Calculadora de Elipses

Analise equações, dimensões, focos, diretrizes, área, perímetro e gráfico de elipses.

Os resultados são calculados automaticamente conforme você informa os dados.

Conversão e propriedades
Equação Informe dados válidos para a elipse.

▼ Veja explicações e dicas abaixo ▼

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O que é uma elipse alinhada aos eixos?

Uma elipse é uma curva fechada e suave construída em torno de dois pontos fixos chamados focos. Para qualquer ponto da elipse, a soma das distâncias até os dois focos permanece constante. Um círculo é um caso especial de elipse em que os dois focos coincidem no centro.

Uma elipse alinhada aos eixos é uma elipse cujos eixos maior e menor seguem horizontal e verticalmente no plano coordenado. Em outras palavras, ela não é inclinada. Isso torna sua equação mais fácil de ler, pois não há um termo \(xy\) e as principais características podem ser encontradas diretamente a partir do centro, dos comprimentos dos semieixos e da orientação.

Os dois comprimentos mais importantes são o semieixo maior e o semieixo menor. O semieixo maior, normalmente representado por \(a\), é a metade da maior largura da elipse. O semieixo menor, normalmente representado por \(b\), é a metade da menor largura. Por convenção, \(a \ge b > 0\).

Por que a geometria de elipses alinhadas aos eixos é importante

A geometria da elipse conecta a equação de uma curva à forma que você vê em um gráfico. Quando uma elipse está na forma padrão, é possível identificar seu centro, vértices, covértices, focos, excentricidade, área, diretrizes e perímetro aproximado sem depender apenas de um desenho.

Isso é especialmente útil para:

  • representar seções cônicas graficamente em álgebra ou pré-cálculo;
  • converter uma equação quadrática em uma equação padrão legível;
  • verificar se um conjunto de dimensões descreve uma elipse real;
  • comparar o quanto uma elipse se aproxima de um círculo ou é alongada;
  • encontrar características geométricas a partir de poucos valores informados, como um centro e dois comprimentos de semieixo.

A forma padrão também ajuda a evitar um erro comum: confundir os comprimentos completos dos eixos com os comprimentos dos semieixos. Se o comprimento do eixo maior for \(10\), então o semieixo maior será \(a=5\), e não \(a=10\).

Termos importantes

  • Centro: O ponto \((h,k)\) em torno do qual a elipse é simétrica.
  • Eixo maior: O eixo mais longo da elipse. Seu comprimento total é \(2a\).
  • Eixo menor: O eixo mais curto da elipse. Seu comprimento total é \(2b\).
  • Semieixo maior: A distância \(a\) do centro até um vértice ao longo do eixo maior.
  • Semieixo menor: A distância \(b\) do centro até um covértice ao longo do eixo menor.
  • Vértices: As duas extremidades do eixo maior.
  • Covértices: As duas extremidades do eixo menor.
  • Focos: Dois pontos dentro da elipse, cada um a \(c\) unidades do centro ao longo do eixo maior.
  • Distância focal: A distância \(c\) do centro até qualquer um dos focos.
  • Excentricidade: O valor adimensional \(e=\frac{c}{a}\) que descreve o quanto a elipse é alongada.
  • Diretrizes: Retas associadas à definição foco-diretriz de uma elipse não circular.
  • Forma padrão: A forma da equação que mostra claramente o centro e os quadrados dos comprimentos dos semieixos.
  • Forma geral: Uma forma de equação quadrática como \(Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0\) para o caso alinhado aos eixos compatível aqui.

Como funciona a geometria de elipses alinhadas aos eixos

Uma elipse alinhada aos eixos pode ser descrita de várias maneiras equivalentes. Em geral, o objetivo é converter as informações disponíveis no mesmo conjunto básico de propriedades: centro, semieixo maior, semieixo menor, orientação, distância focal e equação padrão.

Forma padrão de uma elipse horizontal

Para uma elipse centrada em \((h,k)\) com eixo maior horizontal, a equação padrão é:

$$ \frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1 $$

em que \(a \ge b > 0\).

As principais características são:

  • centro: \((h,k)\);
  • vértices: \((h-a,k)\) e \((h+a,k)\);
  • covértices: \((h,k-b)\) e \((h,k+b)\);
  • focos: \((h-c,k)\) e \((h+c,k)\).

Forma padrão de uma elipse vertical

Para uma elipse centrada em \((h,k)\) com eixo maior vertical, a equação padrão é:

$$ \frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1 $$

The main features are:

  • centro: \((h,k)\);
  • vértices: \((h,k-a)\) e \((h,k+a)\);
  • covértices: \((h-b,k)\) e \((h+b,k)\);
  • focos: \((h,k-c)\) e \((h,k+c)\).

O maior denominador sempre pertence à direção do eixo maior. Se o maior denominador estiver sob o termo \(x\), a elipse será horizontal. Se o maior denominador estiver sob o termo \(y\), a elipse será vertical.

Distância focal e excentricidade

A distância focal \(c\) é obtida a partir dos comprimentos dos semieixos:

$$ c^2=a^2-b^2 $$

portanto:

$$ c=\sqrt{a^2-b^2} $$

A excentricidade é:

$$ e=\frac{c}{a} $$

Para uma elipse, \(0 \le e < 1\). Quando \(e=0\), a forma é um círculo. Valores mais próximos de \(1\) descrevem uma elipse mais alongada, embora \(e\) nunca alcance \(1\) em uma elipse não degenerada.

Para uma elipse horizontal não circular, as diretrizes são:

$$ x=h\pm\frac{a}{e} $$

Para uma elipse vertical não circular, as diretrizes são:

$$ y=k\pm\frac{a}{e} $$

Quando \(e=0\), não há um valor finito para a diretriz, pois \(\frac{a}{e}\) é indefinido.

Área e perímetro

A área de uma elipse é:

$$ \text{Area}=\pi ab $$

O perímetro de uma elipse é mais complicado que o perímetro de um círculo. Não existe uma fórmula elementar simples como \(2\pi r\) que forneça o perímetro exato da elipse em termos algébricos comuns. Esta calculadora informa uma aproximação:

$$ P\approx \pi\left(3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right) $$

Para obter um cálculo de ponto flutuante estável, a calculadora avalia a forma escalada algebricamente equivalente com \(r=b/a\):

$$ P\approx \pi a\left(3(1+r)-\sqrt{(3+r)(1+3r)}\right),\qquad 0<r\le1 $$

Essa aproximação geralmente é adequada para gráficos comuns e uso educacional, mas não deve ser tratada como um perímetro simbólico exato.

Conversão a partir da forma geral

Para uma elipse alinhada aos eixos na forma geral compatível,

$$ Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0 $$

não há um termo \(xy\). Os coeficientes \(A\) e \(C\) devem ser diferentes de zero e ter o mesmo sinal. Para converter para a forma padrão, complete o quadrado em \(x\) e \(y\).

Primeiro, encontre o centro:

$$ h=-\frac{D}{2A} $$
$$ k=-\frac{E}{2C} $$

Em seguida, calcule o lado direito após completar o quadrado:

$$ R=-F+Ah^2+Ck^2 $$

A equação fica:

$$ A(x-h)^2+C(y-k)^2=R $$

Depois de dividir por \(R\), os denominadores da forma padrão são:

$$ \frac{(x-h)^2}{R/A}+\frac{(y-k)^2}{R/C}=1 $$

Os dois denominadores devem ser positivos para que exista uma elipse real. O maior denominador é \(a^2\), e o menor é \(b^2\).

Usando um vértice e um foco a partir da origem

Uma configuração simplificada de vértice e foco também pode descrever uma elipse centrada na origem. Nessa abordagem, a coordenada do vértice fornece a distância \(a\) até a origem, e a coordenada do foco fornece a distância \(c\) até a origem:

$$ a=\sqrt{v_x^2+v_y^2} $$
$$ c=\sqrt{f_x^2+f_y^2} $$

A distância focal deve ser menor que a distância até o vértice:

$$ c

Então, o semieixo menor é:

$$ b=\sqrt{a^2-c^2} $$

Esse método é útil somente para a configuração compatível centrada na origem. O vértice e o foco informados devem estar cada um sobre um eixo coordenado, e ambos devem estar no mesmo eixo; qualquer um deles pode estar no lado negativo. O método não deve ser usado de forma geral para elipses deslocadas ou inclinadas.

Exemplos práticos de geometria de elipses

Exemplo 1: Centro e semieixos

Suponha que uma elipse tenha centro \((2,-1)\), semieixo maior \(a=5\), semieixo menor \(b=3\) e eixo maior horizontal.

A equação padrão é:

$$ \frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y+1)^2}{9}=1 $$

A distância focal é:

$$ c=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4 $$

A excentricidade é:

$$ e=\frac{4}{5}=0.8 $$

Os vértices são:

$$ (2-5,-1)=(-3,-1) $$
$$ (2+5,-1)=(7,-1) $$

Os focos são:

$$ (2-4,-1)=(-2,-1) $$
$$ (2+4,-1)=(6,-1) $$

A área é:

$$ \pi ab=\pi(5)(3)=15\pi\approx 47.1239 $$

A aproximação do perímetro é:

$$ P\approx \pi\left(3(5+3)-\sqrt{(3\cdot5+3)(5+3\cdot3)}\right) $$
$$ P\approx 25.527 $$

Exemplo 2: Completando o quadrado a partir da forma geral

Considere a equação:

$$ 9x^2+4y^2-54x+16y+61=0 $$

Aqui, \(A=9\), \(C=4\), \(D=-54\), \(E=16\) e \(F=61\).

Encontre o centro:

$$ h=-\frac{-54}{2\cdot9}=3 $$
$$ k=-\frac{16}{2\cdot4}=-2 $$

Encontre \(R\):

$$ R=-61+9(3^2)+4((-2)^2) $$
$$ R=-61+81+16=36 $$

Agora, divida pelos denominadores:

$$ \frac{(x-3)^2}{36/9}+\frac{(y+2)^2}{36/4}=1 $$

Portanto, a forma padrão é:

$$ \frac{(x-3)^2}{4}+\frac{(y+2)^2}{9}=1 $$

O maior denominador está sob o termo \(y\), portanto a elipse é vertical. Isso fornece \(a=3\), \(b=2\) e:

$$ c=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5} $$

Os vértices são \((3,-5)\) e \((3,1)\), e os focos são \((3,-2-\sqrt{5})\) e \((3,-2+\sqrt{5})\).

Exemplo 3: Distâncias do vértice e do foco até a origem

Suponha que a coordenada do vértice seja \((0,4)\) e a coordenada do foco seja \((0,3)\). O centro é considerado a origem.

A distância até o vértice é:

$$ a=\sqrt{0^2+4^2}=4 $$

A distância focal é:

$$ c=\sqrt{0^2+3^2}=3 $$

Como \(c<a\), isso pode descrever uma elipse. O semieixo menor é:

$$ b=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7} $$

Como o vértice é vertical, a equação padrão é:

$$ \frac{x^2}{7}+\frac{y^2}{16}=1 $$

A excentricidade é:

$$ e=\frac{3}{4}=0.75 $$

As diretrizes são:

$$ y=0\pm\frac{4}{0.75} $$
$$ y=\pm\frac{16}{3} $$

Como interpretar o resultado

A equação padrão geralmente é o resultado mais importante. Ela informa o centro e mostra qual eixo é o maior ao colocar o maior denominador sob a variável do eixo maior.

O centro mostra o ponto de simetria. Se a equação contiver \((x-2)^2\), a coordenada \(x\) do centro será \(2\). Se contiver \((x+2)^2\), a coordenada \(x\) do centro será \(-2\), pois \((x+2)^2=(x-(-2))^2\).

Os valores dos semieixos maior e menor são metades dos comprimentos. O eixo maior completo é \(2a\), e o eixo menor completo é \(2b\).

A excentricidade é adimensional. Um valor próximo de \(0\) significa que a elipse é quase circular. Um valor maior, abaixo de \(1\), significa que os focos estão mais afastados do centro e a elipse é mais alongada.

A área é informada em unidades quadradas de coordenada porque vem de \(\pi ab\). Se a unidade das coordenadas for metros, a área estará em metros quadrados. Se os valores informados forem adimensionais, a área também será interpretada em unidades arbitrárias ao quadrado.

O valor do perímetro é aproximado. Ele é útil como estimativa prática da distância ao redor da elipse, mas não é um resultado exato do mesmo tipo que a equação padrão ou a fórmula da área.

Os vértices são as extremidades do eixo maior. Os covértices são as extremidades do eixo menor. Os focos ficam dentro da elipse, sobre o eixo maior, a \(c\) unidades do centro. As diretrizes são verticais para elipses horizontais e horizontais para elipses verticais.

Erros comuns e conceitos equivocados

  • Informar os comprimentos completos dos eixos em vez dos comprimentos dos semieixos. Se o eixo maior completo for \(12\), informe \(a=6\) quando for solicitado um semieixo maior.
  • Supor que \(a\) e \(b\) podem estar em qualquer ordem. Na notação padrão de elipses, \(a\) é o semieixo maior e \(b\) é o semieixo menor, portanto \(a\ge b\).
  • Esquecer que a orientação importa. Uma elipse horizontal e uma elipse vertical podem ter os mesmos valores de \(a\) e \(b\), mas equações diferentes.
  • Interpretar incorretamente os sinais do centro. O termo \((x+4)^2\) significa \(h=-4\), e não \(h=4\).
  • Usar uma elipse rotacionada. Equações com um termo \(xy\) descrevem uma cônica rotacionada e estão fora da configuração alinhada aos eixos compatível.
  • Não passar todos os termos para um lado na forma geral. A forma compatível é \(Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0\).
  • Usar o modo de focos para uma elipse deslocada. O método simplificado de vértice e foco supõe que o centro é a origem.
  • Informar uma distância focal maior ou igual à distância até o vértice. Para uma elipse, \(c<a\) deve ser válido.
  • Tratar a estimativa do perímetro como exata. Os cálculos do perímetro de uma elipse geralmente dependem de aproximações ou funções especiais.
  • Combinar unidades. Coordenadas, comprimentos dos semieixos, vértices e focos devem usar a mesma escala de unidades.

Quando usar a geometria de elipses alinhadas aos eixos

Use a geometria de elipses alinhadas aos eixos quando precisar descrever ou analisar uma elipse cujos eixos são paralelos aos eixos coordenados.

Os usos comuns incluem:

  • escrever a equação de uma elipse a partir do centro e das dimensões;
  • representar uma elipse graficamente a partir de uma equação padrão;
  • encontrar vértices, covértices e focos em um problema de seção cônica;
  • converter uma equação quadrática compatível para a forma padrão;
  • verificar se um conjunto de coeficientes da forma geral representa uma elipse real;
  • comparar elipses pela excentricidade, área ou perímetro aproximado.

Se a elipse for inclinada, tiver um termo \(xy\) ou vier de um contexto que exija medições de perímetro de alta precisão, use um método mais especializado.

Limitações e pontos importantes

Esta calculadora foi desenvolvida para elipses alinhadas aos eixos. Ela não lida com elipses rotacionadas nem com equações que contenham um termo \(xy\).

No modo de dimensões, os valores \(a\) e \(b\) são comprimentos de semieixos, não comprimentos completos dos eixos. Os valores devem ser positivos e satisfazer \(a\ge b\). Se \(b>a\), a calculadora exibirá um erro de entrada; ela não reordenará os eixos.

No modo de forma geral, a equação compatível é:

$$ Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0 $$

Os coeficientes \(A\) e \(C\) devem ser diferentes de zero e ter o mesmo sinal. Depois de completar o quadrado, os denominadores devem ser positivos. Caso contrário, a equação não descreve uma elipse real no formato compatível.

No modo de vértice e foco, supõe-se que o centro seja \((0,0)\). O vértice e o foco informados são tratados por suas distâncias até a origem. Isso significa que o método não verifica completamente todos os detalhes geométricos necessários para uma elipse arbitrariamente deslocada ou rotacionada.

Não há conversão de unidades integrada ao cálculo. Todas as coordenadas e os comprimentos informados devem usar a mesma unidade implícita.

Os valores exibidos podem ser arredondados. Somente valores exatamente iguais a zero são exibidos como \(0\); valores diferentes de zero muito grandes ou muito pequenos podem ser exibidos em notação científica. Essa formatação ajuda a manter os resultados legíveis, mas significa que um decimal exibido pode não mostrar todos os dígitos internos.

A calculadora usa números finitos do JavaScript. Ela rejeita dimensões quando os comprimentos dos eixos ao quadrado, a área ou a aproximação do perímetro não podem ser representados com segurança. Para eixos extremamente desiguais, o arredondamento pode fazer a excentricidade exibida aparecer como \(1\), mesmo que tenha sido informado um semieixo menor diferente de zero.

A fórmula da diretriz envolve \(\frac{a}{e}\). Quando uma elipse é circular, \(e=0\) e não há uma diretriz finita. Quando uma elipse é quase circular, \(e\) pode ser muito pequeno, fazendo com que os valores das diretrizes se tornem muito grandes.

Como usar esta calculadora

  1. Escolha o modo da calculadora: dimensões, forma geral ou focos.
  2. No modo de dimensões, informe as coordenadas do centro \(h\) e \(k\), os dois comprimentos positivos dos semieixos e a orientação.
  3. No modo de forma geral, informe \(A\), \(C\), \(D\), \(E\) e \(F\) para a equação \(Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0\).
  4. No modo de focos, informe uma coordenada de vértice e uma coordenada de foco em relação à origem. Verifique se a distância focal é menor que a distância até o vértice.
  5. Confira a equação padrão, o centro, os comprimentos dos semieixos, a excentricidade, a área, o gráfico, os pontos importantes, as diretrizes, a distância focal e a aproximação do perímetro.
  6. Use a opção de download do gráfico quando precisar salvar a imagem da elipse representada.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre o eixo maior e o semieixo maior?

O eixo maior é a maior largura total da elipse. O semieixo maior é a metade dessa largura, medida do centro até um vértice. Se o comprimento do eixo maior for \(2a\), o comprimento do semieixo maior será \(a\).

Como saber se uma elipse é horizontal ou vertical?

Observe o maior denominador na forma padrão. Se o maior denominador estiver sob o termo \(x\), o eixo maior será horizontal. Se o maior denominador estiver sob o termo \(y\), o eixo maior será vertical.

Uma elipse pode ter comprimentos de semieixo iguais?

Sim. Quando \(a=b\), a elipse é um círculo. Nesse caso, a distância focal é \(c=0\), a excentricidade é \(e=0\) e não há uma diretriz finita.

Por que o perímetro é apenas aproximado?

Diferentemente da circunferência de um círculo, o perímetro de uma elipse não se reduz a uma fórmula elementar básica. Os cálculos práticos geralmente usam aproximações ou funções especiais. Portanto, o perímetro exibido é uma estimativa, não um valor simbólico exato.

Posso usar uma equação com um termo \(xy\)?

Não. Uma equação com um termo \(xy\) geralmente representa uma cônica rotacionada. Esta calculadora se concentra em elipses alinhadas aos eixos, portanto a forma geral compatível inclui \(x^2\), \(y^2\), \(x\), \(y\) e um termo constante, mas não um termo \(xy\).

Por que \((x+3)^2\) significa que o centro tem \(h=-3\)?

A forma padrão usa \((x-h)^2\). Se a expressão for \((x+3)^2\), ela poderá ser reescrita como \((x-(-3))^2\). Isso significa que a coordenada \(x\) do centro é \(-3\).

Fontes e referências

Livros e livros didáticos

  1. Jay Abramson. College Algebra 2e. OpenStax, 2021. Capítulo 8, Seção 8.1, “The Ellipse”; conceitos fundamentais do Capítulo 8. Seção 8.1 e Conceitos fundamentais do Capítulo 8.
  2. Gilbert Strang e Edwin “Jed” Herman. Calculus Volume 2. OpenStax, 2016. Capítulo 7, Seção 7.5, “Conic Sections”. Seção 7.5.

Fontes on-line e oficiais

  1. Eric W. Weisstein. “Ellipse”. MathWorld—A Wolfram Web Resource, acesso em 28 de junho de 2026. https://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html.
  2. National Institute of Standards and Technology. “§19.30 Lengths of Plane Curves”. NIST Digital Library of Mathematical Functions, acesso em 28 de junho de 2026. https://dlmf.nist.gov/19.30.