As funções compatíveis incluem operações aritméticas, potências, sqrt(), log(), ln(), exp(), abs(), sin(), cos(), tan() e as constantes pi/e.
Calculadora de Domínio e Imagem
Use esta Calculadora de Domínio e Imagem para informar valores, ajustar opções e analisar resultados em uma área de trabalho compacta e responsiva.
Os resultados são calculados automaticamente conforme você informa os dados.
Domínio
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O que são domínio e imagem?
O domínio de uma função é o conjunto de valores de entrada que a função pode aceitar. Para uma função escrita como \(f(x)\), o domínio responde à pergunta: quais valores reais de \(x\) são permitidos?
A imagem de uma função é o conjunto de valores de saída que ela pode produzir. Ela responde à pergunta: depois de usar todas as entradas permitidas, quais valores reais \(f(x)\) pode assumir?
Por exemplo, a função \(f(x)=x^2\) aceita qualquer número real como entrada, portanto seu domínio é o conjunto dos números reais. Suas saídas, no entanto, nunca são negativas, então sua imagem é \([0,\infty)\).
O domínio e a imagem geralmente são escritos de uma destas três formas comuns:
- Palavras: todos os números reais, exceto \(2\).
- Notação de intervalos: \((-\infty,2)\cup(2,\infty)\).
- Notação por compreensão: \(\{x\in\mathbb{R}\mid x\ne2\}\).
Esses formatos descrevem a mesma ideia de maneiras diferentes. A notação de intervalos é compacta, enquanto a notação por compreensão é útil quando uma regra ou condição é mais clara do que uma lista de intervalos.
Por que domínio e imagem são importantes
O domínio e a imagem ajudam a entender o que uma função realmente significa. Uma fórmula pode parecer válida à primeira vista, mas algumas entradas podem tornar a expressão indefinida ou não real. Por exemplo, a divisão por zero não é permitida na álgebra dos números reais, e a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
O domínio e a imagem também são importantes ao fazer gráficos. O domínio indica até onde o gráfico se estende para a esquerda e para a direita. A imagem indica até onde ele se estende para baixo e para cima. Quando um gráfico tem uma interrupção, um furo, uma extremidade ou uma assíntota vertical, o domínio e a imagem geralmente explicam o motivo.
Em álgebra e pré-cálculo, o domínio e a imagem são especialmente úteis para:
- verificar se uma fórmula é válida para uma determinada entrada;
- descrever com clareza o comportamento do gráfico;
- reconhecer restrições causadas por frações, radicais, logaritmos e funções trigonométricas;
- comparar uma prévia numérica do gráfico com o comportamento matemático exato de uma função.
Termos importantes
- Função: Uma regra que associa exatamente uma saída a cada entrada permitida.
- Entrada: O valor substituído em \(x\).
- Saída: O valor produzido pela função, geralmente escrito como \(f(x)\).
- Domínio: O conjunto de todas as entradas permitidas.
- Imagem: O conjunto de todas as saídas possíveis.
- Função real: Uma função cujas saídas são números reais.
- Notação de intervalos: Uma forma compacta de descrever conjuntos contínuos de números reais, como \([1,5)\) ou \((-\infty,3)\).
- Notação por compreensão: Uma forma de descrever um conjunto usando uma condição, como \(\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}\).
- Restrição: Uma condição que remove algumas entradas do domínio.
- Descontinuidade: Uma interrupção, um furo, um salto ou uma assíntota em um gráfico.
- Assíntota vertical: Uma reta vertical da qual o gráfico se aproxima, mas que não atravessa no comportamento usual da função.
- Amostragem numérica: Estimar o comportamento avaliando uma função em vários valores de entrada selecionados.
Como funcionam o domínio e a imagem
Um bom primeiro passo é imaginar que todo número real é permitido e, em seguida, remover as entradas que violam as regras das funções reais.
As restrições comuns de domínio incluem estas condições:
Denominadores não podem ser iguais a zero
Em uma fração com denominador \(g(x)\), o denominador não pode ser zero:
$$
g(x)\ne0
$$
Por exemplo, em
$$
f(x)=\frac{1}{x-2},
$$
o denominador é zero quando \(x=2\), portanto \(2\) deve ser excluído do domínio.
Raízes de índice par precisam de radicandos não negativos
Em uma raiz quadrada, a expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
$$
a(x)\ge0
$$
Por exemplo,
$$
f(x)=\sqrt{x+4}
$$
exige \(x+4\ge0\), portanto \(x\ge-4\).
Logaritmos precisam de argumentos positivos
Em um logaritmo, o argumento deve ser positivo:
$$
a(x)>0
$$
Por exemplo,
$$
f(x)=\ln(x-1)
$$
exige \(x-1>0\), portanto \(x>1\).
A tangente tem entradas excluídas que se repetem
A função tangente é indefinida quando seu denominador, o cosseno, é zero. Em uma expressão de tangente, as entradas excluídas ocorrem quando o argumento da tangente é igual a
$$
\frac{\pi}{2}+k\pi,
$$
em que \(k\) é qualquer número inteiro. Para a função básica \(f(x)=\tan(x)\), as entradas excluídas são
$$
x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
$$
A imagem costuma ser mais difícil que o domínio
O domínio geralmente é encontrado resolvendo as restrições da entrada. A imagem costuma ser mais sutil porque depende do comportamento da saída da função inteira. Um gráfico pode ajudar, mas a janela do gráfico mostra apenas uma parte da função.
Para provar uma imagem exata, pode ser necessário usar álgebra, funções inversas, transformações de gráficos ou otimização. Uma prévia numérica da imagem é útil para exploração, mas não deve ser tratada como prova da imagem global, a menos que a função e a janela justifiquem essa conclusão.
Uma estimativa da imagem na janela do gráfico baseia-se em saídas amostradas. Se uma função for amostrada de \(x_{\min}\) a \(x_{\max}\) usando um número escolhido de intervalos de amostragem, o tamanho do passo será
$$
\Delta x=\frac{x_{\max}-x_{\min}}{\text{samples}}.
$$
As entradas amostradas são
$$
x_i=x_{\min}+i\Delta x,\quad i=0,1,2,\ldots,\text{samples}.
$$
O envelope das saídas amostradas baseia-se, então, nos menores e maiores valores finitos encontrados entre essas saídas:
$$
\left[\min f(x_i),\max f(x_i)\right].
$$
Esse envelope é uma estimativa dentro da janela de gráfico selecionada. Ele não prova que todos os valores entre as extremidades ocorrem e não é necessariamente a imagem exata em todo o domínio. Quando a calculadora consegue provar uma imagem global exata para uma família compatível, ela exibe esse resultado separadamente.
Exemplos práticos de domínio e imagem
Exemplo 1: Uma função racional
Considere
$$
f(x)=\frac{x+1}{x-3}.
$$
O denominador não pode ser zero:
$$
x-3\ne0.
$$
Resolvendo, obtemos
$$
x\ne3.
$$
Portanto, o domínio é
$$
(-\infty,3)\cup(3,\infty).
$$
Na notação por compreensão, isso é
$$
\{x\in\mathbb{R}\mid x\ne3\}.
$$
O gráfico tem uma assíntota vertical em \(x=3\), portanto a prévia do gráfico não deve desenhar uma curva contínua passando por esse valor excluído.
Exemplo 2: Uma função de raiz quadrada
Considere
$$
f(x)=\sqrt{x+4}.
$$
O valor sob a raiz quadrada deve ser não negativo:
$$
x+4\ge0.
$$
Resolvendo, obtemos
$$
x\ge-4.
$$
Portanto, o domínio é
$$
[-4,\infty).
$$
Como as raízes quadradas produzem saídas não negativas, a imagem é
$$
[0,\infty).
$$
Este exemplo mostra por que as extremidades são importantes. A entrada \(x=-4\) é permitida porque resulta em \(\sqrt{0}=0\), portanto o intervalo usa um colchete fechado.
Exemplo 3: Uma função logarítmica
Considere
$$
f(x)=\ln(x-1).
$$
O argumento do logaritmo deve ser positivo:
$$
x-1>0.
$$
Resolvendo, obtemos
$$
x>1.
$$
Portanto, o domínio é
$$
(1,\infty).
$$
A extremidade \(x=1\) não está incluída porque o logaritmo de zero é indefinido. O gráfico tem uma assíntota vertical em \(x=1\) e continua para a direita.
Exemplo 4: Uma função tangente
Considere
$$
f(x)=\tan(x).
$$
A função tangente é indefinida em
$$
x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
$$
Portanto, o domínio é formado por todos os números reais, exceto esses valores repetidos:
$$
\{x\in\mathbb{R}\mid x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\}.
$$
Seu gráfico tem assíntotas verticais repetidas, e uma janela de gráfico limitada pode mostrar apenas algumas delas.
Como interpretar o resultado
Um resultado de domínio informa quais valores reais de \(x\) são permitidos para a função informada.
Se o domínio for mostrado como todos os números reais, isso significa que nenhuma restrição compatível foi detectada. Na notação matemática, todos os números reais podem ser escritos como
$$
\mathbb{R}
$$
or
$$
(-\infty,\infty).
$$
Se o domínio excluir um ou mais valores, esses valores tornam a expressão indefinida ou inválida nos números reais. Uma função racional pode excluir as raízes do denominador, enquanto uma função tangente pode excluir infinitos valores repetidos.
Se o resultado indicar que o domínio precisa ser revisado, isso significa que foram detectadas restrições, mas a notação exata de intervalos ou periódica pode exigir álgebra adicional. Isso pode acontecer com raízes quadradas, logaritmos, expressões de tangente ou restrições de denominadores que não são simples o bastante para serem resolvidas automaticamente.
A prévia da imagem deve ser lida como uma estimativa obtida na janela de gráfico escolhida. Um resultado como
$$
\text{approximately }[-2.5,8.1]
$$
significa que as saídas finitas amostradas na janela selecionada variaram aproximadamente de \(-2.5\) a \(8.1\). Uma janela diferente ou uma densidade de amostragem maior pode revelar um mínimo ou máximo diferente.
A tabela de restrições, quando exibida, explica a origem das restrições. A prévia do gráfico também pode marcar valores de \(x\) excluídos que estejam dentro da janela selecionada.
Erros e equívocos comuns
Supor que a prévia da imagem é exata. Um gráfico amostrado pode não detectar um ponto de retorno acentuado, uma característica estreita ou um comportamento fora da janela selecionada. Trate a prévia como uma orientação, não como uma prova.
Esquecer as restrições do denominador. Em uma função racional, os valores que tornam o denominador zero devem ser excluídos, mesmo que o numerador também seja zero.
Tratar as extremidades de raízes quadradas incorretamente. Para \(\sqrt{a(x)}\), a condição é \(a(x)\ge0\), e não \(a(x)>0\). Um radicando igual a zero é permitido.
Tratar as extremidades de logaritmos incorretamente. Para \(\ln(a(x))\) ou \(\log(a(x))\), a condição é \(a(x)>0\). Um argumento igual a zero ou negativo não é permitido em logaritmos reais.
Usar vírgulas como casas decimais. As entradas decimais devem usar um ponto decimal. As vírgulas não são interpretadas como separadores decimais.
Usar uma variável diferente de \(x\). A calculadora foi projetada para funções de uma única variável \(x\).
Esperar que toda forma de função seja compatível. Algumas funções, definições por partes, funções com vários argumentos e funções trigonométricas inversas podem exigir álgebra à parte ou outra ferramenta.
Esquecer que \(\log\) e \(\ln\) são tratados da mesma forma aqui. Nesta calculadora, ambos são avaliados como logaritmos naturais. Isso afeta as saídas numéricas, embora a condição de domínio continue sendo a mesma: o argumento deve ser positivo.
Quando usar domínio e imagem
Use o domínio e a imagem quando precisar entender onde uma função é válida e quais saídas ela pode produzir.
Os usos comuns incluem:
- conferir respostas de exercícios de álgebra, pré-cálculo e unidades sobre gráficos;
- encontrar restrições antes de fazer o gráfico de uma função;
- comparar a notação de intervalos com a notação por compreensão;
- identificar furos, valores excluídos e assíntotas verticais;
- explorar como as janelas do gráfico afetam o comportamento visível;
- estimar imagens de saída antes de fazer uma análise simbólica mais exata.
O domínio e a imagem também são úteis ao modelar situações reais. Uma fórmula pode ser matematicamente válida para muitas entradas, mas um modelo do mundo real pode exigir um domínio menor. Por exemplo, o tempo pode precisar ser não negativo, uma quantidade pode precisar ser um número inteiro, ou uma medida física pode precisar permanecer dentro de um intervalo significativo.
Limitações e pontos importantes
Esta calculadora trabalha com funções reais de uma única variável \(x\). Ela não analisa domínios de valores complexos nem funções de várias variáveis.
O analisador de domínio trata exatamente restrições polinomiais constantes, lineares e quadráticas, desigualdades racionais compatíveis, raízes quadradas e logaritmos afins, exclusões afins da tangente e potências inteiras ou racionais compatíveis. Se alguma expressão sensível ao domínio estiver fora desse subconjunto simbólico, o resultado será identificado como parcial e mostrará apenas as condições que foram provadas.
Imagens globais exatas são provadas para famílias comuns compatíveis, como funções afins e quadráticas, transformações afins de funções elementares padrão e funções homográficas. Caso contrário, a calculadora mostra um envelope de saídas amostradas a partir da janela de gráfico selecionada. Esse envelope depende de três escolhas:
- a extremidade esquerda \(x_{\min}\);
- a extremidade direita \(x_{\max}\);
- a densidade de amostragem.
Uma janela de gráfico estreita pode não detectar comportamentos importantes. Uma densidade de amostragem baixa pode não detectar extremos entre os pontos amostrados. Uma janela mais ampla ou uma densidade de amostragem maior pode melhorar a exploração, mas ainda não substitui a álgebra exata quando uma imagem global exata é necessária.
Todas as saídas finitas amostradas, inclusive valores muito grandes, participam do envelope amostrado. Pontos não finitos e inválidos são separados dos segmentos válidos do gráfico. A escala do gráfico pode comprimir visualmente comportamentos extremos próximos a assíntotas verticais; por isso, examine o domínio exato e os rótulos numéricos, além da curva.
Os números exibidos podem ser arredondados. Os valores da prévia da imagem são mostrados com uma precisão decimal prática, enquanto os valores exibidos ao passar o cursor sobre o gráfico e os limites detectados podem usar uma precisão diferente. O arredondamento facilita a leitura dos resultados, mas o trabalho simbólico exato pode exigir que as expressões sejam mantidas na forma exata.
Como usar esta calculadora
- Insira uma função real usando \(x\) como variável.
-
Use operações e funções compatíveis, como
sqrt,log,ln,exp,abs,sin,cosetan. - Defina os valores x-mín e x-máx do gráfico para escolher a janela usada no gráfico e na prévia da imagem, com x-mín menor que x-máx.
- Insira uma densidade de amostragem inteira de \(120\) a \(1200\).
- Ative a tabela de restrições se quiser uma descrição detalhada das restrições detectadas.
- Consulte o domínio, a notação de conjuntos, a imagem exata quando disponível, o envelope de saídas amostradas, as restrições, o gráfico e as etapas.
- Passe o cursor sobre o gráfico para examinar os valores finitos das coordenadas quando disponíveis.
- Baixe a imagem do gráfico se o gráfico estiver disponível e a opção de download for exibida.
Para obter melhores resultados, comece com uma janela de gráfico que abranja o comportamento que você quer analisar. Se a prévia da imagem parecer surpreendente, tente uma janela mais ampla, uma janela mais focada perto de características importantes ou uma densidade de amostragem maior.
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre domínio e imagem?
O domínio é o conjunto das entradas permitidas. A imagem é o conjunto das saídas possíveis. Para \(f(x)=x^2\), o domínio é o conjunto dos números reais, mas a imagem contém apenas valores não negativos.
Por que às vezes uma função tem uma restrição de domínio?
Uma restrição aparece quando alguma entrada tornaria a expressão indefinida ou não real. As causas comuns incluem divisão por zero, raízes quadradas de números negativos, logaritmos de números não positivos e assíntotas da tangente.
O envelope de saídas amostradas é a imagem exata?
Não. O envelope de saídas amostradas baseia-se nas saídas finitas da janela de gráfico selecionada e pode incluir valores que a função nunca assume. Quando a calculadora prova uma imagem global exata, ela exibe esse resultado em um cartão separado.
Por que o domínio pode indicar que é preciso revisar?
Algumas restrições são fáceis de enunciar, mas mais difíceis de resolver completamente. Desigualdades com raízes quadradas, desigualdades logarítmicas, exclusões da tangente e expressões complicadas no denominador podem exigir trabalho simbólico adicional além de uma prévia automática.
Por que \(x=0\) é permitido em algumas funções, mas não em outras?
A possibilidade de usar \(0\) depende do que a expressão faz com ele. Em \(f(x)=x^2\), \(0\) é permitido. Em \(f(x)=\frac{1}{x}\), \(0\) não é permitido porque isso cria uma divisão por zero. Em \(f(x)=\ln(x)\), \(0\) não é permitido porque os argumentos dos logaritmos devem ser positivos.
Como devo escolher a janela do gráfico?
Escolha uma janela que inclua a parte da função que você quer estudar. Se estiver verificando o comportamento perto de uma restrição, inclua valores dos dois lados quando possível. Se estiver estimando a imagem, lembre-se de que mudar a janela pode alterar o mínimo e o máximo exibidos na prévia.
Uma função pode ter domínio vazio?
Sim. Uma fórmula pode ser indefinida para toda entrada real. Por exemplo, um denominador que seja sempre zero não deixaria nenhum valor de entrada real disponível.
Fontes e referências
Livros
- Jay Abramson. College Algebra 2e. OpenStax, 2021. Capítulo 3, seções 3.1 “Functions and Function Notation” e 3.2 “Domain and Range”. Acessado em 28 de junho de 2026. Seção 3.1, Seção 3.2.
- Jay Abramson. Precalculus 2e. OpenStax, 2021. Seções 1.2 “Domain and Range”, 4.4 “Graphs of Logarithmic Functions” e 6.2 “Graphs of the Other Trigonometric Functions”. Acessado em 28 de junho de 2026. Seção 1.2, Seção 4.4, Seção 6.2.