas não ordenadas de um inteiro não negativo.
- Comparar problemas de contagem irrestritos e restritos.
- Exigir exatamente uma determinada quantidade de parcelas.
- Limitar a maior parcela permitida.
- Permitir ou proibir tamanhos de parcela repetidos.
- Visualizar partições com diagramas de Ferrers.
- Relacionar um problema de contagem a recursão, programação dinâmica ou funções geradoras.
Não use partições inteiras quando a ordem dos termos importar. Nesse caso, você geralmente está trabalhando com composições ou outro modelo de contagem ordenada.
Limitações e pontos importantes
As partições inteiras contam somas não ordenadas de inteiros positivos. Elas não contam organizações ordenadas. Se a ordem importar, a contagem de partições será pequena demais para o seu problema.
A calculadora aceita um valor inteiro desejado de \(0\) a \(120\). Entradas fora desse intervalo e entradas que não sejam números inteiros são rejeitadas com uma mensagem de entrada, em vez de ajustadas.
A lista de partições exibida tem um limite. O limite da lista controla quantos exemplos são mostrados, não o número total de partições correspondentes. A contagem total continua sendo o resultado principal.
O limite máximo da lista exibida é de \(200\) partições. Os diagramas de Ferrers são mostrados apenas para as primeiras partições listadas, portanto são uma visualização de amostra, não um diagrama de todas as partições correspondentes.
As entradas decimais não são interpretadas como problemas de partições fracionárias. Elas são rejeitadas antes do cálculo; a calculadora não trunca entradas numéricas para transformá-las em números inteiros.
As restrições disponíveis abrangem o tamanho máximo da parcela, o número exato de parcelas e as parcelas distintas. Outras restrições possíveis, como tamanho mínimo de parcela, apenas parcelas ímpares, apenas parcelas pares, tamanhos de parcela excluídos ou “no máximo \(k\) parcelas”, não são opções separadas aqui.
Para trabalhos em sala de aula, demonstrações ou resultados publicados, confira a convenção exata utilizada. Alguns livros e cursos usam uma notação ligeiramente diferente para funções de partição, diagramas e contagens restritas.
Como usar esta calculadora
- Insira o inteiro desejado \(n\).
- Deixe Parcelas exatas em branco para permitir qualquer número de parcelas ou insira um inteiro não negativo para exigir exatamente essa quantidade de parcelas.
- Deixe Maior parcela permitida em branco para permitir parcelas até \(n\) ou insira o maior valor de parcela que deseja permitir.
- Marque Distintas se cada tamanho de parcela puder ser usado no máximo uma vez. Deixe desmarcado se parcelas repetidas forem permitidas.
- Defina o limite da lista exibida se quiser mostrar menos ou mais exemplos.
- Primeiro, confira a contagem total; depois, use as partições listadas, os diagramas de Ferrers e a tabela de contagens relacionada para entender o resultado.
- Use a opção de baixar o gráfico quando um diagrama de Ferrers for mostrado e você quiser salvá-lo como PNG.
Perguntas frequentes
\(3+2\) é diferente de \(2+3\)?
Não. Para partições inteiras, a ordem não importa. As duas somas usam as mesmas parcelas e representam a mesma partição de \(5\).
Qual é a diferença entre uma partição e uma composição?
Uma partição é uma soma não ordenada, enquanto uma composição é uma soma ordenada. Os valores \(4+1\) e \(1+4\) são uma única partição, mas duas composições diferentes.
O que significa “parcelas distintas”?
Parcelas distintas significa que nenhum tamanho de parcela pode se repetir. Por exemplo, \(5+2+1\) é permitido, mas \(4+2+2\) não é, porque a parcela \(2\) aparece duas vezes.
Por que \(n=0\) pode ter uma partição?
Por convenção, \(0\) tem uma partição vazia. Ela é a soma vazia: nenhuma parcela positiva é usada e o total é \(0\).
O limite da lista exibida altera a contagem total?
Não. O limite da lista exibida controla quantas partições correspondentes são mostradas como exemplos. A contagem total ainda representa todas as partições correspondentes sob as restrições selecionadas.
O que acontece se eu inserir uma quantidade exata de parcelas maior que \(n\)?
Matematicamente, nenhuma partição de um \(n\) positivo pode ter mais de \(n\) parcelas positivas. Esta calculadora valida Parcelas exatas de \(0\) a \(n\), portanto um valor maior é rejeitado com uma mensagem de entrada, em vez de ser calculado como zero.
Fontes e referências
Livros
- George E. Andrews e Kimmo Eriksson. Integer Partitions. Cambridge University Press, 2004. Capítulos introdutórios sobre definições de partições, diagramas de Ferrers, partições restritas e funções geradoras. Cambridge University Press
- Richard P. Stanley. Enumerative Combinatorics, Volume 1. 2.ª ed., Cambridge University Press, 2012. Seções introdutórias sobre métodos enumerativos e funções geradoras ordinárias. Cambridge University Press
- Herbert S. Wilf. generatingfunctionology. 2.ª ed., Academic Press, 1994. Capítulos sobre funções geradoras ordinárias e extração de coeficientes. Página de download da Penn Math
Fontes on-line e educacionais
- Open Math Books. “Integer Partitions.” More Discrete Mathematics via Graph Theory, acesso em 28 de junho de 2026. Open Math Books
- Eric W. Weisstein. “Partition Function P.” Wolfram MathWorld, acesso em 28 de junho de 2026. Wolfram MathWorld