Calculadora de Diagramas de Voronoi

Use esta Calculadora de Diagramas de Voronoi para criar e editar diagramas, ajustar opções e analisar resultados em uma área de trabalho responsiva.

Os resultados são calculados automaticamente conforme você informa os dados.

Opções avançadas
Adicionar um local por coordenada

Adicione, arraste ou remova locais para atualizar a geometria em tempo real.

Teclado: A, a tecla Enter ou Espaço adiciona um local; Cima/Baixo seleciona um local; Esquerda/Direita o move; Ctrl+Cima/Baixo o move verticalmente; as teclas Home e End selecionam o primeiro ou o último local; Delete ou Backspace o remove. Shift+Seta move 10 pixels lógicos.

▼ Veja explicações e dicas abaixo ▼

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O que é um diagrama de Voronoi?

Um diagrama de Voronoi divide um espaço plano em regiões ao redor de um conjunto de pontos. Cada ponto é chamado de site. Todo local dentro da região de um site está mais próximo desse site do que de qualquer outro.

This idea is useful whenever the main question is, "Qual ponto está mais próximo?" Por exemplo, quando vários centros de atendimento, lojas, sensores, torres de celular ou pontos de amostra são colocados em uma superfície semelhante a um mapa, um diagrama de Voronoi mostra a área naturalmente associada a cada um segundo uma regra de distância escolhida.

Nesta calculadora, o espaço é um retângulo fixo de (900\times560) pixels lógicos. A exibição é dimensionada de forma responsiva sem alterar a geometria, portanto os mesmos sites produzem as mesmas medições no computador e no celular. As distâncias continuam sendo valores do espaço da tela, e não medições de um mapa do mundo real.

Por que os diagramas de Voronoi são importantes

Os diagramas de Voronoi transformam um conjunto de pontos separados em um padrão espacial fácil de interpretar. Em vez de apenas ver onde os pontos estão, você pode observar quanto território cada ponto controla, quais pontos são adjacentes e onde ficam os limites de distância igual.

Eles são usados com frequência para explicar ideias de:

  • Geometria e geometria computacional: particionamento de um plano em regiões do site mais próximo.
  • visualização de dados: representação de áreas de influência local ou cobertura.
  • exemplos de planejamento: exploração de áreas de atendimento de instalações, sensores, torres ou locais de amostra.
  • ensino: conexão entre distância, mediatrizes, área de polígonos e adjacência em um único modelo visual.

O benefício mais importante é que um diagrama de Voronoi torna visíveis as relações entre vizinhos mais próximos. Uma célula grande sugere que um site está relativamente isolado dentro do limite atual, enquanto uma célula pequena sugere que sites próximos estão competindo pelo mesmo espaço.

Termos importantes

  • Site: Um dos pontos de entrada usados para construir o diagrama.
  • Célula de Voronoi: A região mais próxima de um site do que de qualquer outro site.
  • Aresta de Voronoi: Um limite em que os pontos estão igualmente próximos de dois sites vizinhos.
  • Vértice de Voronoi: Um ponto onde três ou mais arestas de Voronoi se encontram.
  • Distância euclidiana: A distância em linha reta entre dois pontos.
  • Mediatriz: Uma reta que corta o segmento entre dois sites em ângulo reto e no ponto médio.
  • Aresta de Delaunay: Uma aresta de uma triangulação que satisfaz a condição do circuncírculo vazio. Para sites não degenerados, ela conecta sites cujas células de Voronoi compartilham uma aresta.
  • Vizinho mais próximo: O outro site mais próximo de um determinado site.
  • Área da célula: A quantidade de tela coberta por uma célula de Voronoi.
  • Perímetro da célula: O comprimento total do limite de uma célula de Voronoi recortada.

Como funcionam os diagramas de Voronoi

A regra por trás de um diagrama de Voronoi é simples: para cada local da tela, encontre o site mais próximo. Todos os locais mais próximos do mesmo site formam a célula desse site.

Para um ponto \(p=(x,y)\) e um site \(s_i=(x_i,y_i)\), a distância em linha reta é:

$$ d(p,s_i)=\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2} $$

A célula de Voronoi do site \(s_i\) é o conjunto de todos os pontos mais próximos de \(s_i\) do que de qualquer outro site:

$$ V_i=\{p : d(p,s_i)\le d(p,s_j)\text{ for every }j\ne i\} $$

Entre dois sites, o limite é uma mediatriz. Todo ponto desse limite está à mesma distância dos dois sites. De um lado do limite, os pontos estão mais próximos do primeiro site; do outro, estão mais próximos do segundo site.

Para dois sites \(a=(a_x,a_y)\) e \(b=(b_x,b_y)\), o semiplano mais próximo de \(a\) pode ser escrito como:

$$ (b_x-a_x)x+(b_y-a_y)y\le\frac{b_x^2+b_y^2-a_x^2-a_y^2}{2} $$

Uma célula finita pode ser construída começando pelo retângulo da tela e recortando-o repetidamente contra o semiplano mais próximo do site atual do que de cada outro site. Depois desse processo, o polígono restante é a célula de Voronoi recortada desse site.

Medição da área e do perímetro da célula

Quando uma célula é um polígono, sua área pode ser medida a partir dos vértices. Para um polígono com vértices ordenados \((x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)\), a fórmula do cadarço é:

$$ A=\frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n}(x_i y_{i+1}-x_{i+1}y_i)\right| $$

em que o vértice final retorna ao início, de modo que \((x_{n+1},y_{n+1})=(x_1,y_1)\).

O perímetro é a soma dos comprimentos dos lados:

$$ P=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{(x_{i+1}-x_i)^2+(y_{i+1}-y_i)^2} $$

Nesta calculadora, as células são recortadas para a tela retangular visível, portanto a área é medida apenas dentro desse retângulo.

Relações entre Voronoi e Delaunay

A sobreposição de Delaunay está estreitamente relacionada ao diagrama de Voronoi. Em um diagrama de Voronoi padrão baseado em pontos, células de Voronoi vizinhas correspondem a sites conectados na estrutura de Delaunay.

Uma forma útil de lembrar a diferença é:

  • Ligações entre vizinhos mais próximos respondem: "Qual site está mais próximo deste site?"
  • Arestas de Delaunay respondem: "Quais sites estão conectados em uma triangulação válida de círculo vazio?"

Uma ligação entre vizinhos mais próximos não precisa ser a mesma coisa que uma aresta de Delaunay. Um site pode compartilhar o limite de uma célula com outro site mesmo que esse vizinho não seja seu único site mais próximo.

Exemplos práticos de diagramas de Voronoi

Exemplo 1: dois pontos em uma reta horizontal

Suponha que existam dois sites na tela:

  • \(A=(100,200)\)
  • \(B=(300,200)\)

O ponto médio entre eles é:

$$ \left(\frac{100+300}{2},\frac{200+200}{2}\right)=(200,200) $$

Como o segmento de \(A\) to \(B\) é horizontal, a mediatriz é a reta vertical que passa pelo ponto médio:

$$ x=200 $$

Todo ponto à esquerda de \(x=200\) está mais próximo de \(A\). Todo ponto à direita de \(x=200\) está mais próximo de \(B\). Os pontos exatamente sobre \(x=200\) estão à mesma distância dos dois sites.

Exemplo 2: instalações em uma tela

Imagine colocar vários pontos que representam instalações na tela. Uma célula de Voronoi ao redor de uma instalação representa a parte da tela mais próxima dessa instalação do que de qualquer outra.

Uma célula grande pode significar que a instalação está distante de suas vizinhas ou próxima de uma área aberta da tela. Uma célula pequena pode significar que instalações próximas estão competindo pela mesma área. Se duas células de instalações compartilham um limite, a sobreposição de Delaunay pode conectá-las como sites vizinhos.

Isso é útil para ensinar cobertura e adjacência, mas o resultado não deve ser tratado como um modelo real de tempo de deslocamento. A calculadora usa distância em pixels em linha reta, não estradas, obstáculos, elevação ou velocidade de deslocamento.

Exemplo 3: um empate em um limite

Suponha que um ponto na tela esteja exatamente à mesma distância de dois sites. Esse ponto está sobre uma aresta de Voronoi.

Por exemplo, com \(A=(0,0)\) e \(B=(4,0)\), o ponto \(p=(2,3)\) está à mesma distância de ambos:

$$ d(p,A)=\sqrt{(2-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{13} $$
$$ d(p,B)=\sqrt{(2-4)^2+(3-0)^2}=\sqrt{13} $$

Esse empate não é um erro. É exatamente o que um limite de Voronoi representa. Quando as distâncias aos vizinhos mais próximos empatam dentro da tolerância da calculadora, a tabela de sites mais próximos pode mostrar vários sites mais próximos.

Como interpretar o resultado

Uma célula de Voronoi mostra a parte da tela atual que pertence a um site segundo a distância em linha reta. Se um local estiver dentro de uma célula, ele estará mais próximo do site dessa célula do que de qualquer outro site.

O resumo e as tabelas de resultados devem ser lidos da seguinte forma:

  • Sites: O número de pontos ativos no diagrama.
  • Arestas de Delaunay: O número de arestas na triangulação determinística calculada a partir das coordenadas normalizadas atuais dos sites.
  • Área média das células: A área média de todas as células recortadas dentro da tela.
  • Vizinho mais próximo: A menor distância ao vizinho mais próximo entre todos os sites.
  • Tabela de sites mais próximos: Para cada ponto, o outro ponto mais próximo ou os pontos mais próximos em caso de empate.
  • Tabela de medidas das células: Área e perímetro das células, ordenados da maior para a menor área.

A área da célula pode ser exibida em pixels quadrados ou como porcentagem da tela. A versão em porcentagem é:

$$ \text{area share}=\frac{\text{cell area}}{\text{canvas width}\times\text{canvas height}}\times100\% $$

Uma porcentagem maior significa que a célula cobre uma parcela maior da tela atual. Isso não significa que o site seja mais importante; significa apenas que uma parte maior da tela está mais próxima desse site segundo a regra de distância da calculadora.

As distâncias aos vizinhos mais próximos são medidas em pixels lógicos. Um valor como \(42.5\text{ px}\) significa que os dois sites estão separados por 42.5 unidades no sistema fixo de coordenadas da calculadora, e não por 42.5 metros, milhas ou qualquer outra unidade do mundo real.

Erros e equívocos comuns

Tratar pixels como distâncias do mundo real. Distâncias em pixels só se tornam distâncias do mundo real quando uma escala válida é fornecida. Esta calculadora não aplica escala de mapa, coordenadas geográficas ou projeções.

Supor que as células se estendem indefinidamente. Na geometria pura, as células externas de Voronoi podem ser ilimitadas. Aqui, cada célula é recortada para a tela retangular visível, portanto a área medida é apenas a área dentro da tela.

Confundir arestas de Delaunay com ligações entre vizinhos mais próximos. As ligações entre vizinhos mais próximos mostram relações entre os pontos mais próximos. As arestas de Delaunay mostram a adjacência das células. Elas frequentemente coincidem, mas não respondem à mesma pergunta.

Arredondar cedo demais. Os valores exibidos são arredondados para facilitar a leitura. Por exemplo, a área percentual é mostrada com uma casa decimal, e a área em pixels pode ser mostrada como um número inteiro. Pequenas diferenças podem ficar ocultas pelo arredondamento.

Esperar que a tela seja a única forma de entrada. Você pode clicar, arrastar, selecionar e remover sites na tela, ou inserir coordenadas X/Y finitas em pixels lógicos nos campos Adicionar um site por coordenada. A tela também permite adicionar pelo teclado, selecionar com Cima/Baixo, mover um ou dez pixels com Esquerda/Direita e remover com Delete/Backspace.

Esperar pontos ilimitados. A colocação manual é limitada a 50 sites. A geração aleatória é limitada a uma faixa menor para manter o diagrama legível.

Usar pontos muito próximos. Sites muito próximos ou sobrepostos tornam as comparações geométricas instáveis e difíceis de visualizar. A calculadora rejeita sites que estejam próximos demais de um site existente.

Quando usar diagramas de Voronoi

Use um diagrama de Voronoi quando quiser explorar perguntas como:

  • Qual site está mais próximo de cada local em um espaço plano?
  • Como mover um site altera as regiões próximas?
  • Quais sites têm áreas de influência adjacentes?
  • Qual site tem a maior ou a menor região de cobertura recortada?
  • Onde ocorrem os limites de distância igual?
  • Como agrupamentos, lacunas e pontos isolados afetam a cobertura espacial?

Os diagramas de Voronoi são especialmente úteis para aprendizagem e exploração visual, pois pequenas mudanças na posição dos pontos provocam mudanças imediatas no padrão das células.

Limitações e aspectos importantes

Esta calculadora usa um modelo euclidiano planar. Isso significa que ela pressupõe uma tela retangular plana e distância em linha reta entre os pontos.

As limitações importantes incluem:

  • As medições são feitas em pixels lógicos fixos, não em unidades do mundo real.
  • As células são recortadas para o retângulo lógico fixo de (900\times560).
  • A calculadora não oferece suporte a sites ponderados.
  • Ela não oferece suporte a distância por estradas, tempo de deslocamento, barreiras, elevação ou projeções cartográficas.
  • Ela não oferece suporte a diagramas de Voronoi 3D.
  • Ela não usa formas de limite personalizadas.
  • Ela permite inserir coordenadas X/Y em pixels lógicos e editar pelo teclado, mas não permite nomes personalizados para os pontos.
  • A sobreposição de Delaunay usa uma triangulação determinística de círculo vazio sobre coordenadas normalizadas dos sites. Os círculos circunscritos candidatos são testados quanto a interiores vazios, as arestas são canonizadas pelo índice de origem com varredura de trios na ordem de entrada, os cruzamentos são resolvidos de forma repetível, sites colineares usam uma cadeia de vizinhos estável pelo índice de origem e empates cocirculares recebem uma escolha de diagonal válida e repetível.
  • O suporte à tela do navegador é necessário para a renderização e a exportação de imagens.
  • Sites coincidentes são rejeitados porque não têm células de Voronoi que possam ser atribuídas de forma única. Os sites aleatórios são gerados com uma separação mínima.

Para ensino, visualização e exploração geométrica, essas suposições geralmente são úteis porque mantêm o diagrama fácil de entender. Para engenharia, cartografia, logística, modelagem científica ou planejamento oficial, use uma ferramenta que ofereça suporte ao sistema de coordenadas, modelo de distância, escala, dados de limite e requisitos de validação corretos.

Como usar esta calculadora

  1. Escolha uma predefinição, como instalações, células, mapa ou agrupamentos, ou mantenha a predefinição padrão.
  2. Clique na tela para adicionar um site ou insira coordenadas X/Y em pixels lógicos e escolha Adicionar site.
  3. Arraste um site existente para movê-lo ou coloque o foco na tela e use A/Enter/Space para adicionar, Cima/Baixo ou Home/End para selecionar, Esquerda/Direita para mover e Shift+Esquerda/Direita para mover 10 pixels lógicos.
  4. Remova um site selecionado com Delete ou Backspace, ou remova um site clicando nele com o botão direito ou usando Alt-clique.
  5. Use os controles de exibição para mostrar ou ocultar células de Voronoi, arestas de Delaunay, ligações entre vizinhos mais próximos e rótulos dos pontos.
  6. Informe uma quantidade de pontos aleatórios e use a ação aleatória para gerar um novo conjunto de pontos.
  7. Escolha se as áreas das células devem aparecer como porcentagens ou pixels quadrados.
  8. Leia o resumo, as métricas, a tabela de sites mais próximos e a tabela de medidas das células.
  9. Use a ação de download para salvar o diagrama atual como uma imagem PNG.

Perguntas frequentes

O que significa cada célula de Voronoi?

Cada célula contém a parte da tela mais próxima de seu site do que de qualquer outro site. Se você colocar um novo ponto em qualquer lugar dentro dessa célula, o site da célula seria o site mais próximo segundo a distância em pixels em linha reta.

Por que algumas células de Voronoi são maiores que outras?

Uma célula maior geralmente significa que há mais espaço aberto ao redor do site dentro da tela atual. Uma célula menor geralmente significa que sites próximos estão limitando até onde a região desse site pode se estender.

As áreas das células de Voronoi são exatas?

As células são calculadas com aritmética de ponto flutuante e verificadas pela soma de suas áreas e pelo teste das restrições de semiplano do site mais próximo. Os valores exibidos são então arredondados para facilitar a leitura: porcentagens para uma casa decimal, áreas em pixels quadrados para números inteiros e distâncias e perímetros para uma casa decimal.

Qual é a diferença entre arestas de Delaunay e ligações entre vizinhos mais próximos?

Uma ligação entre vizinhos mais próximos conecta um site ao outro site mais próximo. Uma aresta de Delaunay conecta sites cujas células de Voronoi compartilham um limite. Essas relações frequentemente se sobrepõem, mas uma descreve proximidade, enquanto a outra descreve adjacência entre regiões.

Por que a calculadora mostra unidades de pixel em vez de metros ou milhas?

O diagrama é desenhado em uma tela, portanto sua unidade de medida nativa é o pixel. Para converter pixels em unidades do mundo real, seria necessária uma escala de mapa ou um sistema de coordenadas confiável, que esta calculadora não aplica.

O que acontece quando há apenas um ponto?

Com um site, a tela inteira pertence a esse site. A distância ao vizinho mais próximo e as comparações no estilo Delaunay não são significativas até que haja pelo menos dois sites.

Dois sites podem ter a mesma distância ao vizinho mais próximo?

Sim. Empates podem ocorrer quando um site está igualmente próximo de dois ou mais outros sites. Nesse caso, a tabela de sites mais próximos pode mostrar vários sites mais próximos.

Um diagrama de Voronoi funciona com mapas geográficos?

O conceito pode ser adaptado para trabalhos geográficos, mas esta calculadora não realiza cálculos geográficos. A análise de mapas reais pode exigir sistemas de referência de coordenadas, projeções, distâncias geodésicas, redes viárias, tempos de deslocamento, barreiras ou áreas de atendimento ponderadas.

Fontes e referências

Livros

  1. Mark de Berg, Otfried Cheong, Marc van Kreveld, and Mark Overmars. Computational Geometry: Algorithms and Applications. 3ª ed., Springer Berlin Heidelberg, 2008. Capítulos relevantes: "Voronoi Diagrams," pp. 147–171, and "Delaunay Triangulations," pp. 191–218. Springer book page
  2. Joseph O'Rourke. Computational Geometry in C. 2ª ed., Cambridge University Press, 1998. Capítulo relevante: "Voronoi Diagrams," pp. 155–192. Cambridge Core chapter page

Fontes on-line e oficiais

  1. CGAL. "2D Voronoi Diagram Adaptor: User Manual." CGAL 6.2 documentation, acesso em 4 de julho de 2026. https://doc.cgal.org/latest/Voronoidiagram2/index.html
  2. Eric W. Weisstein. "Voronoi Diagram." MathWorld—A Wolfram Resource, acesso em 4 de julho de 2026. https://mathworld.wolfram.com/VoronoiDiagram.html
  3. Centre for Education in Mathematics and Computing, University of Waterloo. "The Shoelace Formula." CEMC Open Courseware, acesso em 4 de julho de 2026. https://courseware.cemc.uwaterloo.ca/42/143/assignments/1140/0