Calculadora de Equações Diofantinas Lineares

Use esta calculadora para informar valores, ajustar opções e consultar resultados em uma área de trabalho compacta e responsiva.

Os resultados são calculados automaticamente enquanto você informa os dados.

Coeficiente a Coeficiente b Constante c Encontrar uma solução pequena

Soluções limitadas opcionais

Restringir os intervalos de x e y

x mínimo x máximo y mínimo y máximo

Condição do mdc e etapas da solução

Resultado: x

Informe a, b e c.

Resultado: y

Informe a, b e c.

Aviso: Todas as ferramentas deste site destinam-se apenas a fins educacionais e informativos. Esta é uma ferramenta educacional; não constitui orientação profissional. As fórmulas inteiras, contagens e valores da tabela são exatos para os valores aceitos, enquanto o gráfico é um recurso visual amostral. Consulte nossos Termos de Uso.

Premissas e limitações

Esta calculadora é destinada ao uso educacional geral. A aritmética exata não garante que um modelo informado seja apropriado nem que toda amostra visual seja exibida. Verifique as fórmulas, premissas, limites e valores informados antes de confiar no resultado. O uso desta calculadora está sujeito aos nossos Termos de Uso.

▼ Veja explicações e dicas abaixo ▼

Calculadoras relacionadas

O que é uma equação diofantina linear?

Uma equação diofantina linear é uma equação cujos valores desconhecidos devem ser inteiros. Com duas variáveis, a forma padrão é:

$$ ax + by = c $$

Aqui, $a$, $b$ e $c$ são inteiros conhecidos, enquanto $x$ e $y$ são os valores inteiros que você quer encontrar.

A palavra “linear” significa que $x$ e $y$ aparecem somente na primeira potência. Não há termos como $x^2$, $xy$, $\sqrt{x}$ ou $\frac{1}{x}$. A palavra “diofantina” significa que apenas soluções inteiras são consideradas. Um par como $(x,y)=(2,3)$ pode ser válido, enquanto um par como $(x,y)=(2.5,3)$ não é válido para esse tipo de problema.

Equações diofantinas lineares são comuns na teoria dos números, na aritmética modular, no planejamento de horários, no empacotamento, na contagem e em problemas nos quais respostas fracionárias não fazem sentido. Por exemplo, se $x$ e $y$ contam objetos, pessoas, pacotes ou etapas, uma resposta com metade de um objeto geralmente não é útil.

A pergunta principal não é apenas “Podemos resolver a equação?”. É:

Podemos resolver a equação usando inteiros e, em caso afirmativo, como descrever todas as soluções inteiras?

Por que as equações diofantinas lineares são importantes

Uma equação algébrica comum pode ter soluções reais mesmo quando não tem solução inteira. Por exemplo, $6x + 10y = 7$ tem soluções reais, mas não tem soluções inteiras. As equações diofantinas lineares ajudam a separar respostas algebricamente possíveis de respostas possíveis usando números inteiros.

Isso importa quando as variáveis representam quantidades que não podem ser divididas em frações. Exemplos comuns incluem:

contar combinações de dois tamanhos de itens;
encontrar coeficientes inteiros na teoria dos números;
resolver problemas de aritmética modular;
entender pontos da rede em uma reta;
verificar se um total desejado pode ser obtido com dois incrementos fixos.

A ideia principal é que a divisibilidade determina se existem soluções inteiras. Depois que uma solução inteira é encontrada, todas as outras seguem um padrão previsível.

Termos importantes

Inteiro: um número sem parte fracionária, incluindo números negativos e zero, como $-4$, $0$ e $17$.
Máximo divisor comum: o maior inteiro positivo que divide dois inteiros. Ele é escrito como $\gcd(a,b)$.
Divide: a notação $g \mid c$ significa que $c$ é um múltiplo exato de $g$.
Identidade de Bézout: um teorema que afirma que, se $g=\gcd(a,b)$, então existem inteiros $u$ e $v$ tais que $au+bv=g$.
Algoritmo de Euclides estendido: um método que encontra $\gcd(a,b)$ e também encontra os coeficientes de Bézout $u$ e $v$.
Solução particular: um par de soluções específico $(x_0,y_0)$.
Solução geral: uma fórmula que descreve todas as soluções inteiras usando um parâmetro inteiro, geralmente chamado de $k$.
Ponto da rede: um ponto no plano coordenado cujas duas coordenadas são inteiras.

Como funciona a resolução de $ax + by = c$

O primeiro passo é calcular:

$$ g = \gcd(a,b) $$

Para uma equação não degenerada, na qual $a$ e $b$ não são ambos zero, existem soluções inteiras exatamente quando $g$ divide $c$:

$$ g \mid c $$

Se $g$ não divide $c$, não há soluções inteiras.

O motivo é simples: se $g$ divide tanto $a$ quanto $b$, então $g$ deve dividir todo valor de $ax+by$. Portanto, se $c$ não for divisível por $g$, o lado esquerdo nunca poderá ser igual ao lado direito usando inteiros.

Se $g$ divide $c$, o algoritmo de Euclides estendido encontra os inteiros $u$ e $v$ tais que:

$$ au + bv = g $$

Em seguida, multiplique os dois lados por $\frac{c}{g}$:

$$ a\left(u\frac{c}{g}\right) + b\left(v\frac{c}{g}\right) = c $$

Isso fornece uma solução particular:

$$ x_0 = u\frac{c}{g} $$

$$ y_0 = v\frac{c}{g} $$

Depois que uma solução é conhecida, toda solução inteira é gerada por:

$$ x = x_0 + \frac{b}{g}k $$

$$ y = y_0 - \frac{a}{g}k $$

em que $k$ pode ser qualquer inteiro.

O parâmetro $k$ move-se de uma solução em ponto da rede para a seguinte. Cada vez que $k$ aumenta em $1$, $x$ muda em $\frac{b}{g}$ e $y$ muda em $-\frac{a}{g}$. Essas mudanças se anulam na expressão $ax+by$, então o valor da equação continua igual a $c$.

Soluções limitadas

Às vezes, não é necessário encontrar todas as soluções inteiras. Você pode querer apenas soluções em que $x$ e $y$ permaneçam dentro de intervalos escolhidos:

$$ x_{\min} \le x \le x_{\max} $$

$$ y_{\min} \le y \le y_{\max} $$

Usando a solução geral, os limites se tornam restrições sobre $k$:

$$ x_{\min} \le x_0 + \frac{b}{g}k \le x_{\max} $$

$$ y_{\min} \le y_0 - \frac{a}{g}k \le y_{\max} $$

Resolver essas desigualdades fornece um intervalo permitido de valores inteiros de $k$. As soluções limitadas são exatamente os pares de soluções produzidos por esses valores de $k$.

Exemplos de equações diofantinas lineares na prática

Exemplo 1: uma equação simples com solução

Resolva:

$$ 35x + 22y = 1 $$

Primeiro, encontre o máximo divisor comum:

$$ \gcd(35,22)=1 $$

Como $1 \mid 1$, existem soluções inteiras.

Uma identidade de Bézout para $35$ e $22$ é:

$$ 1 = -5(35) + 8(22) $$

Portanto, uma solução particular é:

$$ x_0=-5, \quad y_0=8 $$

Os tamanhos dos passos são:

$$ \frac{b}{g}=\frac{22}{1}=22 $$

$$ -\frac{a}{g}=-\frac{35}{1}=-35 $$

Portanto, todas as soluções inteiras são:

$$ x = -5 + 22k $$

$$ y = 8 - 35k $$

em que $k$ é qualquer inteiro.

Por exemplo, se $k=1$, então:

$$ x=17, \quad y=-27 $$

Verificação:

$$ 35(17) + 22(-27) = 595 - 594 = 1 $$

Assim, $(17,-27)$ é outra solução, não uma coincidência separada. Ela faz parte da mesma família de soluções.

Exemplo 2: uma equação escalada com limites

Suponha que você queira soluções inteiras para:

$$ 12x + 18y = 30 $$

O mdc é:

$$ \gcd(12,18)=6 $$

Como $6 \mid 30$, existem soluções inteiras. Dividir a equação por $6$ fornece:

$$ 2x + 3y = 5 $$

Uma solução é:

$$ x_0=1, \quad y_0=1 $$

pois:

$$ 2(1)+3(1)=5 $$

Para a equação original, os tamanhos dos passos são:

$$ \frac{b}{g}=\frac{18}{6}=3 $$

$$ -\frac{a}{g}=-\frac{12}{6}=-2 $$

Portanto, a família completa de soluções é:

$$ x = 1 + 3k $$

$$ y = 1 - 2k $$

Agora suponha que apenas soluções não negativas até $10$ sejam permitidas:

$$ 0 \le x \le 10, \quad 0 \le y \le 10 $$

Para $x$:

$$ 0 \le 1 + 3k \le 10 $$

Isso permite $k=0,1,2,3$.

Para $y$:

$$ 0 \le 1 - 2k \le 10 $$

Isso permite $k=-4,-3,-2,-1,0$.

O único valor de $k$ presente nas duas listas é $k=0$, então a única solução limitada nesse intervalo é:

$$ (x,y)=(1,1) $$

Exemplo 3: um caso sem solução

Considere:

$$ 6x + 10y = 7 $$

O mdc é:

$$ \gcd(6,10)=2 $$

Porém, $2$ não divide $7$. Isso significa que nenhum valor inteiro de $x$ e $y$ pode tornar a equação verdadeira.

Isso não significa que a reta não tenha pontos. Significa que ela não tem pontos da rede. Sobre os números reais, há infinitos pontos na reta, mas nenhum tem as duas coordenadas inteiras.

Como interpretar o resultado

O resultado de uma equação diofantina linear geralmente se enquadra em um dos seguintes tipos.

Tipo de resultado	O que significa
A condição do mdc é satisfeita	$\gcd(a,b)$ divide $c$, portanto existem soluções inteiras.
A condição do mdc não é satisfeita	$\gcd(a,b)$ não divide $c$, portanto não há soluções inteiras.
Solução particular	Um par específico $(x_0,y_0)$ que satisfaz a equação.
Solução geral	Uma fórmula que fornece todas as soluções inteiras à medida que $k$ percorre todos os inteiros.
Passo de $k$	A mudança fixa em $x$ e $y$ quando $k$ aumenta em $1$.
Quantidade limitada	O número de valores inteiros de $k$ que mantêm $x$ e $y$ dentro dos intervalos selecionados.

O resultado mais importante é a solução geral. A solução particular é apenas um ponto de partida. A menos que os limites restrinjam as possibilidades, uma equação diofantina linear não degenerada, solucionável e com duas variáveis tem infinitas soluções inteiras.

O gráfico e a tabela ajudam a visualizar pontos individuais da rede, mas a fórmula é a resposta completa. No modo sem limites, uma tabela ou um gráfico só pode mostrar pontos de exemplo de uma família infinita.

Erros comuns e equívocos

Um erro comum é resolver $ax+by=c$ como uma equação comum nos números reais e presumir que qualquer solução algébrica seja aceitável. Em uma equação diofantina, tanto $x$ quanto $y$ devem ser inteiros.

Outro erro é ignorar o teste do mdc. A condição $\gcd(a,b) \mid c$ determina se existem soluções inteiras. Se essa condição não for satisfeita, nenhuma manipulação algébrica produzirá uma solução inteira.

Também é fácil tratar uma solução particular como se fosse a única resposta. Na maioria dos casos solucionáveis e não degenerados, uma solução é apenas a semente da família completa:

$$ x = x_0 + \frac{b}{g}k, \quad y = y_0 - \frac{a}{g}k $$

Um quarto erro é esquecer que $k$ pode ser negativo, zero ou positivo. Restringir $k$ a valores positivos sem motivo pode fazer você perder soluções válidas.

Ao usar limites, verifique se cada mínimo é menor ou igual ao máximo correspondente. Por exemplo, $x_{\min} \le x_{\max}$ deve ser verdadeiro.

Por fim, uma solução representativa “pequena” nem sempre é única e não necessariamente minimiza a distância comum em linha reta até a origem. Nesta calculadora, o modo de solução pequena minimiza o escore $|x|+|y|$; a representante selecionada é incluída nas amostras do gráfico e da tabela quando essas visualizações estão disponíveis.

Quando usar equações diofantinas lineares

Use uma equação diofantina linear quando precisar de soluções inteiras para uma relação linear que envolva duas incógnitas.

Isso é especialmente útil quando:

duas quantidades se combinam para formar um total desejado;
as variáveis contam objetos, etapas ou escolhas inteiras;
você precisa resolver uma congruência usando uma equação inteira equivalente;
você quer descrever todos os pontos da rede em uma reta;
você precisa saber se um valor desejado pode ser alcançado com dois incrementos inteiros;
você quer restringir as soluções a um intervalo inteiro prático.

O método não se limita a valores positivos. Coeficientes negativos, constantes negativas e soluções negativas podem ocorrer naturalmente na álgebra e na teoria dos números.

Limitações e pontos importantes

Esta calculadora foi projetada para equações diofantinas lineares com duas variáveis na forma exata:

$$ ax + by = c $$

Ela não resolve equações não lineares, equações com mais de duas variáveis, conjuntos de soluções racionais ou reais, nem equações que envolvam potências, produtos de variáveis, raízes, logaritmos ou funções trigonométricas.

Todos os valores principais devem ser inteiros com no máximo 1.000 dígitos, sem contar um sinal opcional. Decimais, frações, notação científica, campos vazios e valores não inteiros estão fora do tipo de entrada compatível.

As fórmulas matemáticas das soluções são exatas. Não há arredondamento decimal na família de soluções, na condição do mdc, na solução particular ou nos valores da tabela. No entanto, um gráfico é um recurso visual, portanto valores inteiros extremamente grandes podem ser grandes demais para serem exibidos com clareza ou segurança como pontos plotados.

Os limites também devem ser inteiros. Se os limites estiverem ativados, a calculadora restringirá a família de soluções encontrando quais valores inteiros de $k$ mantêm tanto $x$ quanto $y$ dentro do intervalo. Para $0x+0y=0$, ela conta diretamente o produto cartesiano limitado. Em intervalos limitados muito grandes, a quantidade exata ainda descreve o conjunto completo, mesmo quando o gráfico e a tabela mostram apenas amostras representativas determinísticas.

Os casos especiais com zero devem ser interpretados com cuidado:

Se $a=0$, $b=0$ e $c=0$, então todo par inteiro $(x,y)$ é uma solução.
Se $a=0$, $b=0$ e $c \ne 0$, então não há soluções.
Se exatamente um entre $a$ e $b$ for zero, a equação fixa uma variável e deixa a outra livre quando a condição de divisibilidade é satisfeita.

Como usar esta calculadora

Informe valores inteiros para $a$, $b$ e $c$ na equação $ax+by=c$.
Ative o modo de solução pequena se quiser que o resumo prefira uma solução representativa pequena em vez da solução de referência em $k=0$.
Ative os limites se quiser apenas soluções dentro dos intervalos inteiros selecionados para $x$ e $y$.
Se os limites estiverem ativados, informe $x_{\min}$, $x_{\max}$, $y_{\min}$ e $y_{\max}$.
Consulte a condição do mdc para verificar se existem soluções inteiras.
Use a solução particular e o passo de $k$ para entender como a família completa de soluções é gerada.
Confira o gráfico e a tabela para examinar pontos individuais da rede.
Baixe o gráfico como PNG quando ele estiver disponível e for útil.

Perguntas frequentes

O que torna uma equação diofantina?

Uma equação é diofantina quando suas soluções devem ser inteiras. A mesma equação pode ter muitas soluções reais, mas nenhuma solução inteira. Para esta calculadora, a equação deve ser linear e ter duas variáveis: $ax+by=c$.

Por que $\gcd(a,b)$ precisa dividir $c$?

Se $g=\gcd(a,b)$, então $g$ divide tanto $a$ quanto $b$. Isso significa que $g$ também divide toda combinação inteira $ax+by$. Portanto, se $g$ não dividir $c$, a equação não poderá ser verdadeira para valores inteiros de $x$ e $y$.

Uma solução particular fornece todas as soluções?

Uma solução particular fornece um ponto de partida. Todas as outras soluções surgem ao adicionar $\frac{b}{g}k$ a $x$ e subtrair $\frac{a}{g}k$ de $y$, em que $k$ é qualquer inteiro. A família completa é o que descreve todas as soluções inteiras.

O que significa o parâmetro $k$?

O parâmetro $k$ indexa os pontos da rede na reta. Aumentar $k$ em $1$ move-se de uma solução inteira para a seguinte pelo passo fixo $\left(\frac{b}{g},-\frac{a}{g}\right)$. Valores negativos de $k$ movem-se na direção oposta.

$a$ ou $b$ podem ser zero?

Sim. Se um coeficiente for zero, a equação se torna um problema de divisibilidade com uma variável, deixando a outra livre quando existe uma solução. Se os dois coeficientes forem zero, então $0=0$ permite qualquer par inteiro, enquanto $0=c$ com $c \ne 0$ não tem soluções.

Fontes e referências

Livros e textos abertos

Ted Sundstrom. Mathematical Reasoning: Writing and Proof. Grand Valley State University ScholarWorks / Mathematics LibreTexts. Seções 8.1, “The Greatest Common Divisor”, e 8.3, “Linear Diophantine Equations”. Acessado em 28 de junho de 2026. Seção 8.1 e Seção 8.3.
Oscar Levin. Discrete Mathematics: An Open Introduction, 3ª edição. Open Math Books. Seção 5.2, “Introduction to Number Theory”, especialmente “Solving Linear Diophantine Equations”. Acessado em 28 de junho de 2026. Fonte.

Fontes educacionais on-line

Brian Kell. “21-110: The Extended Euclidean Algorithm.” Carnegie Mellon University, última atualização em 26 de fevereiro de 2010. Acessado em 28 de junho de 2026. Fonte.