Calculadora de Números Complexos

Some, subtraia, multiplique, divida, eleve a potências e converta números complexos instantaneamente.

Os resultados são calculados automaticamente enquanto você informa os dados.

Modo de entradaExemplos

Parte realParte imaginária

z1 = 3 + 4i

Parte realParte imaginária

Operação

Fórmula e detalhes

Resultado4 + 2i

Pronto

Arraste z1 (azul) e z2 (âmbar). O resultado é verde.

▼ Veja explicações e dicas abaixo ▼

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O que são as operações com números complexos e a conversão entre as formas retangular e polar?

Um número complexo tem duas partes: uma parte real e uma parte imaginária. Ele costuma ser escrito na forma retangular como $a + bi$, em que $a$ é a parte real, $b$ é o coeficiente imaginário e $i$ é a unidade imaginária, com:

$$ i^2 = -1 $$

Os números complexos também podem ser entendidos como pontos ou vetores no plano complexo. A coordenada horizontal é a parte real, e a coordenada vertical é a parte imaginária. Por exemplo, $3 + 4i$ é o ponto $(3, 4)$ no plano complexo.

A forma retangular é útil para somar, subtrair, multiplicar e dividir, separando as partes real e imaginária. A forma polar é útil para pensar em distância e direção. Na forma polar, um número complexo é escrito usando um raio $r$ e um ângulo $\theta$:

$$ z = r(\cos \theta + i\sin \theta) $$

O mesmo número pode ser escrito em qualquer uma das formas. A forma retangular informa “quão à direita ou à esquerda” e “quão para cima ou para baixo”. A forma polar informa “a que distância da origem” e “em que direção”.

Por que os números complexos são importantes

Os números complexos permitem trabalhar com grandezas que não podem ser representadas apenas na reta dos números reais. Eles aparecem na álgebra, na trigonometria, na engenharia elétrica, no processamento de sinais, em sistemas de controle, na mecânica quântica e em muitas outras áreas em que rotação, oscilação, ondas ou transformações bidimensionais são importantes.

Para os estudantes, os números complexos conectam vários assuntos que, de outro modo, poderiam parecer separados: geometria analítica, vetores, trigonometria, potências, raízes e notação exponencial. Ver o mesmo número como $a + bi$ e também como $r(\cos \theta + i\sin \theta)$ ajuda a explicar por que algumas operações são mais fáceis na forma retangular e outras na forma polar.

Termos importantes

Número complexo: um número da forma $a + bi$, em que $a$ e $b$ são números reais.
Unidade imaginária: o número $i$, definido por $i^2 = -1$.
Parte real: o $a$ em $a + bi$; é a coordenada horizontal no plano complexo.
Parte imaginária: o $b$ em $a + bi$; é a coordenada vertical no plano complexo.
Plano complexo: um plano de coordenadas em que o eixo horizontal é o eixo real e o eixo vertical é o eixo imaginário.
Módulo ou magnitude: a distância da origem ao número complexo, escrita como $|z|$.
Argumento: o ângulo de um número complexo não nulo medido a partir do semieixo real positivo. O argumento de $0$ é indefinido.
Conjugado complexo: o número formado pela mudança do sinal da parte imaginária. O conjugado de $a + bi$ é $a - bi$.
Forma retangular: a forma $a + bi$.
Forma polar: a forma $r\angle\theta$ ou $r(\cos \theta + i\sin \theta)$.
Forma de Euler: a forma $re^{i\theta}$, que é outra maneira de escrever a forma polar.
Ângulo principal: um ângulo representativo normalmente escolhido para um número complexo não nulo, pois adicionar voltas completas, como $360^\circ$ ou $2\pi$, produz a mesma direção.

Como funcionam as operações com números complexos e as conversões

Considere:

$$ z_1 = a + bi $$

$$ z_2 = c + di $$

A adição e a subtração são operações componente a componente. Some ou subtraia as partes reais e, depois, some ou subtraia as partes imaginárias:

$$ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i $$

$$ z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i $$

A multiplicação funciona como a multiplicação de binômios, com a regra importante $i^2 = -1$:

$$ z_1z_2 = (a + bi)(c + di) $$

$$ z_1z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i $$

A divisão usa o conjugado do denominador. Multiplicar pelo conjugado transforma o denominador em um número real:

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} $$

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} $$

Essa fórmula só funciona quando $z_2 \ne 0 + 0i$, pois a divisão por zero é indefinida.

O módulo de um número complexo é a distância desse número até a origem:

$$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $$

O conjugado reflete o número complexo em relação ao eixo real:

$$ \overline{z} = a - bi $$

Para converter da forma retangular para a forma polar, determine o raio e o ângulo:

$$ r = \sqrt{a^2 + b^2} $$

$$ \theta = \operatorname{atan2}(b, a) $$

Para todo valor não nulo, esta calculadora usa o ângulo principal retornado por atan2, normalmente em $(-180^\circ, 180^\circ]$. No eixo real negativo, ela preserva o lado do ramo do zero com sinal: $-1 + 0i$ exibe $180^\circ$, enquanto $-1 - 0i$ pode exibir $-180^\circ$. Na origem, $r = 0$ e o argumento é indefinido; por isso, a calculadora informa que o ângulo é indefinido, em vez de atribuir uma direção.

Então, escreva:

$$ z = r(\cos \theta + i\sin \theta) $$

Para converter da forma polar de volta para a forma retangular, use:

$$ a = r\cos \theta $$

$$ b = r\sin \theta $$

de modo que:

$$ z = r\cos \theta + i(r\sin \theta) $$

A matemática costuma usar radianos nas fórmulas, enquanto muitas entradas de calculadora usam graus para os ângulos polares. Para converter entre eles:

$$ \theta_{\text{degrees}} = \theta_{\text{radians}} \times \frac{180}{\pi} $$

$$ \theta_{\text{radians}} = \theta_{\text{degrees}} \times \frac{\pi}{180} $$

A forma polar torna a multiplicação, a divisão e as potências inteiras especialmente compactas. Se $z_1 = r_1\angle\theta_1$ e $z_2 = r_2\angle\theta_2$, então:

$$ z_1z_2 = r_1r_2\angle(\theta_1 + \theta_2) $$

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\angle(\theta_1 - \theta_2) $$

Para potências inteiras, o teorema de De Moivre fornece:

$$ z^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) $$

Para potências inteiras negativas, a base deve ser não nula, pois uma potência negativa significa calcular o recíproco.

Exemplos práticos de números complexos

Exemplo 1: adição e multiplicação na forma retangular

Considere:

$$ z_1 = 3 + 4i $$

$$ z_2 = 1 - 2i $$

Para a adição, combine as partes correspondentes:

$$ (3 + 4i) + (1 - 2i) = (3 + 1) + (4 - 2)i $$

$$ (3 + 4i) + (1 - 2i) = 4 + 2i $$

Para a multiplicação, distribua e use $i^2 = -1$:

$$ (3 + 4i)(1 - 2i) = 3 - 6i + 4i - 8i^2 $$

Como $i^2 = -1$, o termo $-8i^2$ se torna $+8$:

$$ 3 - 6i + 4i + 8 = 11 - 2i $$

A soma é $4 + 2i$, e o produto é $11 - 2i$.

Exemplo 2: convertendo $3 + 4i$ para a forma polar e elevando-o ao quadrado

Comece com:

$$ z = 3 + 4i $$

Determine o módulo:

$$ r = \sqrt{3^2 + 4^2} $$

$$ r = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$

Determine o ângulo:

$$ \theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 53.130102^\circ $$

Portanto, a forma polar é aproximadamente:

$$ z \approx 5\angle 53.130102^\circ $$

Para elevar o número ao quadrado usando o teorema de De Moivre, eleve o raio ao quadrado e dobre o ângulo:

$$ z^2 \approx 5^2\angle(2 \times 53.130102^\circ) $$

$$ z^2 \approx 25\angle 106.260204^\circ $$

Na forma retangular, isso é:

$$ (3 + 4i)^2 = -7 + 24i $$

As duas formas descrevem o mesmo resultado: a forma retangular fornece as coordenadas, enquanto a forma polar fornece a distância e a direção.

Exemplo 3: divisão e um caso de divisão por zero

Divida:

$$ \frac{2 + 3i}{4 - i} $$

Use o conjugado do denominador, $4 + i$:

$$ \frac{2 + 3i}{4 - i} \times \frac{4 + i}{4 + i} $$

O denominador é:

$$ (4 - i)(4 + i) = 4^2 + 1^2 = 17 $$

O numerador é:

$$ (2 + 3i)(4 + i) = 8 + 2i + 12i + 3i^2 $$

$$ 8 + 14i - 3 = 5 + 14i $$

Assim:

$$ \frac{2 + 3i}{4 - i} = \frac{5 + 14i}{17} $$

$$ \frac{2 + 3i}{4 - i} = \frac{5}{17} + \frac{14}{17}i $$

Se o denominador fosse $0 + 0i$, a fórmula do denominador $c^2 + d^2$ seria igual a $0$. Por isso, a divisão por $0 + 0i$ é indefinida.

Como interpretar o resultado

Um resultado retangular como $11 - 2i$ fornece diretamente as coordenadas real e imaginária. A parte real $11$ é a coordenada horizontal, e o coeficiente imaginário $-2$ é a coordenada vertical.

Um resultado polar como $5\angle 53.13^\circ$ fornece uma distância e uma direção. O raio $5$ significa que o ponto está a 5 unidades da origem. O ângulo $53.13^\circ$ indica a direção medida a partir do semieixo real positivo.

Um resultado de módulo é sempre não negativo porque representa uma distância. Um módulo maior significa que o ponto está mais distante da origem. Um módulo igual a $0$ significa que o número complexo está exatamente na origem.

Um resultado de conjugado altera apenas o sinal da parte imaginária. Por exemplo, o conjugado de $3 + 4i$ é $3 - 4i$. No plano complexo, isso corresponde a uma reflexão em torno do eixo real.

Nas operações aritméticas, o gráfico ajuda a visualizar os números como vetores que partem da origem. A adição pode ser visualizada com uma ideia semelhante à de um paralelogramo, enquanto a subtração pode ser entendida como a diferença vetorial entre dois pontos.

Se um resultado for exibido como inválido, o problema geralmente é de validação, como uma divisão por $0 + 0i$, um raio polar negativo, uma potência não inteira, um expoente fora do intervalo permitido ou uma entrada não finita.

Erros comuns e equívocos

Confundir a parte imaginária com o termo completo $bi$: em $3 + 4i$, a parte imaginária é $4$, não $4i$.
Esquecer que $i^2 = -1$: essa é a fonte mais comum de erros de multiplicação.
Tratar o módulo como a parte real: o módulo de $3 + 4i$ é $5$, não $3$.
Usar radianos quando a entrada espera graus: as entradas de ângulo polar usam graus. As explicações das fórmulas podem usar radianos; portanto, confira a unidade do ângulo antes de inserir um valor.
Esperar que $z_2$ afete todas as operações: adição, subtração, multiplicação e divisão usam tanto $z_1$ quanto $z_2$. Módulo, conjugado, conversão polar e potência usam apenas $z_1$.
Tentar dividir por $0 + 0i$: a divisão por zero é indefinida para números complexos, assim como para números reais.
Usar um expoente decimal na operação de potência: a operação de potência usa apenas expoentes inteiros.
Inserir um raio negativo no modo polar: a entrada polar padrão usa um raio não negativo. Um raio negativo pode ser representado alterando o ângulo, mas não é aceito como entrada de raio aqui.
Arredondar cedo demais: arredondar o raio, o ângulo ou os componentes retangulares muito cedo pode alterar o resultado final, especialmente em potências e divisões.
Supor que um ângulo polar é único: ângulos que diferem por voltas completas representam a mesma direção. Por exemplo, $30^\circ$ e $390^\circ$ apontam na mesma direção. O argumento de $0$ não é um ângulo e é indefinido.

Quando usar operações e conversões com números complexos

Use operações com números complexos quando precisar:

somar, subtrair, multiplicar ou dividir números da forma $a + bi$;
converter um número complexo entre as formas retangular e polar;
encontrar o módulo, o argumento ou o conjugado de um número complexo;
visualizar números complexos como pontos ou vetores no plano complexo;
elevar um número complexo a uma potência inteira;
conferir cálculos feitos à mão em álgebra, trigonometria, pré-cálculo ou trabalhos introdutórios de engenharia;
entender rotações, magnitudes e ângulos de fase em um contexto matemático.

A forma retangular costuma ser mais fácil para adição e subtração. A forma polar costuma ser mais fácil para multiplicação, divisão, potências e compreensão de rotações.

Limitações e pontos importantes

Os cálculos com números complexos aqui são adimensionais. A calculadora não infere unidades físicas, elétricas ou o contexto de engenharia. Se o seu número complexo representar uma grandeza física, como impedância, tensão ou amplitude de um sinal, interprete o resultado usando as regras e unidades desse campo.

Os ângulos na entrada polar estão em graus. Algumas fórmulas matemáticas e explicações detalhadas usam radianos porque eles são a unidade padrão em fórmulas trigonométricas e exponenciais. A calculadora reduz as entradas de grau finitas módulo $360^\circ$ antes da conversão trigonométrica; assim, ângulos coterminais usam a mesma direção mesmo quando o ângulo inserido é muito grande. Confira sempre qual unidade angular está usando.

A operação de potência é limitada a expoentes inteiros de $-30$ a $30$. Ela não calcula potências fracionárias, exponenciais complexas gerais, logaritmos nem todas as raízes complexas possíveis. Essas operações podem ter vários valores e exigem escolhas adicionais sobre ramos ou indexação das raízes.

Potências inteiras negativas exigem uma base não nula no sentido matemático usual, pois envolvem recíprocos. O expoente zero retorna $1$; no caso especial $0^0$, isso é uma convenção da calculadora e não deve ser tratado como uma regra matemática universal.

A divisão por $0 + 0i$ é indefinida e bloqueada. Entradas de raio polar negativo também são bloqueadas. Campos numéricos vazios são tratados como $0$, portanto um campo vazio não é igual a um campo ignorado. Os campos numéricos aceitam notação decimal ou exponencial finita, incluindo decimais com vírgula, como $1,5$; entradas malformadas ou parciais, como $1e$, são rejeitadas em vez de serem tratadas como $0$.

Os resultados exibidos podem ser arredondados para uma precisão significativa, mas um limite fixo de exibição absoluta não transforma entradas ou resultados finitos pequenos em $0$. Ao arrastar as alças do gráfico, as coordenadas são ajustadas para uma casa decimal; por isso, o gráfico deve ser entendido como um recurso visual, não como uma demonstração simbólica exata.

Entradas ou resultados muito grandes podem ser grandes demais para serem calculados com segurança. Se um resultado matematicamente válido não puder ser representado em um gráfico com uma escala segura, o resultado continuará disponível e o gráfico será marcado como indisponível. A imagem do gráfico para download também depende do suporte do navegador aos recursos de exportação de imagens.

Como usar esta calculadora

Escolha o modo retangular para inserir as partes real e imaginária ou o modo polar para inserir o raio e o ângulo em graus.
Insira $z_1$. Para adição, subtração, multiplicação ou divisão, insira também $z_2$.
Escolha uma operação: somar, subtrair, multiplicar, dividir, potência, módulo, conjugado ou polar.
Para a operação de potência, insira um $n$ inteiro de $-30$ a $30$.
Confira o resultado principal, a mensagem de status e os detalhes da fórmula.
Use o gráfico do plano complexo para comparar $z_1$, $z_2$ quando usado, e o vetor do resultado.
Arraste as alças do gráfico ou use as teclas de seta para ajustar os valores visualmente. Pequenos movimentos do teclado alteram as coordenadas em $0.1$, e movimentos maiores com Shift as alteram em $1$.
Use as predefinições para problemas de exemplo, troque $z_1$ e $z_2$ quando necessário, restaure os valores padrão ou baixe o gráfico como PNG.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre a forma retangular e a forma polar?

A forma retangular, $a + bi$, fornece as coordenadas horizontal e vertical do número complexo. A forma polar, $r\angle\theta$, fornece a distância até a origem e o ângulo de direção. São duas maneiras de descrever o mesmo ponto no plano complexo.

Por que o módulo é sempre não negativo?

O módulo é uma distância até a origem, portanto não pode ser negativo. Para $z = a + bi$, o módulo é $\sqrt{a^2 + b^2}$, que só é zero quando tanto $a$ quanto $b$ são zero.

Por que o conjugado ajuda na divisão?

Multiplicar um número complexo pelo seu conjugado remove a parte imaginária do produto. Para $c + di$, o produto com $c - di$ é $c^2 + d^2$, um número real. Isso permite reescrever um quociente complexo na forma retangular.

Por que dois ângulos polares diferentes às vezes representam o mesmo número?

Os ângulos se repetem a cada volta completa. Somar $360^\circ$ ou $2\pi$ radianos a um ângulo aponta na mesma direção; por isso, um número complexo tem muitas descrições equivalentes de ângulo polar. A calculadora normalmente exibe um ângulo representativo conveniente.

Esta calculadora encontra raízes complexas ou potências fracionárias?

Não. A operação de potência aceita apenas potências inteiras dentro do intervalo de expoentes permitido. Raízes complexas e potências fracionárias podem ter vários valores, portanto exigem um método que considere todos os ramos ou todas as raízes.

Por que $z_2$ não altera o resultado do módulo, do conjugado, da forma polar ou da potência?

Essas são operações unárias, o que significa que usam apenas um número complexo. Nesta calculadora, as operações unárias usam $z_1$. O segundo número complexo, $z_2$, é usado apenas para adição, subtração, multiplicação e divisão.

Fontes e referências

Livros e manuais

Jay Abramson. Precalculus 2e. OpenStax, Rice University, 2021. Seções 3.1 “Complex Numbers” e 8.5 “Polar Form of Complex Numbers”.
Ted Sundstrom e Steven Schlicker. Trigonometry. Grand Valley State University, via Mathematics LibreTexts. Capítulo 5, seção 5.3 “DeMoivre’s Theorem and Powers of Complex Numbers”.

Fontes on-line e educacionais

Massachusetts Institute of Technology OpenCourseWare. “Complex Numbers and Euler’s Formula.” 18.03SC Differential Equations, outono de 2011. Acessado em 28 de junho de 2026.