Calculadora de Matriz de Pagamentos

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Predefinição

Jogador das linhas Jogador das colunas

Estratégias	Coluna 1	Coluna 2
Linha 1	A B	A B
Linha 2	A B	A B

Mostrar as melhores respostas na matriz

Resumo dos equilíbrios Atualize a matriz para analisar o jogo.

Simulação com estratégia fixa em relação ao modelo

Sua estratégia de linha Rodadas Semente

Fórmula de estratégia mista

Resultados da simulação

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▼ Veja explicações e dicas abaixo ▼

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O que é um jogo na forma normal 2x2?

Um jogo na forma normal 2x2 é um modelo simples de escolha estratégica. Ele tem dois jogadores, e cada jogador dispõe de duas estratégias. O resultado depende da estratégia escolhida pelos dois jogadores, não apenas da ação isolada de um deles.

O jogo geralmente é apresentado como uma matriz de retornos. O jogador das linhas escolhe uma linha, o jogador das colunas escolhe uma coluna, e a célula em que elas se encontram fornece o par de retornos desse resultado. O primeiro número é o retorno do jogador das linhas, e o segundo é o retorno do jogador das colunas.

Para um jogo 2x2 geral, a matriz de retornos pode ser escrita como:

$$ \begin{array}{c|cc} & C_1 & C_2 \\ \hline R_1 & (a_{11}, b_{11}) & (a_{12}, b_{12}) \\ R_2 & (a_{21}, b_{21}) & (a_{22}, b_{22}) \end{array} $$

Aqui, $R_1$ e $R_2$ são as estratégias do jogador das linhas, $C_1$ e $C_2$ são as estratégias do jogador das colunas, os valores $a$ são os retornos do jogador das linhas, e os valores $b$ são os retornos do jogador das colunas.

Os retornos não precisam ser dinheiro. Eles podem representar utilidade, pontos, perdas, satisfação, penalidades ou qualquer outra pontuação numérica em que um valor maior seja melhor para aquele jogador. Retornos negativos são permitidos; por exemplo, $-1$ é melhor que $-5$ porque é o número maior.

Por que a análise de jogos 2x2 é importante

Muitas situações estratégicas envolvem um pequeno número de escolhas relevantes: competir ou cooperar, entrar ou ficar de fora, confessar ou permanecer em silêncio, desviar ou seguir em frente, combinar ou não combinar. Um jogo 2x2 não captura todos os detalhes do mundo real, mas oferece uma maneira clara de comparar incentivos.

O principal valor de uma matriz de retornos é separar diferentes perguntas que costumam ser confundidas:

Qual é a melhor resposta de cada jogador à ação do outro?
Existe um resultado em que nenhum jogador queira mudar de estratégia sozinho?
Uma estratégia domina outra?
O equilíbrio é eficiente ou ambos os jogadores poderiam estar em melhor situação em outro resultado?
Se nenhum resultado puro for estável, faz sentido aleatorizar entre as estratégias?

Essas perguntas são especialmente úteis em introduções à economia, ciência política, teoria da decisão, pesquisa operacional e exemplos didáticos de raciocínio estratégico.

Termos importantes

Estratégia: Uma ação ou plano disponível para um jogador, como escolher $R_1$ em vez de $R_2$.

Retorno: O resultado numérico que um jogador recebe em um resultado. Retornos maiores são considerados melhores para esse jogador.

Matriz de retornos: Uma tabela que mostra todas as combinações de estratégias e o par de retornos associado a cada resultado.

Melhor resposta: Uma estratégia que dá ao jogador o maior retorno, considerando a estratégia escolhida pelo outro jogador.

Estratégia pura: Uma estratégia escolhida com certeza.

Equilíbrio de Nash puro: Uma célula em que os dois jogadores estão escolhendo as melhores respostas um ao outro. Nessa célula, nenhum jogador consegue melhorar o próprio retorno mudando de estratégia sozinho.

Estratégia dominante: Uma estratégia que tem desempenho pelo menos tão bom quanto outra, independentemente do que o outro jogador faça. Se for estritamente melhor em todas as comparações, ela é estritamente dominante. Se for pelo menos tão boa em todas as comparações e melhor em pelo menos uma, ela é fracamente dominante.

Resultado eficiente de Pareto: Um resultado que não é dominado por outro resultado segundo o critério de Pareto. Em uma matriz de retornos, isso significa que não existe outra célula que melhore a situação de pelo menos um jogador sem piorar a do outro.

Estratégia mista: Uma regra de probabilidade para aleatorizar entre estratégias puras.

Retorno esperado: A média ponderada do retorno de uma estratégia ou mistura, usando as probabilidades como pesos.

Como funciona a análise de jogos 2x2

A análise começa comparando os retornos do ponto de vista de cada jogador. Como cada jogador quer um retorno maior para si, o jogador das linhas compara os retornos das linhas dentro de cada coluna, enquanto o jogador das colunas compara os retornos das colunas dentro de cada linha.

Melhores respostas

Para encontrar a melhor resposta do jogador das linhas, mantenha fixa a estratégia do jogador das colunas e compare os dois retornos do jogador das linhas.

Se o jogador das colunas escolher $C_1$, o jogador das linhas compara $a_{11}$ com $a_{21}$. Se $a_{11} > a_{21}$, então $R_1$ é a melhor resposta do jogador das linhas a $C_1$. Se $a_{21} > a_{11}$, então $R_2$ é a melhor resposta. Se os dois retornos forem iguais, ambas as estratégias das linhas serão melhores respostas.

Para encontrar a melhor resposta do jogador das colunas, mantenha fixa a estratégia do jogador das linhas e compare os dois retornos do jogador das colunas.

Se o jogador das linhas escolher $R_1$, o jogador das colunas compara $b_{11}$ com $b_{12}$. Se $b_{11} > b_{12}$, então $C_1$ é a melhor resposta do jogador das colunas a $R_1$. Se $b_{12} > b_{11}$, então $C_2$ é a melhor resposta. Se forem iguais, ambas as estratégias das colunas serão melhores respostas.

Equilíbrios de Nash puros

Um equilíbrio de Nash puro ocorre quando a melhor resposta do jogador das linhas e a melhor resposta do jogador das colunas apontam para a mesma célula.

Um jogo 2x2 pode não ter nenhum equilíbrio de Nash puro, ter um equilíbrio de Nash puro ou ter vários equilíbrios de Nash puros. A quantidade de equilíbrios puros não mede quão bom é o jogo. Ela apenas conta quantas células são estáveis contra desvios de um jogador por vez.

Dominância

A dominância compara uma estratégia com outra em todas as escolhas possíveis do outro jogador.

Para o jogador das linhas, $R_1$ domina fracamente $R_2$ se:

$$ a_{11} \ge a_{21} $$

$$ a_{12} \ge a_{22} $$

com pelo menos uma desigualdade estrita. $R_2$ domina estritamente se as duas desigualdades forem estritas.

A mesma ideia se aplica ao jogador das colunas, comparando $C_1$ e $C_2$ nas estratégias possíveis do jogador das linhas.

Uma estratégia dominante é mais forte que uma melhor resposta. Uma melhor resposta é a melhor contra uma estratégia específica do oponente. Uma estratégia dominante é a melhor, ou está empatada como melhor, em todas as estratégias do oponente que estão sendo comparadas.

Eficiência de Pareto

A eficiência de Pareto considera os resultados, e não os incentivos para desviar. Uma célula é eficiente de Pareto quando nenhuma outra célula dá pelo menos o mesmo retorno aos dois jogadores e um retorno maior a pelo menos um deles.

Isso é diferente do equilíbrio de Nash. Um equilíbrio de Nash pode ser ineficiente segundo Pareto, e um resultado eficiente de Pareto pode não ser um equilíbrio de Nash. O dilema do prisioneiro é o exemplo clássico: o equilíbrio é estável porque nenhum jogador quer mudar sozinho, embora ambos pudessem estar em melhor situação em outro resultado.

Estratégias mistas

Alguns jogos 2x2 não têm equilíbrio de Nash puro. Cara ou coroa é um exemplo comum: a melhor resposta de cada jogador afasta o outro da célula atual, portanto nenhum resultado puro é estável.

Uma estratégia mista atribui probabilidades às duas estratégias puras. Seja $p$ a probabilidade de o jogador das linhas escolher $R_1$, e seja $q$ a probabilidade de o jogador das colunas escolher $C_1$.

O jogador das linhas é indiferente entre $R_1$ e $R_2$ quando o retorno esperado das duas estratégias das linhas é igual:

$$ q a_{11} + (1-q)a_{12} = q a_{21} + (1-q)a_{22} $$

Isolando $q$, obtemos:

$$ q = \frac{a_{22} - a_{12}}{a_{11} - a_{12} - a_{21} + a_{22}} $$

O jogador das colunas é indiferente entre $C_1$ e $C_2$ quando:

$$ p b_{11} + (1-p)b_{21} = p b_{12} + (1-p)b_{22} $$

Isolando $p$, obtemos:

$$ p = \frac{b_{22} - b_{21}}{b_{11} - b_{21} - b_{12} + b_{22}} $$

Essas fórmulas só são significativas como probabilidades de uma estratégia mista quando os denominadores não são zero e as probabilidades resultantes ficam entre $0$ e $1$. Uma probabilidade igual a $0$ ou $1$ é um caso de fronteira, não uma aleatorização totalmente interior.

Exemplos de análise de jogos 2x2 na prática

Exemplo 1: retornos no estilo do dilema do prisioneiro

Suponha que ambos os jogadores possam confessar ou permanecer em silêncio, com os retornos mostrados abaixo:

$$ \begin{array}{c|cc} & \text{Column confess} & \text{Column stay silent} \\ \hline \text{Row confess} & (-5, -5) & (0, -10) \\ \text{Row stay silent} & (-10, 0) & (-1, -1) \end{array} $$

Para o jogador das linhas, confessar é melhor se o jogador das colunas confessar porque $-5 > -10$. Confessar também é melhor se o jogador das colunas permanecer em silêncio porque $0 > -1$. Portanto, confessar domina estritamente permanecer em silêncio para o jogador das linhas.

A mesma comparação vale para o jogador das colunas. O resultado é um equilíbrio de Nash puro em confessar-confessar.

Isso não significa que confessar-confessar seja o melhor resultado conjunto. Se ambos permanecessem em silêncio, cada um obteria $-1$, o que é melhor para ambos do que $-5$. Isso mostra por que equilíbrio de Nash e eficiência de Pareto respondem a perguntas diferentes.

Exemplo 2: cara ou coroa e uma estratégia mista

Em um jogo simples de cara ou coroa, o jogador das linhas vence quando as escolhas coincidem, enquanto o jogador das colunas vence quando elas não coincidem:

$$ \begin{array}{c|cc} & C_1 & C_2 \\ \hline R_1 & (1, -1) & (-1, 1) \\ R_2 & (-1, 1) & (1, -1) \end{array} $$

Não existe equilíbrio de Nash puro porque, em cada célula, um dos jogadores quer mudar. A estratégia mista resolve isso tornando o outro jogador indiferente.

Para a probabilidade $q$ de o jogador das colunas escolher $C_1$:

$$ q = \frac{a_{22} - a_{12}}{a_{11} - a_{12} - a_{21} + a_{22}} = \frac{1 - (-1)}{1 - (-1) - (-1) + 1} = \frac{2}{4} = 0.5 $$

Por simetria, a probabilidade do jogador das linhas também é:

$$ p = 0.5 $$

Assim, cada jogador aleatoriza igualmente entre as duas estratégias. Nesse caso, o retorno esperado é $0$ para ambos os jogadores.

Exemplo 3: empates e casos de fronteira

Empates são importantes porque um jogador pode ter mais de uma melhor resposta. Por exemplo, se o jogador das linhas recebe o mesmo retorno de $R_1$ e $R_2$ quando o jogador das colunas escolhe $C_1$, então as duas estratégias das linhas são melhores respostas a $C_1$.

Empates podem criar vários equilíbrios ou tornar um jogo degenerado. Em cálculos de estratégias mistas, uma equação de indiferença constante pode fazer o denominador ser zero. Quando isso acontece, a fórmula usual para 2x2 não consegue identificar um único par de estratégias mistas interiores. A interpretação correta é que o jogo precisa de uma análise de equilíbrio mais cuidadosa do que a fornecida por uma única fórmula $p, q$.

Como interpretar o resultado

O resultado deve ser lido como um mapa de incentivos, não como uma previsão que necessariamente acontecerá na vida real.

A contagem de Nash puro igual a $0$ significa que nenhuma célula de retorno é estável contra um desvio unilateral. Uma contagem de $1$ significa que existe uma célula de estratégia pura em que ambos os jogadores estão escolhendo melhores respostas. Uma contagem maior que $1$ significa que várias células satisfazem a condição de Nash puro, geralmente por causa de incentivos de coordenação ou empates nos retornos. Essa contagem não é um retorno de equilíbrio; é apenas o número de células que atendem ao teste de Nash puro.

As probabilidades da estratégia mista mostram com que frequência cada jogador escolheria sua primeira estratégia listada no cálculo da estratégia mista. A probabilidade do jogador das linhas é $P(R_1)$, e a probabilidade do jogador das colunas é $P(C_1)$. Um valor próximo de $0\%$ significa que a primeira estratégia é usada raramente nessa mistura; um valor próximo de $100\%$ significa que ela é usada quase sempre. Nos displays de fórmulas, elas podem aparecer como probabilidades brutas, como $0.25$; nos resumos, o mesmo valor pode aparecer como $25\%$.

O retorno esperado é o retorno médio implícito nas probabilidades calculadas. Ele não é um retorno garantido em uma rodada específica. É uma média de longo prazo sob as hipóteses de probabilidade do modelo.

O resultado de dominância informa se uma estratégia é sempre pelo menos tão boa quanto a outra para um jogador, considerando as duas escolhas da matriz. A dominância é útil porque não depende de prever exatamente o que o outro jogador fará.

A contagem de células eficientes de Pareto informa quantos resultados não são dominados por outro resultado do ponto de vista dos retornos dos dois jogadores. Mais células eficientes de Pareto não significam automaticamente um jogo melhor; isso pode simplesmente indicar que existem vários resultados de compromisso, nos quais um jogador só ganha se o outro abrir mão de algo.

O resultado da simulação deve ser tratado como uma ilustração baseada em uma amostra aleatória. Com poucas rodadas, a média simulada pode diferir consideravelmente do retorno esperado analítico.

Erros comuns e equívocos

Deixar uma célula de retorno em branco ou inserir texto. Cada entrada de retorno precisa ser um número finito. Se um retorno for desconhecido, é melhor estimá-lo deliberadamente do que deixar a célula vazia.

Supor que todo jogo tem um equilíbrio de Nash puro. Um jogo 2x2 pode não ter equilíbrio puro, ter um equilíbrio puro ou ter vários equilíbrios puros.

Tratar eficiência de Pareto como sinônimo de equilíbrio de Nash. O equilíbrio de Nash trata dos incentivos para mudar de estratégia sozinho. A eficiência de Pareto trata de saber se outro resultado poderia melhorar o retorno de pelo menos um jogador sem reduzir o retorno do outro.

Considerar retornos negativos inválidos. Retornos negativos podem ser perfeitamente válidos. Em geral, representam custos, perdas, penalidades ou resultados ruins. A regra importante é que números maiores são melhores para o jogador que os recebe.

Trocar os dois retornos de uma célula. Em um par de retornos como $(3, -1)$, o primeiro número pertence ao jogador das linhas e o segundo pertence ao jogador das colunas.

Confundir probabilidades brutas com porcentagens. Uma probabilidade bruta de $0.4$ é o mesmo que $40\%$. Verifique se o resultado mostra uma probabilidade decimal ou uma porcentagem.

Supor que a simulação modela aprendizado. Uma simulação curta pode ilustrar resultados aleatórios, mas não prova que os jogadores aprendem, se adaptam, punem, cooperam ou coordenam ao longo do tempo.

Quando usar a análise de jogos 2x2

Use a análise de jogos 2x2 quando uma situação puder ser razoavelmente simplificada para:

Dois tomadores de decisão.
Duas estratégias para cada tomador de decisão.
Retornos numéricos para todas as quatro combinações de estratégias.
Escolhas feitas sem que um jogador apenas observe e responda depois da escolha do outro.

Ela é especialmente útil para estudar jogos clássicos como o dilema do prisioneiro, caça ao cervo, jogo da galinha e cara ou coroa. Também pode ajudar a comparar cenários simplificados de negócios, negociações, políticas públicas, sala de aula e competição.

Limitações e pontos importantes

Uma matriz de retornos 2x2 é um modelo simplificado. Ela não inclui mais de dois jogadores, mais de duas estratégias por jogador, movimentos sequenciais, informação incompleta, barganha, comunicação, punições em jogos repetidos, aprendizado, reputação ou retornos que mudam ao longo do tempo.

Os resultados dependem inteiramente dos números de retorno informados. Se os retornos forem especulativos, incompletos ou estiverem em uma escala inadequada, a análise refletirá essas hipóteses.

As fórmulas de estratégia mista informam um único par $p, q$ quando as equações de indiferença padrão produzem probabilidades válidas. Jogos degenerados, equações constantes, casos de fronteira e jogos com conjuntos de equilíbrios mais complexos podem exigir uma análise adicional.

Empates contam como melhores respostas. Isso é matematicamente adequado, mas pode fazer os resultados parecerem menos decisivos do que uma comparação estrita.

O arredondamento pode afetar a aparência dos resultados. Valores com módulo inferior a aproximadamente $10^{-10}$ podem ser exibidos como $0$. A maioria das saídas numéricas baseadas em retornos usa até $4$ casas decimais, as porcentagens usam até $2$ casas decimais, e as probabilidades nos cartões de fórmulas para $p$ e $q$ podem usar até $5$ casas decimais.

As rodadas da simulação servem para ilustrações curtas. Informe um número inteiro de $1$ a $50$; valores fracionários, vazios ou fora do intervalo são rejeitados, portanto a simulação não foi projetada para testes estatísticos de longo prazo.

A amostragem com estratégia fixa é reproduzível quando são usados a mesma semente, a mesma matriz de retornos, a mesma estratégia das linhas e a mesma quantidade de rodadas. Ela não deve ser tratada como evidência de que os jogadores aprenderiam, se adaptariam, puniriam, cooperariam ou coordenariam em um jogo repetido real.

Os valores de retorno não têm unidade. A análise não converte retornos em moeda, probabilidades, unidades de bem-estar ou escalas de utilidade do mundo real.

Como usar esta calculadora

Escolha um jogo predefinido ou use uma matriz de retornos personalizada.
Informe os nomes do jogador das linhas e do jogador das colunas, se quiser rótulos personalizados.
Informe os nomes das duas estratégias das linhas e das duas estratégias das colunas.
Preencha os quatro pares de retornos. Em cada célula, use o primeiro retorno para o jogador das linhas e o segundo para o jogador das colunas.
Ative o destaque das melhores respostas se quiser ver quais retornos são melhores respostas.
Analise o resumo do resultado, a contagem de Nash puro, as observações de dominância, os resultados eficientes de Pareto, as probabilidades da estratégia mista e os retornos esperados.
Para uma simulação, escolha a estratégia do jogador das linhas, informe a quantidade de rodadas e execute a simulação. O jogador das linhas usa a estratégia selecionada durante a simulação, enquanto as escolhas das colunas são geradas pela regra de resposta da calculadora.
Baixe a visualização como PNG se precisar salvar a matriz de retornos ou o mapa de estratégias.

Perguntas frequentes

O que significa o par de retornos em cada célula?

O par de retornos mostra o resultado para os dois jogadores naquela situação. O primeiro número é o retorno do jogador das linhas, e o segundo é o retorno do jogador das colunas. Cada jogador compara apenas os próprios retornos ao escolher uma melhor resposta.

O que significa $p$ em um resultado de estratégia mista?

$p$ é a probabilidade de o jogador das linhas escolher a primeira estratégia das linhas. Por exemplo, $p = 0.3$ significa que o jogador das linhas escolhe a primeira estratégia das linhas $30\%$ do tempo na mistura calculada.

O que significa $q$ em um resultado de estratégia mista?

$q$ é a probabilidade de o jogador das colunas escolher a primeira estratégia das colunas. Ela é calculada tornando o jogador das linhas indiferente entre as duas estratégias das linhas.

Um resultado eficiente de Pareto pode ser diferente de um equilíbrio de Nash?

Sim. Eficiência de Pareto e equilíbrio de Nash medem coisas diferentes. Um equilíbrio de Nash pode ser ineficiente, e um resultado eficiente de Pareto pode não ser estável se um jogador puder melhorar mudando de estratégia sozinho.

Por que pode não haver um resultado válido de estratégia mista?

A fórmula pode falhar quando um denominador é zero, quando a equação de indiferença é constante ou quando a probabilidade calculada fica fora do intervalo de $0$ a $1$. Nesses casos, o jogo ainda pode ter uma estrutura estratégica importante, mas ela não é resumida por um único par padrão de estratégias mistas interiores.

Retornos negativos são permitidos?

Sim. Retornos negativos são válidos desde que sejam números finitos. Eles geralmente representam perdas, custos, penalidades ou resultados indesejáveis, e o número maior ainda é considerado melhor.

Fontes e referências

Livros

Martin J. Osborne and Ariel Rubinstein. A Course in Game Theory. MIT Press, 1994. Partes relevantes utilizadas: jogos estratégicos, equilíbrio de Nash e estratégias mistas. Página da editora MIT Press.
Robert S. Gibbons. Game Theory for Applied Economists. Princeton University Press, 1992. Parte relevante utilizada: o Capítulo 1, sobre jogos na forma normal e equilíbrio de Nash. Página do Google Books.

Fontes on-line e educacionais

MIT OpenCourseWare. “Chapter 6: Nash Equilibrium.” 14.12 Economic Applications of Game Theory, Fall 2012. Utilizado para melhores respostas, equilíbrio de Nash, comparações de dominância e definições de equilíbrio em estratégias mistas. PDF.
CORE Econ. “4.5 Evaluating outcomes: The Pareto criterion.” The Economy 2.0: Microeconomics. Acessado em 28 de junho de 2026. Utilizado para dominância de Pareto, eficiência de Pareto e limitações do critério de Pareto. Recurso.
Yale University, Open Yale Courses. “ECON 159: Lecture 10 — Mixed Strategies in Baseball, Dating and Paying Your Taxes.” Acessado em 28 de junho de 2026. Utilizado para interpretações de estratégias mistas como aleatorização, crenças e proporções populacionais. Recurso.