Calcule o mínimo múltiplo comum (MMC) de vários números inteiros instantaneamente.
Os resultados são calculados automaticamente conforme você informa os dados.
| Linha | Valor inteiro |
|---|
Informe pelo menos dois números inteiros.
▼ Veja as explicações e dicas abaixo ▼
O mínimo múltiplo comum, geralmente abreviado como MMC, é o menor número positivo que é múltiplo de cada número de um conjunto.
Um múltiplo de um número é o resultado de multiplicá-lo por um número inteiro. Por exemplo, os múltiplos positivos de \(6\) incluem \(6, 12, 18, 24, 30, \ldots\). Os múltiplos positivos de \(8\) incluem \(8, 16, 24, 32, \ldots\). O menor número que aparece nas duas listas é \(24\), portanto, o mínimo múltiplo comum de \(6\) e \(8\) é \(24\).
O MMC responde a uma pergunta simples: qual é o primeiro valor inteiro que dois ou mais padrões de números inteiros têm em comum? Por isso, ele é útil em aritmética, frações, programação de horários, ciclos repetitivos e qualquer situação em que vários intervalos inteiros precisem coincidir.
Para números inteiros positivos, o MMC normalmente é definido como o menor múltiplo comum positivo. Quando há números inteiros negativos, o sinal geralmente é ignorado, pois os múltiplos se alinham pelo valor. Por exemplo, \(-6\) e \(6\) levam ao mesmo MMC que \(8\), porque o cálculo usa valores absolutos.
O MMC é uma das ferramentas básicas para trabalhar com números inteiros. Ele ajuda a combinar quantidades que se repetem em ritmos diferentes.
É comum usar o MMC ao somar ou subtrair frações com denominadores diferentes. Se os denominadores forem \(6\) e \(8\), o mínimo denominador comum será \(24\), porque \(24\) é o mínimo múltiplo comum de \(6\) e \(8\).
O MMC também aparece em problemas de intervalos do mundo real. Se um evento se repete a cada \(4\) dias e outro a cada \(10\) dias, o MMC informa quando eles voltarão a acontecer juntos. Como \(\operatorname{lcm}(4,10)=20\), os dois eventos coincidem a cada \(20\) dias.
Usar o mínimo múltiplo comum, em vez de qualquer múltiplo comum, mantém os números menores e os cálculos mais fáceis.
Há várias maneiras de encontrar um MMC. Para números pequenos, o método mais fácil é listar os múltiplos até encontrar a primeira coincidência. Para números maiores, a fatoração em primos ou a relação com o MDC costuma ser mais eficiente.
Para encontrar o MMC de \(6\) e \(8\), liste seus múltiplos positivos:
O primeiro valor comum é \(24\), portanto:
Esse método é fácil de entender, mas pode ficar lento quando os números são grandes.
A fatoração em primos constrói o MMC incluindo cada fator primo necessário a qualquer número, usando o maior expoente que aparece.
Por exemplo:
O MMC precisa de \(2^3\), \(3^2\) e \(5\), pois essas são as maiores potências de cada primo que aparecem em qualquer uma das fatorações:
Para dois números inteiros diferentes de zero, o MMC pode ser encontrado a partir do máximo divisor comum:
Em que:
Dividir antes de multiplicar é útil porque mantém o valor intermediário menor:
Como \(\gcd(24,90)=6\):
O máximo divisor comum pode ser encontrado com eficiência pelo algoritmo de Euclides. Se \(a = bq + r\), então o MDC de \(a\) e \(b\) é igual ao MDC de \(b\) e \(r\). Ao repetir esse processo, chega-se eventualmente a um resto zero, e o último resto diferente de zero é o MDC.
Para mais de dois números inteiros, o MMC pode ser encontrado combinando os números dois a dois:
Por exemplo:
Em seguida, combine esse resultado com \(10\):
Assim:
Encontre o MMC de \(9\) e \(12\).
Liste os múltiplos:
O primeiro múltiplo comum é \(36\):
Suponha que um lembrete se repita a cada \(6\) dias e outro a cada \(14\) dias. Para descobrir quando os dois lembretes voltarão a ocorrer no mesmo dia, encontre o MMC de \(6\) e \(14\).
Use a relação com o MDC:
Os lembretes coincidem a cada \(42\) dias.
Encontre o MMC de \(-12\) e \(18\).
O cálculo usa valores absolutos:
Como \(\gcd(12,18)=6\):
O resultado não é negativo. O sinal negativo afeta a direção dos múltiplos na reta numérica, mas não torna o MMC negativo.
Muitas explicações introdutórias definem o MMC apenas para números inteiros positivos. Esta calculadora também aceita zero e usa uma convenção comum de programação: se um cálculo de MMC em pares incluir zero, o resultado desse par será \(0\).
Por exemplo:
Em uma lista como \(0, 15, 20\), o cálculo em pares continua a partir de \(0\), portanto o resultado final também é \(0\).
Para números inteiros positivos, o resultado é o menor número inteiro positivo pelo qual todos os valores informados são divisíveis.
Se o resultado for pequeno, os números coincidem rapidamente. Por exemplo, \(\operatorname{lcm}(4,6)=12\), portanto, os dois padrões se encontram após apenas \(12\) unidades.
Se o resultado for grande, os números só coincidem em um múltiplo posterior. Por exemplo, \(\operatorname{lcm}(35,64)=2240\), portanto, o ciclo compartilhado é muito mais longo.
Quando números negativos são informados, o resultado continua não negativo porque o cálculo se baseia em valores absolutos.
Um resultado igual a \(0\) significa que zero foi incluído de uma forma que faz a convenção de MMC em pares retornar zero. Isso é diferente da definição escolar usual, que se concentra apenas em números inteiros positivos; portanto, trate resultados iguais a zero como um caso especial.
Se o resultado mostrar --, ainda não há pelo menos dois números inteiros válidos e não vazios para calcular. Se o resultado mostrar Invalid input, pelo menos uma entrada não vazia não está em um formato de número inteiro aceito.
O resultado é um número inteiro exato. Nenhum arredondamento decimal é aplicado, e a saída não é abreviada usando notação científica.
MMC e MDC seguem direções opostas. O MDC é o maior número que divide as entradas. O MMC é o menor número que é divisível pelas entradas.
Para \(12\) e \(18\):
O MDC é um divisor comum. O MMC é um múltiplo comum.
Nesta calculadora, o MMC é um conceito relacionado a números inteiros. Entradas como \(2.5\), \(1/2\) ou \(3\frac{1}{4}\) não são aceitas.
Se estiver trabalhando com frações, normalmente você quer o MMC dos denominadores. Por exemplo, para somar frações com denominadores \(6\) e \(8\), encontre:
Em seguida, use \(24\) como o mínimo denominador comum.
Um valor como \(1,000\) pode ser interpretado incorretamente como dois valores separados ou rejeitado, dependendo de onde é inserido. Em vez disso, use apenas os algarismos:
Ao colar vários números, as vírgulas devem separar os valores, e não formatar um único valor.
Linhas vazias são ignoradas. Elas não contam como \(0\). Para incluir zero no cálculo, informe \(0\) explicitamente.
O MMC compara pelo menos dois valores inteiros. Com apenas um valor não vazio, não há um par de números para comparar, então a calculadora não pode produzir um resultado de MMC significativo.
Mesmo que uma ou mais entradas sejam negativas, o resultado do MMC não é negativo. O cálculo usa valores absolutos.
Use o MMC quando precisar encontrar o primeiro ponto inteiro comum em que padrões de números inteiros coincidem.
Os usos comuns incluem:
O MMC é especialmente útil quando o menor múltiplo comum é mais fácil de usar do que um múltiplo comum maior.
O MMC foi desenvolvido para a aritmética de números inteiros. Ele não se aplica diretamente a decimais, frações, números mistos, unidades de medida ou notação científica, a menos que esses valores sejam primeiro convertidos para uma forma inteira apropriada.
Para números inteiros positivos, o MMC usual é o menor múltiplo comum positivo. Zero é um caso especial. Esta calculadora aceita zero e retorna \(0\) quando zero participa do cálculo de MMC em pares, mas muitas definições escolares evitam zero ao definir o MMC apenas para números inteiros positivos.
Números inteiros muito grandes podem produzir resultados de MMC muito grandes. A calculadora foi projetada para trabalhar com aritmética inteira exata, mas entradas extremamente grandes ainda podem ser limitadas pela memória ou pelo desempenho do navegador.
O resultado é exato para entradas inteiras válidas que possam ser processadas, mas a calculadora não mostra etapas intermediárias, como fatoração em primos, restos do MDC ou listas de múltiplos. Se precisar apresentar o desenvolvimento em uma atividade escolar, use o resultado como conferência e escreva o método exigido separadamente.
O mínimo múltiplo comum é o menor número positivo pelo qual dois ou mais números são divisíveis. Por exemplo, \(24\) é o MMC de \(6\) e \(8\) porque tanto \(6\) quanto \(8\) dividem \(24\), e nenhum número positivo menor funciona.
O MDC é o maior divisor comum dos números. O MMC é o menor múltiplo comum dos números. Por exemplo, o MDC de \(12\) e \(18\) é \(6\), enquanto o MMC é \(36\).
Nesta calculadora, não. As entradas negativas são convertidas em seus valores absolutos para o cálculo, portanto o resultado do MMC não é negativo.
Esta calculadora aceita zero. Se zero for incluído em um cálculo de MMC em pares, o resultado desse par será \(0\), portanto, uma lista contendo zero pode produzir um resultado final igual a \(0\).
Sim. O MMC de vários números inteiros pode ser encontrado combinando os números dois a dois. Por exemplo, primeiro encontre o MMC dos dois primeiros números; depois, encontre o MMC desse resultado com o próximo número e continue até incluir todos os números.
A calculadora é destinada à aritmética de números inteiros. Decimais e frações precisam de uma interpretação diferente antes que um cálculo de MMC faça sentido. Se estiver trabalhando com frações, normalmente você usa o MMC dos denominadores para encontrar um mínimo denominador comum.
--?
O resultado mostra -- quando há menos de dois números inteiros válidos e não vazios. Insira pelo menos dois valores inteiros aceitos para calcular um MMC.
Livros
Fontes on-line e oficiais